類(lèi)型1 單一內(nèi)拐點(diǎn)型1. 如圖， AB ∥ CD ， EF 平分∠ BED ，∠ DEF ＋∠ D ＝ 66°，∠ B －∠ D ＝28°，則∠ BED ＝ ?.
2. [2024成都武侯區(qū)月考]如圖①， CE 平分∠ ACD ， AE 平 分∠ BAC ，∠ EAC ＋∠ ACE ＝90°.(1)請(qǐng)判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
解：(1) AB ∥ CD . 理由如下：因?yàn)?CE 平分∠ ACD ， AE 平分∠ BAC ，所以∠ ACD ＝2∠ ACE ，∠ BAC ＝2∠ CAE . 因?yàn)椤?EAC ＋∠ ACE ＝90°，所以∠ ACD ＋∠ BAC ＝2(∠ ACE ＋∠ CAE )＝180°.所以 AB ∥ CD .
(2)如圖②，在(1)的結(jié)論下，當(dāng)∠ E ＝90°保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn) E ，使∠ MCE ＝∠ ECD ，當(dāng)直角頂點(diǎn) E 移動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠ BAE 與∠ MCD 是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.
類(lèi)型2 單一外拐點(diǎn)型3. 如圖，若 AB ∥ CD ，則∠1＋∠3－∠2的度數(shù)為 ?.
4. 已知 AB ∥ CD ， P 為直線(xiàn) AB ， CD 所確定的平面內(nèi)一 點(diǎn).求證：∠ APC ＝∠ C －∠ A .
證明：如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PM ∥ AB ，
則∠ MPA ＝∠ A .
因?yàn)?AB ∥ CD ， MP ∥ AB ，
所以 PM ∥ CD . 所以∠ MPC ＝∠ C .
因?yàn)椤?APC ＝∠ MPC －∠ MPA ，
所以∠ APC ＝∠ C －∠ A .
類(lèi)型3 復(fù)合內(nèi)拐點(diǎn)型5. (1)如圖①，已知 AB ∥ CD ，∠ ABF ＝∠ DCE ，求證： ∠ BFE ＝∠ FEC .
證明：過(guò)點(diǎn) E 向左作 EM ∥ CD ，過(guò)點(diǎn) F 向右作 FN ∥ AB ，則 EM ∥ CD ∥ AB ∥ FN . 所以∠ ABF ＝∠ BFN ，∠ NFE ＝∠ FEM ，∠ MEC ＝∠DCE . 所以∠ BFE ＝∠ BFN ＋∠ NFE ＝∠ ABF ＋∠ FEM ，∠ FEC ＝∠ FEM ＋∠ MEC ＝∠ FEM ＋∠ DCE . 因?yàn)椤?ABF ＝∠ DCE ，所以∠ BFE ＝∠ FEC .
類(lèi)型4 復(fù)合外拐點(diǎn)型6. [2024北京西城區(qū)期中]已知直線(xiàn) AB ∥ CD ， P 為平面內(nèi)一 點(diǎn)，連接 PA ， PD . (1)如圖①，已知∠ A ＝50°，∠ D ＝150°，則∠ APD ＝ ?；
(2)如圖②，∠ PAB ，∠ CDP ，∠ APD 之間的數(shù)量關(guān)系 為 ?.
∠ PAB ＋∠ CDP －∠ APD ＝180°　
點(diǎn)撥：設(shè) PD 交 AN 于點(diǎn) O .
因?yàn)?AP ⊥ PD ，所以∠ APO ＝90°.
又因?yàn)椤?POA ＋∠ PAN ＝180°－∠ APO ＝90°，
由(2)得∠ PAB ＋∠ CDP －∠ APD ＝180°，
所以∠ PAB ＋∠ PDC ＝180°＋∠ APD .
類(lèi)型5 綜合多拐點(diǎn)型7. [2024江門(mén)月考]①如圖①， AB∥ CD ，則∠A ＋∠E ＋∠C ＝180°；②如圖②， AB∥CD ，則∠P ＝∠A －∠C ；③如圖③， AB∥CD ，則∠E ＝∠A ＋∠1；④如圖④，直線(xiàn) AB ∥ CD ∥ EF ，點(diǎn) O 在直線(xiàn) EF 上，則∠α－∠β＋∠γ＝180°.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　B　)
點(diǎn)撥：①如圖①，過(guò)點(diǎn) E 作直線(xiàn) EF ∥ AB . 因?yàn)?AB ∥CD ，所以 AB ∥ CD ∥ EF . 所以∠ A ＋∠1＝180°，∠2＋∠ C ＝180°.所以∠ A ＋∠1＋∠2＋∠ C ＝360°.所以∠A ＋∠AEC ＋∠ C ＝360°.故①錯(cuò)誤.
②如圖②.易知∠ P ＝∠1－∠ C . 因?yàn)?AB ∥ CD ，所以∠A ＝∠1.所以∠ P ＝∠ A －∠ C . 故②正確.
③如圖③，過(guò)點(diǎn) E 作直線(xiàn) EF ∥ AB . 因?yàn)?AB ∥ CD ，所 以 AB ∥ CD ∥ EF . 所以∠ A ＋∠3＝180°，∠1＝∠2. 所以∠ A ＋∠ AEC －∠1＝180°.∴∠ AEC ＝(180°－∠ A )＋∠1.故③錯(cuò)誤.
④因?yàn)?AB ∥ EF ，所以∠α＝∠ BOF .
因?yàn)?CD ∥ EF ，所以∠γ＋∠ COF ＝180°.
因?yàn)椤?BOF ＝∠ COF ＋∠β，所以∠ COF ＝∠α－∠β.
所以∠γ＋∠α－∠β＝180°.故④正確.故選B.
8. 已知， AB ∥ CD ，點(diǎn) M 在 AB 上，點(diǎn) N 在 CD 上.(1)在圖①中，∠ BME ，∠ E ，∠ END 之間的數(shù)量關(guān)系 為 ?；在圖②中，∠ BMF ，∠ F ，∠ FND 之間的數(shù)量關(guān)系 為： ?.
∠ BME ＝∠ E －∠ END 　
∠ BMF ＝∠ F ＋∠ FND 　
(2)如圖③， NE 平分∠ FND ， MB 平分∠ FME ，且2∠ E ＋∠ F ＝180°，則∠ FME 的度數(shù)為 ?.
(3)如圖④，∠ BME ＝60°， EF 平分∠ MEN ， NP 平分 ∠ END ，且 EQ ∥ NP ，則∠ FEQ 的大小是否發(fā)生變 化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠ FEQ 的 度數(shù).

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4 平行線(xiàn)的性質(zhì)

版本： 北師大版（2024）

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