2025長沙師大附中高二上學期11月期中考試數(shù)學試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

時量：120分鐘滿分：150分
得分：__________
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）
A. 1B. 2C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用雙曲線方程先含參表示漸近線方程，再待定系數(shù)計算即可.
【詳解】依題意，得m>0，
令，即的漸近線方程為，
所以.
故選：A
2. 已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的( )
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩直線平行的等價條件求得m，再結合充分必要條件進行判斷即可.
【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗證，當m＝－1時，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，
故選C.
【點睛】本題考查兩直線平行的條件，準確計算是關鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎題
3. 記等差數(shù)列的前項和為，則（）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下標和性質先求出的值，然后根據(jù)前項和公式結合下標和性質求解出的值.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，
故選：C.
4. 已知數(shù)列的通項，若是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列出不等式組求解即可.
【詳解】解：由已知得，即，解得.
故選：B.
5. 已知直線，從點射出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，則光線從到的路程為（）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出關于直線的對稱點的坐標，再求得的長即得．
【詳解】設點關于直線的對稱點為，則有解得，
因為光線從到的路程即的長，而.所以光線從到的路程為5.
故選：C．
6. 已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由兩圓外切和內切，得出圓心距與兩圓半徑和差的關系，設出動圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動圓的圓心的軌跡，進一步求出其方程.
【詳解】設動圓的圓心，半徑為
圓與圓:內切，與C2：外切.
所以.
由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點，長軸為16的橢圓.
則，所以
動圓的圓心的軌跡方程為：
故選：D
【點睛】本題考查兩圓的位置關系以及判斷方法和動點的軌跡方程，橢圓的定義，屬于中檔題.
7. 設直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點線距公式建立方程，解之即可.
【詳解】由三角形的面積公式可得，
得，由，得，
所以為等腰直角三角形，
所以圓心到直線的距離為，
由點到直線的距離公式得，解得.
故選：C
8. 設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
設過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.
【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，
由解得，，即，
由，所以有，
化簡得，所以離心率．
故選：B.
【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 數(shù)列0，1，0，，0，1，0，，…的一個通項公式是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)選項取值驗算可得正確答案.
【詳解】當時，，故C不正確；
當時，，排除B；
當，時，經(jīng)驗算，AD均正確，由周期性可知AD正確，
故選：AD.
10. 已知拋物線y2=2pxp>0上三點Ax1,y1，，，F(xiàn)為拋物線的焦點，則下列說法正確的是（）
A. 拋物線的準線方程為
B. 若，則
C. 若三點共線，則
D. 若，則的中點到軸距離的最小值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】將點B的坐標代入拋物線方程即可求得，從而求出準線方程判斷A；利用向量坐標運算得，進而利用焦半徑公式即可判斷B；設直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關系求解即可判斷C；結合焦半徑公式，利用及焦半徑公式即可判斷D.
【詳解】對A，把點代入拋物線，得，
所以拋物線的準線方程為，故A正確；
對B，因為Ax1,y1，，，F(xiàn)1,0，
所以，，，
又由，得，
所以，故B正確；
對C，因為三點共線，所以線段是焦點弦，
設直線：，
聯(lián)立得，
所以，故C不正確；
對D，設中點為，
因為，，
所以，得，
即的中點到軸距離的最小值為，故D正確.
故選：ABD
11. 曲線，下列結論正確的是（）
A. 曲線關于原點對稱
B. 曲線關于直線對稱
C. 當時，曲線上點的橫坐標的取值范圍為
D. 若曲線在第一象限內存在位于直線左側的點，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象關于點對稱的定義判斷A，根據(jù)圖象關于直線對稱的定義判斷B，利用方程研究曲線的范圍可判斷C，由題意建立不等式求解可判斷D.
【詳解】對選項A：設曲線上有一點，則①，而點關于原點對稱的點為，若曲線關于原點對稱，則也應在曲線上，則有②；聯(lián)立①②，得，此時無解，故A錯誤；
對選項B：設曲線上有一點，則③，而點關于對稱的點為，若曲線關于對稱，則也應在曲線上，則有④；聯(lián)立③④，得，即，該式恒成立，則和是在曲線上且關于對稱的點，即是該曲線的對稱軸，故B正確；
對選項C：由原方程得，解得，所以C正確；
對選項D：由原方程得，由題意知，當時有點在曲線上，因為，所以在上有解，即在上有解，又因為函數(shù)在上單調遞減，所以，所以D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若，則的短軸長為______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得為等腰直角三角形，又，計算可求，可求的短軸長.
【詳解】設，易知，
結合，可知為等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短軸長為.
故答案為：.
13. 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，則__________.
【答案】2024
【解析】
【分析】根據(jù)的關系，分是否等于1討論即可.
【詳解】由于數(shù)列的各項均為正數(shù)，即，
當時，，即，
當時，由，可得，兩式相減得，
又，
為一個以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，.
故答案為：2024.
14. 已知雙曲線，其左右焦點分別為，，點P是雙曲線右支上的一點，點I為的內心（內切圓的圓心），，若，，則的內切圓的半徑為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，結合雙曲線的定義可得，，在中，利用余弦定理求得，再根據(jù)即可得出答案.
【詳解】解：由，結合點I是的內切圓的圓心可知，
又有，所以，
再結合雙曲線的定義可得，，
再根據(jù)，由余弦定理可得，
即，解得，
則，
可得內切圓的半徑角.
故答案為：.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知圓過點和，且圓心在直線上.
（1）求圓的標準方程；
（2）經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設出圓的標準方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
解：設圓的方程為，
根據(jù)題意，可得，解得，
所以圓的方程為.
【小問2詳解】
解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，
則直線的方程為，即.
故直線的方程為或.
16. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，．
（1）求的通項公式；
（2）設，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)是等比數(shù)列，設的公比為，根據(jù)條件列出方程組．求出和可得數(shù)列的通項公式；
（2）求出的通項公式，代入，利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和．
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，
由題可得，
因為，所以，
所以．
（2）因為，所以，
所以，
所以，
，
兩式相減得
故．
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式和前項和的求解，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，屬于難題.
17. 如圖，已知四棱錐中，平面，，，是邊長為的正三角形，點在平面內的投影恰好是的中心.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）推導出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：因為平面，平面，所以，，
因為，所以，
因為，、平面，所以平面，
因為平面，所以，平面平面.
【小問2詳解】
解：如圖，連接、、，
因為點在平面內的投影恰好是的中心，
且是邊長為的正三角形，所以，三棱錐為正三棱錐，
因為為等腰直角三角形，則，
取的中點，連接，則，
因為，，，所以，，
所以，四邊形是矩形，則，
又因為，則，
因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、、、，
所以，，
設平面的法向量為，BC=0,1,0，，
則，取，則，
又，設直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角正弦值為.
18. 已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，分別為的左，右焦點，拋物線的頂點在原點，焦點與的右焦點重合.
（1）求橢圓與拋物線的標準方程；
（2）過焦點的直線交橢圓于點，交拋物線于點，為過點且垂直于軸的直線上異于的一點.
（i）若，求直線的方程；
（ii）設的斜率分別為，求的值.
【答案】（1），
（2）（i）或；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及2橢圓上的點求橢圓方程，再由橢圓右焦點得出拋物線方程；
（2）（i）設出直線方程，分別聯(lián)立橢圓與拋物線，由根與系數(shù)的關系及弦長公式，由題意建立方程，解出斜率即可得直線方程；
（ii）分別由斜率公式表示出斜率，計算化簡即可得解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，
解得
概圓的方程為.
，
拋物線的方程為.
【小問2詳解】
如圖，
（i）設的方程為，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以
，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設，則，
所以
因為，所以，
即，即，
所以直線的方程為或.
（ii）設，則，
，
.
19. 已知集合，若對于任意與至少有一個屬于，則稱為開心集.
（1）分別判斷集合與集合是否為開心集，并說明理由；
（2）當時，若，求開心集；
（3）若集合為開心集，且中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，求的最小值.
【答案】（1）不是開心集，是開心集，理由見解析；
（2）或；
（3）2023.
【解析】
【分析】（1）由開心集的定義判斷即可；
（2）由題意可得，分、求解即可；
（3）由題意可得，從而得，且也在中，由已知可得，從而得，，即可得答案.
【小問1詳解】
解：對于集合，因為，
故不是開心集；
對于集合，因為，
故集合是開心集.
【小問2詳解】
解：當時，，
因為，由題意得，故，
①若，由于，
故，故，即，此時符合題意.
②若，由于，
故，故，即，此時符合題意.
綜上，或
【小問3詳解】
解：由題意，，若中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，
則必有，故，
分別考慮和其他任意元素，
由題意可得也在中，而，
故，
特別地，，
下考慮對于，
因為，所以，
故，
特別地，，故，即，
由，且，故，即，
以此類推，.
又因為，
所以，
又因為，即，
所以，
即，故
當時，滿足條件.
綜上，的最小值為.
【點睛】關鍵點點睛：對于新概念題目，理解定義是關鍵.

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