考試時(shí)間：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1 已知，則（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（ ）

A B.
C. D.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（ ）
A. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
C 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
4. 已知直線(xiàn)的斜率的范圍為，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（ ）
A. 或
B.
C.
D. 或
5. 已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A 直線(xiàn)始終過(guò)定點(diǎn)B. 若，則或
C. 若，則或D. 當(dāng)時(shí)，不過(guò)第四象限
10. 點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（ ）
A. 兩個(gè)圓的公切線(xiàn)有2條
B. 的取值范圍為
C. 兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在該圓上
D. 兩個(gè)圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的取值范圍為
B. 點(diǎn)到平面的距離為
C. 點(diǎn)到所在直線(xiàn)的距離為2
D. 若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面
12. 雙紐線(xiàn)最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn).已知曲線(xiàn)為一條雙紐線(xiàn)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之積為4，點(diǎn)是曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在曲線(xiàn)上
B. 面積的最大值為1
C. 點(diǎn)在橢圓上，若，則點(diǎn)也在曲線(xiàn)上
D. 的最大值為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
14. 已知圓與圓相交，則的取值范圍為_(kāi)_________.
15. 加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，過(guò)可作的兩條互相垂直的切線(xiàn)，則橢圓離心率的取值范圍是______.
16. 閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線(xiàn)；空間直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線(xiàn)是兩平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知的頂點(diǎn)邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程邊上的高所在直線(xiàn)方程為.
（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線(xiàn)的斜率.
18. 已知圓的方程為.
（1）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)為，求的最小值.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面.
（1）求證：；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
20. 已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）求直線(xiàn)的方程；
（2）求的面積.
21. 如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22. 知橢圓分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn).過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于的最小值為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn).記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求的最小值.安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考查
高二數(shù)學(xué)試題
考試時(shí)間：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加減法的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由可得.
故選：B
2. 如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線(xiàn)性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.
【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
∴.
故選：B.
3. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（ ）
A. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
C. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D. 點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)規(guī)律解題.
【詳解】由于,坐標(biāo)不變，其他互為相反數(shù).則兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
故選：B.
4. 已知直線(xiàn)的斜率的范圍為，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（ ）
A. 或
B.
C.
D 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用直線(xiàn)的傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，
由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：或.
故選：D
5. 已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得是直角三角形，求出圓的圓心與半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
【詳解】由題
得是直角三角形，且，
所以圓的半徑為，圓心為，
所以外接圓的方程為.
故選：B.
6. 與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，由已知條件可得出的值，由此可得出的值，進(jìn)而可得出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故可設(shè)所求橢圓方程為，則.
又，即，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，要注意分析橢圓焦點(diǎn)的位置，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用橢圓定義和焦距性質(zhì)可解.
【詳解】根據(jù)題意，焦距，.根據(jù)橢圓定義，周長(zhǎng)為，解得.
則離心率為.
故選：C
8. 已知是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題設(shè)知，.設(shè)為中點(diǎn)，所以.求出點(diǎn)的軌跡方程.設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，求出，得到.求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，得出的范圍即可解決.
【詳解】由題設(shè)知，圓圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)?，所?
設(shè)為的中點(diǎn)，所以.所以點(diǎn)的軌跡方程為.
其軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為，
所以，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
所以，即，
所以.所以的取值范圍為.
故選：A
二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線(xiàn)始終過(guò)定點(diǎn)B. 若，則或
C. 若，則或D. 當(dāng)時(shí)，不過(guò)第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，直接求出直線(xiàn)的定點(diǎn)，即可判斷A，再結(jié)合直線(xiàn)平行、垂直的性質(zhì)判斷B、C，將直線(xiàn)方程化為斜截式，即可判斷D
【詳解】對(duì)于A(yíng)：直線(xiàn)，即，令，解得，
故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)0,1，故A正確；
對(duì)于B：若，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，則與重合，故舍去，
當(dāng)時(shí)，易得，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則，解得或，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)始終過(guò)點(diǎn)0,1，且斜率為負(fù)，故該直線(xiàn)過(guò)第一、二、四象限，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10. 點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（ ）
A. 兩個(gè)圓的公切線(xiàn)有2條
B. 的取值范圍為
C. 兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在該圓上
D. 兩個(gè)圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為
【答案】BC
【解析】
【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)和半徑可判斷出兩圓外離，即A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；利用圓上點(diǎn)最值關(guān)系可得B正確，易知直線(xiàn)即為兩圓對(duì)稱(chēng)軸，可得C正確.
【詳解】易知圓的圓心為，半徑
將化為，可知圓心為，半徑；
對(duì)于A(yíng)，易知兩圓心距，可知兩圓外離，所以?xún)蓚€(gè)圓的公切線(xiàn)有4條,即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知的最小值為，最大值為，
所以的取值范圍為，即B正確；
對(duì)于C，顯然兩圓圓心，都在直線(xiàn)上，
因此直線(xiàn)即為兩圓對(duì)稱(chēng)軸，即可判斷C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知兩圓外離，即不存在公共弦，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的取值范圍為
B. 點(diǎn)到平面的距離為
C. 點(diǎn)到所在直線(xiàn)的距離為2
D. 若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面
【答案】BCD
【解析】
【分析】建系，求平面的法向量.對(duì)于A(yíng)：利用空間向量求線(xiàn)面夾角；對(duì)于B：利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；對(duì)于C：利用空間向量求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；對(duì)于D：利用空間向量證明線(xiàn)面平行.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，
可得，
所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，
且，
則點(diǎn)到所在直線(xiàn)的距離為，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知：，則，
可得，可知，
且平面，所以一定平行于平面，故D正確；
故選：BCD
12. 雙紐線(xiàn)最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn).已知曲線(xiàn)為一條雙紐線(xiàn)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之積為4，點(diǎn)是曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在曲線(xiàn)上
B. 面積的最大值為1
C. 點(diǎn)在橢圓上，若，則點(diǎn)也在曲線(xiàn)上
D. 的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A：根據(jù)雙紐線(xiàn)定義，求得其軌跡方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可檢驗(yàn)；對(duì)B：根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合勾股定理，即可容易求得面積最大值；對(duì)C：根據(jù)題意，求得，即可驗(yàn)證是否滿(mǎn)足雙紐線(xiàn)定義；對(duì)D：根據(jù)，結(jié)合余弦定理，即可求得的最大值.
【詳解】對(duì)A：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程；
把點(diǎn)代入上式，上式顯然成立，故點(diǎn)在曲線(xiàn)上，A正確；
對(duì)B：，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
即當(dāng)或時(shí)，，，
此時(shí)，的面積取得最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，
又，所以，故，
所以點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，C正確；
對(duì)D：因?yàn)椋?br>所以
由余弦定理得，
于是有，
因此，
所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，根據(jù)A中所求，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知，
也即，等號(hào)成立；故的最大值為，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵，一是熟練掌握橢圓、雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形面積的處理方法，從而在雙紐線(xiàn)中借鑒類(lèi)似的處理手段；二是，緊扣雙紐線(xiàn)定義和軌跡方程，從而處理問(wèn)題.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】
【分析】利用分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)斜式方程與截距式方程，可得答案.
【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，則方程為；
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意方程可設(shè)，代入，可得，解得，則方程為.
故答案為：或.
14. 已知圓與圓相交，則的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得兩圓的圓心與半徑，然后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則圓心距為，且兩圓相交，則，解得.
故答案為：
15. 加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，過(guò)可作的兩條互相垂直的切線(xiàn)，則橢圓離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先通過(guò)橢圓的四條特殊切線(xiàn)可知道蒙日?qǐng)A的半徑，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與蒙日?qǐng)A有交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系列式即可求解.
【詳解】由橢圓方程可知蒙日?qǐng)A半徑為，
所以蒙日?qǐng)A方程為，
∵點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，
∴直線(xiàn)和蒙日?qǐng)A有公共點(diǎn).
∴圓心到直線(xiàn)的距離不大于半徑，
即，所以，
所以橢圓離心率，所以.
故答案為：.
16. 閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線(xiàn)；空間直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線(xiàn)是兩平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用題意先得出平面的方程及其一個(gè)法向量，再計(jì)算兩平面與的法向量，設(shè)交線(xiàn)的方向向量結(jié)合線(xiàn)面夾角的向量法計(jì)算即可.
【詳解】平面的方程為，所以平面的法向量可取，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
設(shè)兩平面的交線(xiàn)的方向向量為，
由，
取，可得，
所以為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量.
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，
則.
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知的頂點(diǎn)邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程邊上的高所在直線(xiàn)方程為.
（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線(xiàn)的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩條直線(xiàn)互相垂直斜率互為相反數(shù)，得出AC所在直線(xiàn)方程，再跟CM所在直線(xiàn)方程聯(lián)立方程即可.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)把M的坐標(biāo)表示出來(lái)，利用點(diǎn)B在直線(xiàn)BH上，點(diǎn)M在直線(xiàn)CM上，列式聯(lián)立方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
邊上的高所在直線(xiàn)方程為，其斜率為，故直線(xiàn)的斜率為，
則直線(xiàn)的方程為：，即，
聯(lián)立方程與中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程，可得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線(xiàn)上可得；
的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，
即；
故可得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.
則直線(xiàn)的斜率為.
18. 已知圓的方程為.
（1）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)為，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）6
【解析】
【分析】（1）對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，再由弦長(zhǎng)公式求得結(jié)果；
（2）由切線(xiàn)長(zhǎng)公式可知當(dāng)最小，計(jì)算可得的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為，符合題意；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，
圓心到直線(xiàn)的距離為
根據(jù)垂徑定理可得，即，解得.
即直線(xiàn)的方程為或
【小問(wèn)2詳解】
圓心.
因?yàn)榕c圓相切，所以.
當(dāng)最小，所以.
可得
19. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面.
（1）求證：；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到，，由線(xiàn)面垂直的判定理得平面，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和，利用線(xiàn)面角的向量法，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
因，則.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則有，
令，則，所以，
因?yàn)?，記直線(xiàn)與平面所成角為，
則
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
20. 已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）求直線(xiàn)的方程；
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2代入到橢圓，兩式相減可求出直線(xiàn)斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可求解；
（2）根據(jù)（1）中求出的直線(xiàn)方程和橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可求出長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
由是橢圓上兩點(diǎn)得，，
兩式相減得，即，
因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，
所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，
即.
【小問(wèn)2詳解】
由得，，則，
所以，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以.
21. 如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）不存在，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，通過(guò)證明平面，從而建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，說(shuō)明即可；
（2）求出平面法向量和平面的法向量，利用平面與平面的夾角為建立等式，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，,
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>又平面，平面平面，
所以平面，
又底面為矩形，則.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸
建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意可得，，，
已知是的中點(diǎn).則，
可知，，
由四邊形為平行四邊形，
得，
設(shè)平面的法向量n=x,y,z，
則，取，得，
則平面的一個(gè)法向量,
故，
則.且平面，則平面.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè).設(shè).因?yàn)椋?br>所以.于是有.
所以.
又.設(shè)平面法向量，
則即,
所以平面的一個(gè)法向量為.
平面的一個(gè)法向量為.
則，
化簡(jiǎn)得.所以無(wú)實(shí)數(shù)解，不存在這樣的點(diǎn).
22. 知橢圓分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn).過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于的最小值為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.若直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn).記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）分別得到直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程，聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線(xiàn)斜率，從而表示出直線(xiàn)方程，再令，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線(xiàn)斜率，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，又，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?所以直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)的方程為.
由，解得，所以.
由，得，
由，
則，所以，則，
，
因?yàn)椴恢睾?，所以，即，又?br>所以，
直線(xiàn)的方程為，
令得.
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值為

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