2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

9．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（）
A．－10B．－9C．2D．3
10．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）
A．在上單調(diào)遞增
B．恰有一個極大值
C．當(dāng)時，無實數(shù)解
D．當(dāng)時，有三個實數(shù)解
三、填空題
11．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知且，方程有且僅有兩個不等根，則的取值范圍為
12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)在上的零點個數(shù)為
四、解答題
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點個數(shù)．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)方程恰有兩個不同的實根，求的取值范圍.
B能力提升
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個零點，其中，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù).若，且，則的取值范圍是 .
4．（23-24高三下·上海·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)的零點個數(shù)為．
5．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為 .
C綜合素養(yǎng)
1．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）(分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
1．（17-18高二·黑龍江牡丹江·課時練習(xí)）若，則方程在上根的個數(shù)為( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用的導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性,結(jié)合零點的唯一性定理可求解.
【詳解】設(shè)，則，
因為，所以，
所以當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，
又，
所以在(0，2)上恰有1個根，
即方程在上根的個數(shù)為1，
故選:B.
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點個數(shù).
【詳解】,
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，，，，
則的草圖如下：
由圖象可得函數(shù)的零點個數(shù)為.
故選：C.
3．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）方程有兩個不等的實數(shù)解，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】變形為有兩個不等的實數(shù)解，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到單調(diào)性和極值情況，又當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，從而得到答案.
【詳解】由題意得有兩個不等的實數(shù)解，
令，定義域為R，
，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故在時取得極小值，也是最小值，
故，
又當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，
故要想有兩個不等的實數(shù)解，則.
故選：C
4．（23-24高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，問題可轉(zhuǎn)化為與只有1個交點，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，畫出其函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出答案.
【詳解】令，
則可轉(zhuǎn)化為與只有1個交點，
當(dāng)時，，故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，又，
畫出的圖象如下：

要想與只有1個交點，只需，
故實數(shù)a的取值范圍是.
故選：A
5．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)若方程有三個不同的解，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將原題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點，結(jié)合圖象分析相應(yīng)的臨界位置求解，并利用導(dǎo)數(shù)處理切線問題.
【詳解】
∵，則
∴原題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點
表示為斜率為1，縱截距為a的直線，如圖可知：
滿足條件的直線以過點的直線，與相切的直線為臨界位置
若過點，則，即
若與相切，則，可得
即切點坐標(biāo)為，則
∴a的取值范圍是
故選：B.
6．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先分析題意，由于，設(shè)出進(jìn)一步分析，則，分析單調(diào)性解出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，，所以，令，
則函數(shù)在上存在零點等價于與的圖象有交點.
，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
因為，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)
時，單調(diào)遞增，所以，
又時，，故，所以，
故選：C.
7．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形可解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以，當(dāng)時，取得極小值，
再結(jié)合二次函數(shù)圖象，作出的圖象如下圖：
因為函數(shù)有3個零點，
所以函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
由圖可知，，即的取值范圍為.
故選：C
8．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出，根據(jù)圖像即可解決問題.
【詳解】因為，令，即，則，
所以函數(shù)在上有兩個不同的零點等價于曲線和在上有兩個不同的交點，
設(shè)，，則，令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)時，，且時，，
其圖像如圖所示，

故的取值范圍為.
故選：C.
二、多選題
9．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（）
A．－10B．－9C．2D．3
【答案】BCD
【分析】根據(jù)已知，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖行進(jìn)行求解.
【詳解】函數(shù)有三個零點，等價于有3個根，
即函數(shù)與函數(shù)有3個交點，令，
則，由有：或，由有：，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，所以的大致圖象為：

所以，解得，故A錯誤.
故選：BCD.
10．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）
A．在上單調(diào)遞增
B．恰有一個極大值
C．當(dāng)時，無實數(shù)解
D．當(dāng)時，有三個實數(shù)解
【答案】BCD
【分析】分類討論去掉絕對值符號后求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性、極值判斷AB，利用極值判斷方程的實根個數(shù)判斷C，利用數(shù)形結(jié)合思想判斷D．
【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，A錯誤；
對于B，由以上討論知是的極大值點，B正確；
對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，無實數(shù)解，C正確；
對于D，當(dāng)時，，由以上討論知當(dāng)時，．而，作出的大致圖象如圖所示．如圖可知，有三個實數(shù)解，所以有三個實數(shù)解，D正確．
故選：BCD．
三、填空題
11．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知且，方程有且僅有兩個不等根，則的取值范圍為
【答案】
【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求出，結(jié)合方程根的個數(shù)與函數(shù)圖象交點的個數(shù)之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】由，得.
令，則，
設(shè)函數(shù)，得.令，得.
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
所以，，又當(dāng)時，恒成立，
所以方程有且僅有兩個不等根，
即曲線圖象與直線有兩個交點的充分必要條件是，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)在上的零點個數(shù)為
【答案】2
【分析】
令，并將其轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)與的圖象的交點情況解決問題.
【詳解】令，可得，因為，則，也即，
，整理可得；
令，則，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
又當(dāng)時，，時，，
，且當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于；
在同一坐標(biāo)系中，作出與的函數(shù)圖象如下所示：
數(shù)形結(jié)合可知，與的函數(shù)圖象在有個交點，
故在有兩個零點.
故答案為：.
四、解答題
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增；1
【分析】（1）當(dāng)時，求出，，從而可求出切線方程.
（2）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出在上單調(diào)遞增．又，從而可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，則，，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，，，則，
故在上單調(diào)遞增．
又因為，所以在上的零點個數(shù)為．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)方程恰有兩個不同的實根，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極值，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1）依題意，，
，
所以，又，所以切線方程為.
（2）
因為，
所以：
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減.
所以在處取得極大值也即是最大值，
對于函數(shù)，
，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以的取值范圍是.
B能力提升
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個零點，其中，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)解析式得，由，得，設(shè)，則，從而可得，求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論與兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而可得答案.
【詳解】定義域為，顯然，
若是零點，則，
，
所以也是零點，函數(shù)有三個零點，
不妨設(shè)，則，
所以，，
當(dāng)時，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時，設(shè)的兩根分別為，
易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
，當(dāng)，，
所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.
綜上，的取值范圍是.
【點睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式得若是零點，也是零點，從而得，所以求的取值范圍即求的取值范圍，然后求解導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可.
2．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化為交點問題求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.
畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，
可得函數(shù)最小值為有四個不同的實數(shù)根，
數(shù)形結(jié)合可知的取值范圍是，
故選：A.
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù).若，且，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫出的大致圖象，在根據(jù)圖象以及解析式得到的關(guān)系及的范圍即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以的圖象大致如圖所示：

由，得，即，令得，結(jié)合圖象可知，所以.
故答案為：
4．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)的零點個數(shù)為．
【答案】643
【分析】
首先分區(qū)間寫出函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的周期，再利用數(shù)形結(jié)合，求函數(shù)的零點個數(shù).
【詳解】當(dāng)時，無解，故沒有零點，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
由圖象可得，
且方程的三個解分別為，不妨設(shè)，
則有，即，
又
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
又因為，所以，
所以有，即，
令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以的解集為，
綜上，的取值范圍為。
故答案為：
【點睛】方法點睛：本題考查復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題，此類題目一般做法為：
（1）先根據(jù)解析式畫出兩個函數(shù)圖象；
（2）令復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象及零點個數(shù)，分析外函數(shù)根的個數(shù)以及自變量對應(yīng)的取值范圍；
（4）再確定內(nèi)函數(shù)根個數(shù)及對應(yīng)參數(shù)取值范圍；
（5）解出參數(shù)范圍即可。
C綜合素養(yǎng)
1．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【答案】(1)是，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）記，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．
（2）將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點，即可得證；
（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可.
【詳解】（1）記，則，設(shè)切點為，
由切線方程為知，則，解得．
所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，
將與函數(shù)聯(lián)立，得．
記，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；
（2）因為，所以，
則點處的切線方程為，
將點處的切線的方程與聯(lián)立得，
記，
則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點，
故只要沒其它零點，此時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故此時為唯一的極小值點（也是最小值點），而，
故無其他零點，故直線為“切線”，因為的任意性，
故函數(shù)存在無窮多條“切線”，
（3）因為，則，
設(shè)點在函數(shù)的圖象上，
則點的切線為，與聯(lián)立得：
，
由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，
則或，
若，則是方程的唯一解（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標(biāo)為上的任意值）．
若，則（此時只有一條“切線”，切點的橫坐標(biāo)為）
或（此時有無數(shù)條“切線”，切點橫坐標(biāo)為上的任意值），
綜上，，即證．
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于新定義問題的關(guān)鍵是理解定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問題.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多