選擇性必修第二冊（人教2019A版）
01. Definitin f arithmetic sequence
例一：為盡快售完某種商品，生產(chǎn)商推出了一種特殊的促銷活動：購買第一個商品享六折，第二個商品享五折，第三個商品享四折，依此類推。假設(shè)小明購買了5個商品，依次為 A、B、C、D、E。 A 商品原價為100元。求：小明購買這5個商品的總價格
觀察易得：每個商品之間的差價為原價的10%
不妨設(shè)：第一個商品為A1,第二個商品為A2；則：第n個商品為AN 易發(fā)現(xiàn)： A2- A1= A3- A2 = A4- A3……. = An- An-1=原價的10% 滿足類似這樣的規(guī)律的數(shù)列，稱之為等差數(shù)列，類似原價的10%的部分稱之為公差
等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那 么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示
等差數(shù)列的遞推公式 因為：A2- A1= A3- A2 = A4- A3……. = An- An-1=d 歸納得：An- An-1=d遞推公式為：An- An-1=d
等差中項： 由三個數(shù)A1 ，A2， A3組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時： A2叫做A1 和A3 的等差中項.
請結(jié)合等差數(shù)列的定義求證：等差中項滿足：2 A2 = A1 ＋ A3，并探究該結(jié)論是否可以拓展為：等差數(shù)列{An}中若：m+n=p+q，則Am+An=Ap+Aq恒成立。
同理： Am= A1+(m-1)d; An= A1+(n-1)d; Ap= A1+(p-1)d ;Aq= A1+(q-1)d 所以：Am+An= 2A1+(m+n-2)d Ap+Aq = 2A1+(p+q-2)d恒成立 因為： m+n=p+q 所以： Am+An=Ap+Aq得證
根據(jù)等差數(shù)列遞推公式： An- An-1=d 可得：A2 = A1 ＋d； A3 = A2 ＋d 所以：2 A2 = A1 ＋ A3 ，
02. The prperties f arithmetic sequences
等差數(shù)列的性質(zhì)｜ The prperties f arithmetic sequences
已知數(shù)列{an}是公差為m的等差數(shù)列，請判斷下列各小題
（1）：若將數(shù)列{an} 中的每一項都擴大到原來的t倍：則該數(shù)列依舊是等差數(shù)列但公差擴大到原來的t倍
（2）：若將數(shù)列{an} 中的每一項都加2：則該數(shù)列依舊是等差數(shù)列但公差不變
（3）：若將數(shù)列{an} 中的每一項和對應序號構(gòu)成一個點的坐標，例如：a1=2就是點（1.2）;則該數(shù)列在平面。 直角坐標系中的圖像是一個一次函數(shù)
（4）：在數(shù)列{an} 中的任選兩項ap和aq；若p>q,則： ap= aq+(p-q)m
（5）：在數(shù)列{an} 中的任選兩項ap和aq；若ap > ap,則： ap= aq+(p-q)m
03.等差數(shù)列的通項公式
03. The general frmula fr arithmetic sequences
等差數(shù)列的通項公式： An= A1 +(n-1)d
A2- A1 = d (1)A3- A2 = d (2)A4- A3 =d.(3) . . . An- An-1=d (n-1)
(1)+(2)+(3)+…+(n-1)= An- A1 =(n-1)d An= A1 +(n-1)d
累加法是高中數(shù)列必須掌握的五種方法之一
在遞增的等差數(shù)列{an}中:a3a8=96;a5+a6=22,求： {an}的通項公式
法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì) 因為： am= an +(m-n)d a3a8=96 （1） a5+a6 =(a8 -2d)+(a3 +2d) = a3+a8 = 22 （2） 將（2）代入（1）得：a3 (22-a3)=96 解之得：a2=6；a8=16 因為：a8= a3 +(8-3)d=16 故： an= a3+(n-3)d=6+2(n-3)=2n
這倆種解法的優(yōu)劣勢在哪？該如何選擇？
04.等差數(shù)列的前n項和
04. The sum f n terms in an arithmetic sequence
前n項和公式(Sn) 的證明
給定一個等差數(shù)列{an}:a1,a2,a3,a4,a5….an
倒序求和法：a1,a2,a3,a4,a5….an-2 ,an-1 ,an （1）an, an-1, an-2….a5,a4 ,a3,a2,a1 （2）(1)+(2)得:(a1+ an)+(a2 +an-1)+…+(an+ a1)=2(a1+a2+a3+…+an-1 +an )
因為：若：m+n=p+q，則am+an=ap+aq
化簡得：n(a1+ an) =2 Sn
在遞增的等差數(shù)列{an}中:a3a8=96;a5+a6=22,求： {an}的前n項和
前n項和的考察題型是多元化的，此處僅為基本解法
05.等差數(shù)列的理解深化
05. Deepening the understanding f arithmetic sequences
作為近幾年的新高考全國卷創(chuàng)新題的寵兒.數(shù)列整體的特性都在被深度挖掘，因此，對于數(shù)列學習要把握住其和其他知識點的綜合性
等差數(shù)列的公式的函數(shù)特點
等差數(shù)列的通項公式： an= a1 +(n-1)d 若將n視為變量，則a1 ； d為常數(shù) 故：an=dn+ a1-d 類似：F(x)=kx+b
區(qū)別：函數(shù)是連續(xù)的直線或者曲線 數(shù)列是一系列有規(guī)律的孤立的點
思考：能否用函數(shù)的思維方式，論證數(shù)列的最大值最小值和遞增遞減？
【分析】 利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤
06.等差數(shù)列的基本題型
06. Basic questin types f arithmetic sequences
基本題型｜ Basic questin types
利用定義法求解通項公式利用遞推公式證明等差數(shù)列等差中項的有關(guān)問題等差數(shù)列的函數(shù)特性等差數(shù)列通項公式的基本量計算
數(shù)列題目的解決思想存在一定的相似性，等差數(shù)列的題目的解決思想在后續(xù)將學習的等比數(shù)列和其他數(shù)列的題目中依舊適用
利用定義法求解前n項和多個數(shù)列的前n項和（構(gòu)造數(shù)列）部分項的和的性質(zhì)和應用前n項和的函數(shù)特性等差數(shù)列前n項和的基本量計算
根據(jù)已知條件構(gòu)造等差數(shù)列等差數(shù)列的新定義問題等差數(shù)列的實際應用等差數(shù)列和函數(shù)的綜合問題等差數(shù)列和概率的綜合問題
等差數(shù)列及其通項公式｜利用遞推公式證明等差數(shù)列
提示： 化簡條件求解出數(shù)列的遞推公式，從而構(gòu)建出待證的等差數(shù)列的遞推公式
等差數(shù)列及其通項公式｜等差中項的有關(guān)問題
等差數(shù)列及其通項公式｜等差數(shù)列的函數(shù)特性
提示： 不妨設(shè)d為任意一個滿足條件的數(shù)字例如：1
等差數(shù)列的前n項和｜利用定義法求解前n項和
提示： 最為簡單的方法就是假設(shè)等差數(shù)列的通項公式，代入數(shù)據(jù)求得：d和a1
等差數(shù)列的前n項和｜部分項的和的性質(zhì)和應用
提示： 此處可以直接利用等差數(shù)列的前n項和公式一，也可以利用有關(guān)結(jié)論
結(jié)論：數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差為n2-d的等差數(shù)列
等差數(shù)列的前n項和｜前n項和的函數(shù)特性
提示： 等比中項：a42=a8a10;利用前n項和和等比中項求解首項和公差
等差數(shù)列基本題型｜階段歸納總結(jié)
一：把握住幾個常見的遞推關(guān)系：
二：牢記有關(guān)的結(jié)論：數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差為n2-d的等差數(shù)列
三：靈活應用各種方法： 數(shù)列的題目不同于其他知識點，其靈活性相當?shù)拇螅坏李}存在多種解法是常有之事。因此同學們要注意日常的積累。習題冊就是最好的筆記本，某些解法具備特殊性，不可能在新課中完全解讀，但在習題中會遇到。

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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