二、多選題
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
三、填空題
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為 ．
12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內(nèi)任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍 ．
四、解答題
13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：對，恒成立．
14．（23-24高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.
15．（2024·湖南邵陽·二模）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.
B能力提升
1．（2022·全國·模擬預(yù)測），對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（ ）
A．8B．6C．5D．2
2．（23-24高二下·湖南永州·開學(xué)考試）若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（ ）
A．B．1C．eD．
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·山西運城·期末）若對任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為 ．
5．（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，對任意且，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)設(shè)、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(3)設(shè)且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．
第04講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，不等式對任意實數(shù)x都成立，只需，用導(dǎo)數(shù)法求出，即可求解.
【詳解】,
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，
所以取得極小值，也是最小值，
，
不等式對任意實數(shù)x都成立，
所以.
故選:D.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）函數(shù)，若恒有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0.
【詳解】，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
∴，
∴.
故選：C.
3．（22-23高三上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由的幾何意義，得函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，可得在內(nèi)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求.
【詳解】因為的幾何意義，表示點與點連線斜率，
∵實數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，
由函數(shù)的定義域知，，所以在內(nèi)恒成立，
由于二次函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
故，∴，
∴．
故選：A.
4．（22-23高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用分類討論、構(gòu)造函數(shù)求最值和二次函數(shù)的性質(zhì)，求解實數(shù)的取值范圍
【詳解】
當(dāng)時，，由，可得，
設(shè)，可得，時，，在上單調(diào)遞增，
可得，，即；
當(dāng)時，，
故的解為或，
時，要滿足恒成立，只需滿足，即．
綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為．
故選：C．
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，恒成立，則實數(shù)的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，就、分類討論后可得，利用導(dǎo)數(shù)可求.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
而，故當(dāng)時，即，
這與題設(shè)矛盾.
當(dāng)時，
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，
故，故，
故，設(shè)，則且恒成立，
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，
故，故即，
此時，
故選：D.
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，恒成立，則實數(shù)的最大值是（ ）
A．B．1
C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)，就、分類討論后可求實數(shù)的最大值.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時，，故為上的增函數(shù)，
此時當(dāng)時，，故不恒成立，舍；
當(dāng)時，恒成立，符合要求；
當(dāng)時，
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)；
故，
故，故實數(shù)的最大值，
故選：C.
7．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對，都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
對不等式作等價變形，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，再分離參數(shù)求解即得.
【詳解】函數(shù)，，，
令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而不等式為，
因此，，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞增，
當(dāng)時，，遞減，因此，于是，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)，若時，恒有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由分類討論即可得解.
【詳解】由，得，
令，
則，
因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，則存在，使得，
且當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，故不恒成立，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：B.
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論解決恒成立問題.
【詳解】若恒成立，則恒成立，
構(gòu)建，則，
∵，故，則有：
當(dāng)，即時，則當(dāng)時恒成立，
故在上單調(diào)遞增，則，
即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；
當(dāng)，即時，令，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
構(gòu)建，則當(dāng)時恒成立，
故在上單調(diào)遞減，則，
∵，
故滿足的整數(shù)；
綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.
故選：ABC.
10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BCD
【分析】
先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對稱性和單調(diào)性得出答案.
【詳解】因為，
所以，
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
當(dāng)時，為增函數(shù)；
令，則，
時，，，所以，所以為增函數(shù)，
所以當(dāng)時，為增函數(shù).
由對稱性可知，當(dāng)時，為減函數(shù).
因為恒成立，所以恒成立，
即，解得.
故選：BCD.
三、填空題
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，則正整數(shù)m的最大值為 ．
【答案】5
【詳解】由題意可知xex－exln x＋ex＞mx，即x－ln x＋1＞恒成立．令f(x)＝x－ln x＋1，f′(x)＝1－＝.當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴ 當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)取得極小值，即最小值，f(x)min＝f(1)＝2.令g(x)＝，則g′(x)＝＝，當(dāng)x∈(0，1)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．∴ 當(dāng)x＝1時，函數(shù)g(x)取得極大值，即最大值，g(x)max＝g(1)＝.∴ {f(x)－mg(x)}min＝f(1)－mg(1)＝2－＞0，得m＜2e∈(5，6)，∴ 正整數(shù)m的最大值為5.
12．（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對函數(shù)定義域內(nèi)任意的都有成立，那么為函數(shù)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知，，若為函數(shù)在區(qū)間上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意知，令，求出即可.
【詳解】由題意可知對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
從而得對任意的恒成立，
設(shè)，，
則，，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以.
故答案為:.
四、解答題
13．（23-24高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：對，恒成立．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；
（2）由（1）得函數(shù)的最小值，再利用換元法即可證明；
【詳解】（1）
，
令，則；
令，則．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）
由（1）可得，即 ，
令，
代入可得，即，
所以對，恒成立．
14．（23-24高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.
【詳解】（1）
因為的定義域為，
所以，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，，
令，則，
令，則，
因為，所以，
所以當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
【點睛】結(jié)論點睛：恒成立問題：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
15．（2024·湖南邵陽·二模）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.
【答案】(1)極小值，無極大值；
(2).
【分析】
（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值;
（2）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.
【詳解】（1）.
令，得，令，得.
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
在處取得極小值，無極大值.
（2）對恒成立，即對恒成立.
令，則只需即可.
.
易知均在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增且.
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
.故，故的最大值為.
B能力提升
1．（2022·全國·模擬預(yù)測），對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解.
【詳解】由在上恒成立，可得，
即在上恒成立，
只需求出的最小值，的最大值.
設(shè)，
則，
∴在上單調(diào)遞減，得.
再設(shè)，
易得在上單調(diào)遞減，
∴，故有.
若存在，則必有，即，
又，且n為整數(shù)，故滿足要求，的整數(shù)都不成立，
故整數(shù)n的最大值為4，最小值為2，
∴最大值與最小值之和為6.
故選：B.
2．（23-24高二下·湖南永州·開學(xué)考試）若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】A
【分析】
將已知不等式變形為，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.
【詳解】由可得，
由,且,所以，即，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，令，則,
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；
所以，故.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函數(shù)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分，，三種情況討論，將恒成立問題分參轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立；
當(dāng)時，此時，即，
即對任意恒成立，
令在上單調(diào)遞減，則，故.
當(dāng)時，此時，即，
即，對任意恒成立，
令，其中，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
又，要使在恒成立，
則在恒成立，
即在恒成立，
令，則在上單調(diào)遞減，，
所以.
綜上所述：的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.
4．（23-24高二上·山西運城·期末）若對任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為 ．
即在上恒成立，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（2023·上海普陀·一模）若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)設(shè)、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(3)設(shè)且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
(2)存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；
(3)的最大值為.
【分析】
（1）令，按照題目所給定義，求出和，并判斷是否恒成立即可；
（2）先利用為奇函數(shù)且在處取得極值求出實數(shù)，的值，再按照題目所給定義，求出，即可求出的取值范圍；
（3）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，通過的最小值，即可確定正整數(shù)的最大值.
【詳解】（1）令，，
則，，
，，
當(dāng)時，恒成立，
∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
（2）∵，
∴，
∵在處取得極值，且為奇函數(shù)，
∴在處也取得極值，
∴，解得，
∴， ，
當(dāng)時，令，解得；令，解得；
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足在處取得極值，
∴，
當(dāng)時，恒成立，
∴存在實數(shù)，使在區(qū)間上恒成立，
∴存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；
（3）∵，
∴，
令，
則，
令，
則，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴存在，使，
∴當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，的最小值為，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題中存在無法求解零點，使用了虛設(shè)零點的方法，設(shè)，再通過的代換，求得的最小值，這種方法，是解決“隱零點”的常用方法之一.

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2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)：

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