本試卷共22道題，共3頁，考試時長120分鐘，滿分為120分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆境涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄坡，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
第Ⅰ卷（選擇題 共48分）
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，集合，，則（ ）
A. B.
C. D. 或
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
3. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
4. 下列四個命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（ ）
A. 任一無理數(shù)的平方是無理數(shù)B. 至少有一個實(shí)數(shù)，使
C. ，D. ，使
5. 已知是定義在[a - 1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（ ）
A. －B. C. －D.
6. 定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足條件：①，恒有；②；③，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列結(jié)論不正確是（ ）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，的最小值是
C. 當(dāng)時，的最小值是
D. 若，，且，則的最小值是
8. 若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得4分，部分選對得2分，有選錯或不選得0分）
9. 下列四個命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
10. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A. B. 在區(qū)間單調(diào)遞減
C. 最小值為D. 的最大值為2
11. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則函數(shù)的最小值是3
12. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是
第Ⅱ卷（非選擇題 共72分）
三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 不等式的解集是__________________.
14. 已知，則的值______.
15. 記號表示，中取較大的數(shù)，如.記函數(shù)，則函數(shù)的最小值是______.
16. 已知函數(shù)對任意，有，設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
四、解答題（本題共6小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
18 已知，，.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
19. 已知二次函數(shù).
（1）令，若函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20. 2021年3月1日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項(xiàng)措施，進(jìn)一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入20萬元.若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完，平均每萬部的銷售收入為萬元，且
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.
21. 設(shè)，，函數(shù).
（1）若在上的最大值為，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時，若，不等式恒成立，求的最大值.
22. 已知函數(shù)，都是定義在上的函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增，，且對，，都有.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.2023—2024學(xué)年上學(xué)期東北師大附中數(shù)學(xué)科試卷
高一年級期中考試
本試卷共22道題，共3頁，考試時長120分鐘，滿分為120分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆境涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄坡，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
第Ⅰ卷（選擇題 共48分）
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，集合，，則（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.
【詳解】由，解得或，所以或，
因?yàn)椋?
故選：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式構(gòu)成的集合，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式構(gòu)成的集合為，不等式的構(gòu)成的集合為，
此時滿足集合是集合的真子集，所以是的必要不充分條件，
所以時的必要不充分條件.
故選：B.
3. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A. 與 B. 與
C. 與 D. 與
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的概念判斷.
【詳解】A. 定義域?yàn)榕c定義域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)；
B. 定義域?yàn)镽， 定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；
C. 與，解析式不同，故不是同一函數(shù)；
D. 因?yàn)椋?，定義域都為R，解析式相同，故是同一函數(shù).
故選：D
4. 下列四個命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（ ）
A. 任一無理數(shù)的平方是無理數(shù)B. 至少有一個實(shí)數(shù)，使
C. ，D. ，使
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的定義排除BD，舉反例排除A，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C即可.
【詳解】對A，任一無理數(shù)的平方是無理數(shù)為全稱量詞命題，但可舉反例的平方為2是有理數(shù)，故A錯誤；
對B，“至少有一個實(shí)數(shù)”表明該命題為存在量詞命題，故B錯誤；
對C，“，”為全稱量詞命題，且根據(jù)二次函數(shù)的判別式可得該命題為真，故C正確；
對D，“” 表明該命題為存在量詞命題，故D錯誤；
故選：C
5. 已知是定義在[a - 1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（ ）
A. －B. C. －D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b
【詳解】∵在[a - 1，2a]上是偶函數(shù)
∴有：b＝0，且a－1＝－2a
∴a＝
∴a＋b＝
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性；根據(jù)偶函數(shù)的定義且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱求參數(shù)值
6. 定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足條件：①，恒有；②；③，則不等式的解集是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，分類討論解不等式.
【詳解】因?yàn)椋阌校?br>所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，即是定義在R上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，
對于不等式，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，可得；
綜上，不等式的解集是.
故選：A
7. 下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，的最小值是
C. 當(dāng)時，的最小值是
D. 若，，且，則的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式求最值成立的前提條件是“一正、二定，三相等”判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】A. 當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，A正確；
B. 當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但無實(shí)解，故最小值2取不到，B錯誤；
C. 當(dāng)時，，最小值顯然不可能是正值，C錯誤；
D. 因?yàn)?，，且?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D正確．
故選：BC
8. 若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用分離常數(shù)法與反比例函數(shù)的單調(diào)性得到在上恒成立，進(jìn)而得到，從而得解.
【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，且在上為減函數(shù)，
所以，
因?yàn)椋以谏蠟闇p函數(shù)，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
綜上，.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得4分，部分選對得2分，有選錯或不選得0分）
9. 下列四個命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】舉反例排除AD，利用不等式的性質(zhì)與作差法可判斷BC，從而得解.
【詳解】對于A，取，滿足，但，故A錯誤；
對于B，因?yàn)?，所以，故，所以，故B正確；
對于C，因?yàn)?，則，，，
則，所以，故C正確；
對于D，取，滿足，
但，即不成立，故D錯誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確有（ ）
A. B. 在區(qū)間單調(diào)遞減
C. 的最小值為D. 的最大值為2
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，可得，求出可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性即可依次判斷B、C、D，從而得解.
【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，代入可得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，滿足題意，故A正確；
由A得，，
對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，故B正確；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
所以，所以，
所以，故C正確，D錯誤.
故選：ABC
11. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則函數(shù)的最小值是3
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A：，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；
對于B：因?yàn)椋裕?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；
對于C：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；
對于D：因?yàn)椋裕?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值是，故D錯誤；
故選：ABC.
12. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D. 設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式、值域、單調(diào)性、不等式恒成立等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯誤.
B選項(xiàng)，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)錯誤.
D選項(xiàng)，不等式在上恒成立，
畫出的圖象如下圖所示，
由，消去并化簡得，
由解得（負(fù)根舍去）.
將代入得，
結(jié)合圖象可知.
故選：BD
【點(diǎn)睛】分段函數(shù)就是將一個函數(shù)分成幾段，在每段的解析式都不一樣.需要注意的是，分段函數(shù)雖然在不同的區(qū)間內(nèi)函數(shù)的解析式不同，但是分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是多個函數(shù)，仍然是一個整體.一個分段函數(shù)可能涉及到多種類型的基本函數(shù)，增大考查的知識面，也是函數(shù)考查的?？碱}型.
第Ⅱ卷（非選擇題 共72分）
三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 不等式的解集是__________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分式不等式的解法進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
，解得，
不等式的解集為.
故答案為：.
14. 已知，則的值______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
15. 記號表示，中取較大的數(shù)，如.記函數(shù)，則函數(shù)的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】分類討論，與，結(jié)合函數(shù)定義及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即或時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，；
綜上，，即最小值為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)對任意的，有，設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】由及，可得函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對任意的，有，，
則，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以由，得，
即，則，解得，
故答案為：.
四、解答題（本題共6小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出定義域，得到，進(jìn)而計算出或，從而求出結(jié)果；
（2）分與，根據(jù)條件列出不等式，即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由，得到，所以，
當(dāng)時，，所以或，
故或
【小問2詳解】
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，故?，
當(dāng)時，此時，得到，滿足題意，
時，由，得到，
綜上，的取值范圍為.
18. 已知，，.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，再利用基本不等式中“1”的妙用即可得解；
（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，則，即，
又，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最小值為.
【小問2詳解】
當(dāng)，則，即，
又，，所以，則，
又，則，
整理得：，解得或（舍去），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值為.
19. 已知二次函數(shù).
（1）令，若函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象的特征，得到判別式即可得解；
（2）由給定條件可得在上的值域是在值域的子集，再結(jié)合二次函數(shù)與對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>又函數(shù)的圖像與軸無交點(diǎn)，則一元二次方程無實(shí)根，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
因?yàn)椤皩θ我獾模偞嬖?，使得?br>等價于“在上的值域是在值域的子集”，
因?yàn)?，開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，，
所以在上的值域?yàn)椋?br>而對于，不妨取，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，又，，
則在上值域?yàn)椋?br>所以，則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20. 2021年3月1日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項(xiàng)措施，進(jìn)一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入20萬元.若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完，平均每萬部的銷售收入為萬元，且
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】（1）
（2）當(dāng)產(chǎn)量為萬部時，利潤最大，最大利潤為萬元
【解析】
【分析】（1）利用銷售收入減去成本，即可求得.
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求得正確答案.
【小問1詳解】
依題意.
【小問2詳解】
當(dāng)時，開口向下，對稱軸，
萬元.
當(dāng)時，萬元，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以當(dāng)產(chǎn)量為萬部時，利潤最大，最大利潤為萬元.
21. 設(shè)，，函數(shù).
（1）若在上的最大值為，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時，若，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性、最值求得的取值范圍.
（2）通過轉(zhuǎn)換主參變量的方法，結(jié)合一元二次不等式的解法求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.
【小問1詳解】
二次函數(shù)的開口向上，
對稱軸為，，
關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
由于在上的最大值為，則.
【小問2詳解】
依題意，，，，
不等式，對任意恒成立，
即，對任意恒成立，
整理得，對任意恒成立，
整理得，對任意恒成立，
由于，所以只需，
即，解得，
而，所以，所以的最大值為.
22. 已知函數(shù)，都是定義在上的函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增，，且對，，都有.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用反證法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證得，從而得解；
（2）利用賦值法證得是奇函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，再分類討論即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)樵谏虾愠闪?，則，
假設(shè)存在，使得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
若，則，不滿足題意；
若，則，不滿足題意；
所以假設(shè)不成立，即，所以對任意，.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>令，則，所以，
令，則，故，
又是定義在上的函數(shù)，所以是奇函數(shù)，則，
由（1）知，
所以等價于，則，顯然，
又在上單調(diào)遞增，，
則在上單調(diào)遞增，，
所以當(dāng)時，，則，故；
當(dāng)時，，則，故；
綜上：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用反證法，結(jié)合單調(diào)性證得，從而得到，從而得解.

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