一．選擇題.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（ ）
A B. C. D.
4. 函數(shù)的最小值為（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
5. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A. 在上為增函數(shù)B. 方程的實(shí)根為
C. 的值域?yàn)镈. 為偶函數(shù)
6. 已知定義域?yàn)?的奇函數(shù)，則的值為（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 無(wú)法確定
7. 已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)f(x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為.若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二，多選題
9. 下列各項(xiàng)中，與表示函數(shù)相等的是（ ）
A. B.
C D.
10. 當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
11. 關(guān)于的不等式的解集，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 時(shí)，解集為B. 時(shí)，解集為
C. 時(shí)，解集為D. 時(shí)，原不等式在時(shí)恒成立
12. 若，均為正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為9
C. 的最小值為D. 的最大值為4
三、填空題
13. 命題：“”的否定是__________．
14. 已知函數(shù)奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，_________.
15. 若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
16. 函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④規(guī)定，其中，則．
其中，所有正確結(jié)論序號(hào)是______________．
四、計(jì)算題
17. 計(jì)算．
（1）；
（2）．
18. 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. （1）解關(guān)于的不等式.
（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20. 已知函數(shù)（為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21. 已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有．當(dāng)時(shí)，，且．
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；
（3）若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22. 已知集合為非空數(shù)集，定義：，
（1）若集合，直接寫出集合（無(wú)需寫計(jì)算過(guò)程）；
（2）若集合，且，求證：
（3）若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值．
安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考查
高一數(shù)學(xué)試題
一．選擇題.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B，再求交集，即可得出結(jié)果
詳解】由，
或，
所以，
故選：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解方程，求出方程的根，分別從充分性，必要性兩方面驗(yàn)證即可.
【詳解】由，得，解得或,
所以時(shí)，具有充分性；
而時(shí)，或，不具有必要性.
故選：B
3. 已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)定義域列出不等式組求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域是，由，得，且，
函數(shù)定義域是，
故選：A.
4. 函數(shù)的最小值為（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由可得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故選:D
5. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A. 在上為增函數(shù)B. 方程的實(shí)根為
C. 的值域?yàn)镈. 為偶函數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，然后判斷冪函數(shù)的性質(zhì)即可.
【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)可得，所以，
所以，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于A：因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，所以，解得，所以方程的實(shí)根為，錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)椋e(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為偶函數(shù)，正確.
故選：D
6. 已知定義域?yàn)?的奇函數(shù)，則的值為（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 無(wú)法確定
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性求得，由奇函數(shù)的性質(zhì)求得，然后求值．
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，，，，
所以，
故，
所以.
故選：B．
7. 已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，
所以有，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用增函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
8. 已知函數(shù)f(x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為.若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，結(jié)合分類討論的方法，可得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，
∴，，
又，
可得的圖象如圖所示，
∵，∴區(qū)間長(zhǎng)度為2，
當(dāng)時(shí)，
所以；
當(dāng)時(shí)，
所以，
∴的取值范圍為：.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)新概念的理解，以及利用數(shù)形結(jié)合解決分段函數(shù)的問(wèn)題，屬中檔題.
二，多選題
9. 下列各項(xiàng)中，與表示的函數(shù)相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，一一判斷各選項(xiàng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，即可得到答案.
【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)镽，，定義域?yàn)镽，
但對(duì)應(yīng)法則與前者不同，故兩函數(shù)不相等，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，故的定義域?yàn)椋?br>由得，故的定義域?yàn)椋?br>又兩者對(duì)應(yīng)法則相同，故兩函數(shù)相等，故B正確；
對(duì)于C, 定義域?yàn)镽，定義域?yàn)椋蕛珊瘮?shù)不相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，兩函數(shù)相等，故D正確.
故選：BD.
10. 當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A. -2B. C. 0D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】考慮時(shí)，，時(shí)，，依次將各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)帶入，計(jì)算集合，再判斷和之間的關(guān)系得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
對(duì)選項(xiàng)A：若，，此時(shí)，不滿足；
對(duì)選項(xiàng)B：若，，此時(shí)，滿足；
對(duì)選項(xiàng)C：若，，此時(shí)，滿足；
對(duì)選項(xiàng)D：若，，此時(shí)，滿足；
故選：BCD.
11. 關(guān)于的不等式的解集，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 時(shí)，解集為B. 時(shí)，解集為
C. 時(shí)，解集為D. 時(shí)，原不等式在時(shí)恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法判斷ABC；利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.
【詳解】時(shí)，不等式為，即，解得，解集為，故A錯(cuò)誤；
不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為，
故B正確，C錯(cuò)誤；
令，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，
所以，即不等式在時(shí)恒成立，故D正確．
故選：BD．
12. 若，均為正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為9
C. 的最小值為D. 的最大值為4
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用與（，）逐項(xiàng)判讀即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，均為正?shù)，且，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
而，均為正數(shù)，故等號(hào)不成立，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題
13. 命題：“”否定是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出命題的否定.
【詳解】命題：“”的否定是“”.
故答案為：
14. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，_________.
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，由已知條件求出，結(jié)合函數(shù)的奇偶性即可求出解析式.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，則，
故答案為:.
15. 若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，再利用單調(diào)性求最小值即可.
【詳解】不等式對(duì)恒成立等價(jià)于在恒成立，即，
設(shè)，，
則，
因?yàn)椋?，?br>所以在上為遞增函數(shù)，
當(dāng)取得最小值，所以.
故答案為：
16. 函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④規(guī)定，其中，則．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．
【答案】①④
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可；
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，可知為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)， ，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，可得，則，
結(jié)合為奇函數(shù)，可知：當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且,
所以值域是，故①正確；
對(duì)于②：由①可知： 可知函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以對(duì)任意且，均有，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：當(dāng)任意且時(shí)，
令，，
，顯然，
因此不成立，故③不正確；
對(duì)于④：當(dāng)時(shí)， ，
可得，，
，，
以此類推可得，因此，故④正確；
故答案為：①④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于分式型函數(shù)常利用分離常數(shù)法結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)分析求解.
四、計(jì)算題
17. 計(jì)算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）112 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則計(jì)算出答案；
（2）利用指數(shù)運(yùn)算法則及根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
原式；
【小問(wèn)2詳解】
原式
.
18. 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合，利用交集的定義可得出集合；
（2）分析可知，分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，B=x2≤x≤7，
又因?yàn)椋瑒t.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
因?yàn)?，則，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. （1）解關(guān)于的不等式.
（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）分類討論，答案見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）分類討論解含參的不等式即得.
（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助恒成立求出的范圍.
【詳解】（1）不等式化為：，
當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得，
所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
當(dāng)時(shí)，不等式，
依題意，，，而最大值為2，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
20. 已知函數(shù)（為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）取結(jié)合求，并根據(jù)奇函數(shù)的定義分析證明；
（2）先利用單調(diào)性的定義可得在上是增函數(shù)，進(jìn)而可知在上的最值，由存在性問(wèn)題可知，代入運(yùn)算求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由是上的奇函數(shù)，則，
可得，所以，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>可知為奇函數(shù)成立，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
任取，且，
則，
因?yàn)?，則，
可知，即，
所以在上是增函數(shù)，
可得在上的最小值為，
又因?yàn)榇嬖?，使成立?br>則，即，
解得：或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
21. 已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有．當(dāng)時(shí)，，且．
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；
（3）若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）是上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用賦值法取可得，再令可得；
（2）結(jié)合函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，按照單調(diào)性定義證明步驟證明即可；
（3）利用可將不等式化為，即可得，在利用換元法令，結(jié)合單調(diào)性可得對(duì)于，恒成立，即可解得.
【小問(wèn)1詳解】
取，
則，于是，
令，
則，
又，則；
【小問(wèn)2詳解】
是上的單調(diào)遞減函數(shù)．
證明：
任取，
則，
由于當(dāng)時(shí)，，易知，則，
故，
可得是上的單調(diào)遞減函數(shù)．
【小問(wèn)3詳解】
不等式可化為，
也即，
令
于是，都有恒成立，
由于為上的單減函數(shù)，則，
都有恒成立，
即成立，即恒成立；
令，它是關(guān)于的一次函數(shù)，
故只需，解得．
即，
解得
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，要充分利用已知條件和函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為求解自變量大小恒成立問(wèn)題，再結(jié)合題意通過(guò)合理變形轉(zhuǎn)化解不等式即可求得參數(shù)取值范圍.
22. 已知集合為非空數(shù)集，定義：，
（1）若集合，直接寫出集合（無(wú)需寫計(jì)算過(guò)程）；
（2）若集合，且，求證：
（3）若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值．
【答案】（1），
（2）見(jiàn)解析 （3）1349
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接計(jì)算集合S，T即可;
（2）根據(jù)集合相等的概念，能證明；
（3）通過(guò)假設(shè)集合，求出對(duì)應(yīng)的集合S，T，通過(guò)，建立不等式關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的值即可.
【小問(wèn)1詳解】
，，
集合，集合.
【小問(wèn)2詳解】
，，且，
T中也只包含4個(gè)元素，即，
剩下的元素滿足，
；
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)集合滿足題意，其中，
則
，
，
，由容斥原理，，
的最小元素為0，最大元素為，，
解得
實(shí)際上時(shí)滿足題意，證明如下：
設(shè)，
則，
題意有，即，
m的最小值為675，當(dāng)m= 675時(shí)，集合A中元素最多，
即時(shí)滿足題意
綜上，的最大值為1349.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給定義判斷，據(jù)此得出，由關(guān)系，得出關(guān)于不等式，求出最小值即可得解.

相關(guān)試卷

2025湖南省湖南師大附中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析：

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2025長(zhǎng)沙師大附中高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含解析：

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2025安徽師大附中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)含解析：

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