7．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學?？计谀┮阎瘮?shù)為上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中?？茧A段練習）已知，下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎瑒t的值可以為（ ）
A．2B．4C．6D．8
三、填空題
11．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末） ．
12．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
四、解答題
13．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎?，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
14．（2024下·吉林長春·高一長春外國語學校?？奸_學考試）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之差為
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，當時，解不等式．
B能力提升
1．（2024·四川·校聯(lián)考一模）函數(shù)的圖象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象恒過定點，且點的坐標滿足方程，其中，，則的最小值為（ ）
A．7B．6C．D．
3．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．1C．-5D．5
4．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)滿足，當時，，且，則當時，不等式的解集為 .
5．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校?？计谀┤魸M足以下條件：①；②的圖象關于對稱；③對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立，則的解析式可能為 .
C綜合素養(yǎng)
6．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)m，n，都有，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．
(1)試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍．
7．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學小組在探究函數(shù)的性質時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過觀察圖像和閱讀數(shù)學文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的,有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）. 小組成員通過詢問數(shù)學競賽的同學對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式求多元最值問題，關鍵是構造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設，求W=的最小值.
(2)設為大于或等于1的實數(shù)，證明（提示：可設）
(3)若a>1，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
第05講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) (分層精練）
A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)(新定義解答題）
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024下·全國·高一開學考試）下列運算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】AB選項，根據(jù)指數(shù)運算法則計算出答案；CD選項，根據(jù)指數(shù)運算和對數(shù)運算法則進行計算.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，，D錯誤.
故選：A
2．（2024上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期末）當且時，函數(shù)恒過定點（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】當時，，與無關，
則函數(shù)恒過定點．
故選：B.
3．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化與運算法則即可得解.
【詳解】因為，則，
所以.
故選：C.
4．（2024下·山東濟南·高三濟南一中校聯(lián)考開學考試）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項.
【詳解】由函數(shù)，，令，解得，
則其定義域為，關于原點對稱，
所以函數(shù)在定義內為偶函數(shù)，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.
故選：A
5．（2024下·江蘇南通·高三海安高級中學校考開學考試）設．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】A
【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質分類討論即可得.
【詳解】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，
當時，函數(shù)單調遞增，有，不符合題意，故舍去；
當時，函數(shù)單調遞減，有，符合題意，故正確.
故選：A.
6．（2024下·安徽蕪湖·高二安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知且 ，若函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若滿足條件，則每一段上都為增函數(shù)，且在分界點處的函數(shù)值前一段的函數(shù)值不大于后一段的函數(shù)值，求解即可.
【詳解】函數(shù)在上單調遞增，
，，
實數(shù)的取值范圍為，
故選：D.
7．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學?？计谀┮阎瘮?shù)為上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指數(shù)函數(shù)單調性求解不等式得解.
【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，當時，，
則當時，，有，顯然，
不等式轉化或，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：C
8．（2024上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】探討函數(shù)的奇偶性、單調性，再利用性質求解不等式即得.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，
即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當時，，
函數(shù)在上單調遞增，則在上單調遞減，
在上單調遞增，又在上單調遞增，
因此在上單調遞增，而不等式，
于是，兩邊平方得，解得，
所以所求不等式的解集為.
故選：B
二、多選題
9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中?？茧A段練習）已知，下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】利用完全平方，立方和展開式，指數(shù)運算計算得出結果.
【詳解】A：，故A正確；
B：，故B正確；
C：，故C正確；
D：，故D正確；
故選：ABCD.
10．（2024上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎?，則的值可以為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】CD
【分析】先由等式得到，再應用基本不等式求得的范圍，結合選項判斷即可.
【詳解】由得：，解得，即，
由于，，當且僅當（即）時取得等號.
故選：CD.
三、填空題
11．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末） ．
【答案】112
【分析】根據(jù)完全平方式的特征即可求解.
【詳解】,
故答案為：112
12．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性化簡不等式，由此求得不等式的解集.
【詳解】在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
則由得，解得，即不等式的解集為．
故答案為：
四、解答題
13．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎?，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分數(shù)指數(shù)冪的運算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分數(shù)指數(shù)冪的運算即可得解.
【詳解】（1）由題意，所以.
（2）由題意，
所以.
14．（2024下·吉林長春·高一長春外國語學校?？奸_學考試）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之差為
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，當時，解不等式．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最值，結合條件，即可求解；
（2）首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質，化解不等式，即可求解.
【詳解】（1）當時，，，
則，解得
當時，，，
則，解得
綜上得：或
（2）當時，由（1）知，
為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，
∴ 即，
，得或，
所以，不等式的解集為.
B能力提升
1．（2024·四川·校聯(lián)考一模）函數(shù)的圖象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，再結合，利用的函數(shù)值的符號，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，關于原點對稱，
且，
可知為偶函數(shù)，其函數(shù)的圖象關于軸對稱，可排除C，D；
當時，可得，
若時，，則；
若時，可得，則，此時B不符題意.
故選：A
2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象恒過定點，且點的坐標滿足方程，其中，，則的最小值為（ ）
A．7B．6C．D．
【答案】C
【分析】先利用必過定點確定的坐標，后利用基本不等式‘1’的代換處理即可.
【詳解】在中，當時，，故，
將代入直線方程中，化簡得，
故，
當且僅當‘’時取等，即的最小值為.
故選：C
3．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．1C．-5D．5
【答案】A
【分析】構造函數(shù)，證明其為偶函數(shù)，據(jù)此可得解.
【詳解】設，
則，
所以，即，
所以.
因為，所以.
故選：A
4．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)滿足，當時，，且，則當時，不等式的解集為 .
【答案】
【分析】首先確定函數(shù)的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式.
【詳解】由知，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，
，得，
所以當時，，
設， ,
則，得，即，
當， ，
則，得，即，
綜上可知不等式的解集為.
故答案為：
5．（2024上·重慶·高一重慶市青木關中學校?？计谀┤魸M足以下條件：①；②的圖象關于對稱；③對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立，則的解析式可能為 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質，圖象關于對稱，和對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立共同得出即可.
【詳解】設，
因為，故滿足①；
圖象為：
故滿足②；
設，則，由指數(shù)函數(shù)的性質可知，故，所以滿足③；當，則，由指數(shù)函數(shù)的性質可知，故，也滿足③.
故答案為：(答案不唯一).
C綜合素養(yǎng)
6．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)m，n，都有，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．
(1)試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍．
【答案】(1)是“速增函數(shù)”，不是“速增函數(shù)”
，
所以，
又因為當時，，
所以，
由對一切正數(shù)恒成立，可得，即．
綜上可知，a的取值范圍是．
7．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學小組在探究函數(shù)的性質時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過觀察圖像和閱讀數(shù)學文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的,有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）. 小組成員通過詢問數(shù)學競賽的同學對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式求多元最值問題，關鍵是構造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設，求W=的最小值.
(2)設為大于或等于1的實數(shù)，證明（提示：可設）
(3)若a>1，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)．
【分析】（1）先證明在為凹函數(shù)，再利用琴生不等式求解；
（2）證明在為凹函數(shù)再結合琴生不等式得證；
（3）分離參數(shù)，求函數(shù)最值得解.
【詳解】（1）記函數(shù)，首先證明其凹凸性：
,則
所以在為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即
所以，當時，W的最小值為.
（2）設,因為故
要證只需證
由琴生不等式，只需證在為凹函數(shù).
設，
下證，即證，
即證,
化簡得.
即證
式顯然成立，所以成立，在為凹函數(shù)，則得證.
（3）當時，不等式恒成立，即，因為,即恒成立，
可得在時恒成立．
因為，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)性質應用，解決問題關鍵是將凹凸性和琴生不等式聯(lián)系起來.

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