1.(人B選必三6.2節(jié)習題)已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x-1的圖象與直線y=c有3個不同的交點,求實數(shù)c的取值范圍.
2.(人A選必二第五章例題)給定函數(shù)f(x)=(x+1)ex.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調性,并求出f(x)的極值;(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的個數(shù).
解 (1)函數(shù)的定義域為R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=(x+2)ex.令f'(x)=0,解得x=-2.f'(x),f(x)的變化情況如表所示.
所以f(x)在區(qū)間(-∞,-2)上單調遞減,在區(qū)間(-2,+∞)上單調遞增.當x=-2時,f(x)有極小值f(-2)= .
(2)令f(x)=0,解得x=-1.當x0.
1.(2023·全國乙,文8)若函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個零點,則a的取值范圍是(　　)A.(-∞,-2)　　　　　　B.(-∞,-3)C.(-4,-1) D.(-3,0)
(方法二)令f(x)=0,得-ax=x3+2,易知x≠0,所以-a=設g(x)= ,則函數(shù)f(x)存在3個零點等價于函數(shù)g(x)= 的圖象與直線y=-a有三個不同的交點.g'(x)= .當x>1時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)內單調遞增,當x0,函數(shù)h(x)單調遞增;當x∈(0,2)時,h'(x)0,函數(shù)t(x)單調遞增.
畫出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示.
考點三 隱零點問題*
例3(2024·江西贛州一模)已知函數(shù)f(x)=ex-1-ln x.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)已知m>0,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零點x0.求證:10,f(x)單調遞增.∴f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+∞).
[對點訓練3](2024·山東淄博一模)已知函數(shù)f(x)=ex-sin x-1.(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調性;(2)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-π,0]上有且僅有兩個零點.(1)解 函數(shù)f(x)=ex-sin x-1,當x>0時,f'(x)=ex-cs x>1-cs x>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

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