8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，使成立.則a的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)（，），，函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的可能取值是（ ）
A．1B．3C．D．4
三、填空題
11．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
12．（21-22高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
13．（23-24高一上·廣西玉林·期中）已知函數(shù)（，且）的部分圖象如圖示．
(1)求的解析式；
(2)若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
14．（22-23高一上·黑龍江大慶·期末）已知函數(shù).
(1)求在上的值域；
(2)當(dāng)時(shí)，已知，若，使得，求的取值范圍.
B能力提升
1．（2023·四川綿陽(yáng)·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·上海·階段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)．對(duì)于函數(shù)，若存在且，使得，則稱是“函數(shù)”．若函數(shù)是“函數(shù)”，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是
C綜合素養(yǎng)
1．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給定，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則定義為的點(diǎn)．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，時(shí)，求的點(diǎn)；
(2)對(duì)于任意的，總存在，使得函數(shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
第05講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題
(分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“，”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】變形得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項(xiàng)不合要求.
【詳解】，，
即，，
∴，其中在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
其中時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，
其他選項(xiàng)均不合要求.
故選：A
2．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意得出求解即可.
【詳解】，，所以，，
在上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，，即，取成立.
當(dāng)時(shí)，，即，得，所以
當(dāng)時(shí)，，即，得，所以，
綜上： 的取值范圍是.
故選：A
3．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·期中）在上定義新運(yùn)算，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得存在實(shí)數(shù)，使得，則，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解.
【詳解】由已知，存在實(shí)數(shù)，使得，則，
因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，
所以，，故實(shí)數(shù)的最大值為.
故選：A.
4．（22-23高一上·遼寧營(yíng)口·期末）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【詳解】若，，使得，
故只需，
其中在上單調(diào)遞減，故，
在上單調(diào)遞增，故，
所以，解得：，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
5．（23-24高一上·浙江紹興·期中）若存在，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分離參數(shù)得在上有解，從而，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值即可求解.
【詳解】因?yàn)榇嬖?，有成立?br>所以在上有解，所以，
記，，令，則，，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為，且,
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
6．（23-24高一上·河北石家莊·期中）在上定義運(yùn)算：．已知時(shí)，存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依題意可得當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得到，解得即可.
【詳解】依題意不等式，即，
即，
則當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，
即當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且、、，所以，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
7．（23-24高一上·重慶南岸·期中）已知函數(shù)滿足條件：在R上是減函數(shù)，若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為能成立，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，可化為，
因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，所以，
所以問題轉(zhuǎn)化為，使成立，即，則，
因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
所以，即.
故選：B.
8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，使成立.則a的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將問題化為在上成立，利用指對(duì)數(shù)的單調(diào)性求對(duì)應(yīng)最值，再求解不等式解集即可.
【詳解】由題設(shè)，使成立，
所以在上成立，
對(duì)于，有，
對(duì)于，有，
所以，即，可得.
故選：B
二、多選題
9．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)（，），，函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)已知列方程可求出的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間恒成立，求出函數(shù)最小值，然后把問題轉(zhuǎn)化成，進(jìn)而求解即可.
【詳解】∵的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，即，
由于，故，
又∵函數(shù)的圖像過點(diǎn)，
∴，解得．
于是；
又“對(duì)任意，存在，使得”等價(jià)于“”，
當(dāng)時(shí)，，
即，即．
于是，即，
又，
∴，
即.
的取值范圍是．
故選：CD
10．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的可能取值是（ ）
A．1B．3C．D．4
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，由條件可得“，”為真命題，然后分離參數(shù)，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，
則命題“，”為真命題，
所以，，
令，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為增函數(shù)，
所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，
所以.
故選：BD
三、填空題
11．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立?br>所以有，或，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
12．（21-22高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對(duì)應(yīng)區(qū)間上，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求、的區(qū)間最值，即可求的范圍.
【詳解】若在上的最大值，在上的最大值，
由題設(shè)，只需即可.
在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.
在上，單調(diào)遞增，則，
所以，可得.
故答案為：.
四、解答題
13．（23-24高一上·廣西玉林·期中）已知函數(shù)（，且）的部分圖象如圖示．
(1)求的解析式；
(2)若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）結(jié)合圖象，利用待定系數(shù)法即可得解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由圖象可知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)和，
所以，解得，
所以函數(shù)的解析式是．
（2）由（1）知，，
根據(jù)題意知，即在有解，
設(shè)，則，
因?yàn)楹驮谏隙际菃握{(diào)遞增函數(shù)，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
14．（22-23高一上·黑龍江大慶·期末）已知函數(shù).
(1)求在上的值域；
(2)當(dāng)時(shí)，已知，若，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將化為關(guān)于的類二次函數(shù)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可求在上的值域；
（2）若，使得，則問題轉(zhuǎn)化為：
分別求出最值解不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)，
令，
則，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的值域?yàn)椋?br>（2）若，使得，
則問題轉(zhuǎn)化為：
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>；
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；
所以
即，
所以的取值范圍為：.
B能力提升
1．（2023·四川綿陽(yáng)·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對(duì)稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以代表與兩個(gè)函數(shù)中的較大者，
不妨假設(shè)
的函數(shù)圖像如下圖所示：
是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為直線，
①當(dāng)時(shí)，
在上是增函數(shù)，
需要即，
則存在使得成立，
故；
②當(dāng)時(shí)，
在上是先減后增函數(shù)，
需要，
即，
解得或，
又，
故時(shí)無解；
③當(dāng)時(shí)，
在上是減函數(shù)，
需要即，
則存在使得成立，
故.
綜上所述，的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是理解f(x)的定義，數(shù)形結(jié)合對(duì)參數(shù)a分三種情況進(jìn)行分別討論.
2．（22-23高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)新定義可推得，恒成立，即，的值域M，滿足，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意得定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，
即，滿足，
即，恒成立；
記函數(shù)，的值域?yàn)镸，，
則由題意得,
當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，
則，即,此時(shí)不滿足，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，
即，即 ,
要滿足，需，解得或 ，
而，故，即m的取值范圍為，
由圖知：要使有兩個(gè)正整數(shù)解，則，即，解得．
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為（）有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，根據(jù)不等式兩邊的單調(diào)性及正整數(shù)解個(gè)數(shù)列不等式組求范圍.
4．（23-24高一上·上?！るA段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)．對(duì)于函數(shù)，若存在且，使得，則稱是“函數(shù)”．若函數(shù)是“函數(shù)”，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】且
【分析】由函數(shù)定義得且，，且，，進(jìn)而有能成立，就的不同取值范圍分類討論后可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)，且，，且，，
所以能成立，即能成立，則，
所以，
若，則，，舍；
若，則，，舍；
若，則，，此時(shí) ；
若，則，，此時(shí) ；
若，則，與題設(shè)矛盾，
若，則，，此時(shí)，
若，則，，此時(shí)，
若，，舍；
故正實(shí)數(shù)的取值范圍是且.
故答案為：且
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由新定義得到能成立，得，討論的取值范圍后可確定參數(shù)的取值范圍.
C綜合素養(yǎng)
1．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給定，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則定義為的點(diǎn)．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，時(shí)，求的點(diǎn)；
(2)對(duì)于任意的，總存在，使得函數(shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)1和3
(2)或
【分析】（1）根據(jù)給定的定義，解一元二次方程作答.
（2）根據(jù)給定的定義，利用一元二次方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根列式，再結(jié)合恒成立的條件及一元二次不等式在區(qū)間上有解求解作答.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，依題意令，
即，解得或，
所以當(dāng)時(shí)，的點(diǎn)為和．
（2）因函數(shù)總存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，
則方程，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
依題意，對(duì)任意的，總存在使成立，
即對(duì)任意的，總存在使成立，而恒成立，
于是存在，不等式成立，
而，
從而得不等式在上有解，又二次函數(shù)開口向上，
因此或，解得或，
解得或，則有或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.

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2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)
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