A．B．
C．D．
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則θ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．為的一個(gè)對(duì)稱中心D．最小正周期為
10．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）已知，則下列說法正確的有（ ）
A．圖象對(duì)稱中心為
B．的最小正周期為
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．若，則
三、填空題
11．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域?yàn)? ．
12．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)，若，則 ．
四、解答題
13．（23-24高一下·廣西百色·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求的解析式；
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值；
(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
14．（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)；
(1)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．
B能力提升
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則θ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，向下平移1個(gè)單位長度，向左平移個(gè)單位長度，最后所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)壓縮到原來的0.5倍，得到函數(shù)的圖象．若對(duì)任意，都存在，使得，則的取值范圍為
4．（23-24高一上·北京東城·期末）函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)情況有下列說法：
①當(dāng)取某些值時(shí)，無零點(diǎn)； ②當(dāng)取某些值時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)取某些值時(shí)，恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)； ④當(dāng)取某些值時(shí)，恰有3個(gè)不同的零點(diǎn).
則正確說法的全部序號(hào)為 .
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，則稱函數(shù)為“自均值函數(shù)”，其中稱為的“自均值數(shù)”．
(1)判斷定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，，是否為“自均值函數(shù)”，給出判斷即可，不需說明理由；
(2)判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由；
(3)若函數(shù)為”自均值函數(shù)”，求的取值范圍．
第05講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (分層精練）
A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）下列是函數(shù)的對(duì)稱中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】整體法求出函數(shù)的對(duì)稱中心為，一一檢驗(yàn)得到答案.
【詳解】令，解得，
故函數(shù)的對(duì)稱中心為，
故AB錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故對(duì)稱中心為，D正確，
經(jīng)檢驗(yàn)，C不滿足要求.
故選：D
2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡所求函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的奇偶性即可得解.
【詳解】因?yàn)?，顯然是偶函數(shù).
故選：B.
3．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）函數(shù)相鄰極值點(diǎn)的距離為，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義可得，結(jié)合公式計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的相鄰極值點(diǎn)之間的距離為，
所以，得，又，
所以.
故選：D
4．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù)，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，，
由是偶函數(shù)，得，，
而，則.
故選：B
5．（2020·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【詳解】由題意可知：
，
當(dāng)時(shí)，則，所以
故選：B.
6．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，則時(shí)，的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角函數(shù)的圖象變換求出，再利用整體法求解函數(shù)值域即可.
【詳解】由題意得，
所以當(dāng)時(shí)，，.
故選：C
7．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象直接求出，再利用圖象過點(diǎn)，即可求出，即可解決問題.
【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)具有唯一性，故此處不妨設(shè)
由函數(shù)的圖象可知，，又，得到，
又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過，所以，得到，
所以，又，所以，
所以函數(shù)的解析式為，
故選：C．
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則θ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用輔助角公式化簡得，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖象的變換法則可得，又由為偶函數(shù)，從而可求解.
【詳解】由題意得，
由三角函數(shù)圖象的變換法則可得，
由為偶函數(shù)，得，，得，，
又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確.
故選：B.
二、多選題
9．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．為的一個(gè)對(duì)稱中心D．最小正周期為
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)值的定義及誘導(dǎo)公式，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對(duì)于A ，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，把代入中，得，
所以為的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）已知，則下列說法正確的有（ ）
A．圖象對(duì)稱中心為
B．的最小正周期為
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．若，則
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，整體法求出函數(shù)的對(duì)稱中心；B選項(xiàng)，根據(jù)求出答案；C選項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得到無單調(diào)增區(qū)間；D選項(xiàng)，得到，結(jié)合圖象求出不等式.
【詳解】A選項(xiàng)，令，則，
即圖象對(duì)稱中心為；故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，最小正周期為，故B正確；
C選項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，只需求的單調(diào)遞減區(qū)間，
顯然無單調(diào)增區(qū)間，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，即，
故，
解得，故D正確．
故選：BD
三、填空題
11．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】首先確定的范圍，結(jié)合二次函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
，的值域?yàn)?
故答案為：.
12．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)，若，則 ．
【答案】0
【分析】
根據(jù)函數(shù)解析式可得，結(jié)合題意分析求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>可得，所以.
故答案為：0.
四、解答題
13．（23-24高一下·廣西百色·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求的解析式；
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值；
(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用點(diǎn)代入求得，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求得，從而得解；
（2）利用整體代入法與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（3）由m的最大值可得的取值范圍，利用三角函數(shù)的圖象即可求得值域.
【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象經(jīng)過成，所以，又因?yàn)?，所?br>因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，
又因?yàn)?，所以，所以?br>（2）由，得，
所以在上單調(diào)遞減，所以，故m的最大值為.
（3）m取最大值時(shí)，區(qū)間即，
的值域?yàn)?
14．（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)；
(1)確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角恒等變換將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)后結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得；
（2）借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】（1）
，
由，
∴的單調(diào)增區(qū)間為；
（2）當(dāng)，即時(shí)，有最大值5．
B能力提升
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則θ的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用輔助角公式化簡得，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖象的變換法則可得，又由為偶函數(shù)，從而可求解.
【詳解】由題意得，
由三角函數(shù)圖象的變換法則可得，
由為偶函數(shù)，得，，得，，
又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確.
故選：B.
2．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個(gè)整體，研究在的零點(diǎn)，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終列出關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由，即，得，
當(dāng)時(shí)，，又，則，
因?yàn)樵诘牧泓c(diǎn)為，
且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以或，
解得，
故選：D
3．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，向下平移1個(gè)單位長度，向左平移個(gè)單位長度，最后所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)壓縮到原來的0.5倍，得到函數(shù)的圖象．若對(duì)任意，都存在，使得，則的取值范圍為
【答案】
【分析】由題意易得在上的值域是在上值域的子集，再分析的最值判斷值域的包含關(guān)系求解即可
【詳解】由已知可知，
因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得，
因?yàn)?，可得，所以不存在的值，使得?個(gè)零點(diǎn)，所以④不正確.
故答案為：①②③
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，則稱函數(shù)為“自均值函數(shù)”，其中稱為的“自均值數(shù)”．
(1)判斷定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，，是否為“自均值函數(shù)”，給出判斷即可，不需說明理由；
(2)判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由；
(3)若函數(shù)為”自均值函數(shù)”，求的取值范圍．
【答案】(1)不是，與是“自均值函數(shù)”
(2)不是，理由見解析
(3)
【分析】
（1）根據(jù)所給定義判斷即可；
（2）假設(shè)滿足條件得到，分別計(jì)算函數(shù)，的值域，不滿足條件，得到答案.
（3）變換得到，的值域是，根據(jù)值域關(guān)系排除的情況，得到，計(jì)算函數(shù)最值得到，解得答案.
【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)定義域，若是“自均值函數(shù)”，
則存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，
則，即，
因?yàn)椋?，不符合題意，所以，不是“自均值函數(shù)”；
對(duì)于函數(shù)定義域，
令，則對(duì)任意都存在滿足，
所以是“自均值函數(shù)”；
對(duì)于函數(shù)定義域，
令，則對(duì)任意都存在滿足，
所以是“自均值函數(shù)”；
（2）函數(shù)，定義域，若是“自均值函數(shù)”，
則存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，
即，即，
又函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，不滿足條件，
故函數(shù)不是為“自均值函數(shù)”.
（3）存在，對(duì)于，存在，有，
即，
當(dāng)時(shí)，的值域是，
則在值域包含，
當(dāng)時(shí)又，則，
若，則，，
此時(shí)值域的區(qū)間長度不超過，而區(qū)間長度為，不符合題意，
于是得，，
要使在的值域包含，
則在的最小值小于等于，
又時(shí)，單調(diào)遞減且，而有，解得，
此時(shí)取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將題目的新定義問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的包含問題，再求解是解題的關(guān)鍵，這種轉(zhuǎn)化思想是常用的思想，需要熟練掌握.

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