2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第02講等差數(shù)列及其前n項和(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2278" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc2278 \h 1
\l "_Tc11730" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc11730 \h 2
\l "_Tc3989" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc3989 \h 3
\l "_Tc21672" 高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 PAGEREF _Tc21672 \h 3
\l "_Tc29320" 高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明 PAGEREF _Tc29320 \h 5
\l "_Tc3344" 高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)） PAGEREF _Tc3344 \h 6
\l "_Tc28335" 高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)） PAGEREF _Tc28335 \h 7
\l "_Tc19735" 高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度3：等差數(shù)列的最值問題） PAGEREF _Tc19735 \h 8
\l "_Tc9025" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc9025 \h 10
第一部分：基礎(chǔ)知識
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為()(或者），為常數(shù)．
(2)等差中項：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)若等差數(shù)列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數(shù)列的前項和公式(其中)．
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．
(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．
(3)也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.
（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項和分別為,,則
4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
可化為的形式．當(dāng)時，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列．
(2)等差數(shù)列前項和公式可變形為.當(dāng)時，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（）
A．B．C．1D．
2．（2024·全國·高考真題（新課標(biāo)Ⅱ））記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
3．（2024·上海·高考真題）若．
(1)過，求的解集；
(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列按照如圖的方式排列成一個的方陣，并從里到外分為n層. 設(shè)第n層內(nèi)的所有數(shù)字和為，且有，則數(shù)列的公差為．
例題2．（2024·四川達(dá)州·二模）等差數(shù)列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數(shù)列，，求通項公式.
例題3．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，
(1)已知，，，求和；
(2)已知，，求；
(3)已知，，，求．
練透核心考點(diǎn)
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）（1）在等差數(shù)列中，，求的值；
（2）在等差數(shù)列中，，，求．
2．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等差數(shù)列an中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求及；
(3)已知，，，求項數(shù).
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中．
(1)，，，求n和d；
(2)，，求和d．
方法總結(jié)：解決等差數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法
(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項和公差,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在正項數(shù)列中，，則（）
A．16B．8C．D．7
例題2．（24-25高二上·全國·課堂例題）若數(shù)列的前項和，求這個數(shù)列的通項公式，并判斷這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高二·云南）已知數(shù)列中，，，.
(1)求的值；
(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項公式.
2．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，若，．
(1)求的通項公式；
(2)證明是等差數(shù)列．
高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)）
典型例題
例題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前10項和為100，且，則（）
A．5B．10C．15D．20
例題2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）
A．60B．80C．140D．160
練透核心考點(diǎn)
1．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）
A．36B．48C．52D．66
高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)）
典型例題
例題1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．54B．63C．72D．135
例題2．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則等于（）
A．﹣4040B．﹣2024C．2024D．4040
例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和分別為與，且，則（）
A．B．C．D．
例題4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知、是等差數(shù)列、的前n項和，且，求.
例題2．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）數(shù)列是等差數(shù)列，，．
(1)從第幾項開始有？
(2)求此數(shù)列的前項和的最大值．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·貴州遵義·期末）數(shù)列的前n項和記為，已知，．
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
2．（23-24高二上·廣東深圳）已知等差數(shù)列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若的前項和為，求的最大值.
方法總結(jié)求等差數(shù)列前項和最值的兩種方法
第四部分：新定義題
1．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）定義：從數(shù)列中隨機(jī)抽取m項按照項數(shù)從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”；
(1)已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔
(2)已知數(shù)列是項數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項遞增衍生列”；
(3)已知首項為1的等差數(shù)列的項數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”，其中．若在數(shù)列中任意抽取3項，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，求m的最大值．
2．（23-24高二下·北京房山·期末）若數(shù)列滿足：對任意，都有，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，，判斷，是否是“數(shù)列”；
(2)已知是等差數(shù)列，，其前項和記為，若是“數(shù)列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，，記，若是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”，是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．證明是等差數(shù)列
定義法
()(或者）
等差中項法
判斷是等差數(shù)列
的通項關(guān)于的一次函數(shù)
的前項和
（注意沒有常數(shù)項）
第02講等差數(shù)列及其前n項和
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2278" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc2278 \h 1
\l "_Tc11730" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc11730 \h 2
\l "_Tc3989" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc3989 \h 4
\l "_Tc21672" 高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 PAGEREF _Tc21672 \h 4
\l "_Tc29320" 高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明 PAGEREF _Tc29320 \h 8
\l "_Tc3344" 高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)） PAGEREF _Tc3344 \h 10
\l "_Tc28335" 高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)） PAGEREF _Tc28335 \h 12
\l "_Tc19735" 高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度3：等差數(shù)列的最值問題） PAGEREF _Tc19735 \h 15
\l "_Tc9025" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc9025 \h 18
第一部分：基礎(chǔ)知識
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為()(或者），為常數(shù)．
(2)等差中項：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)若等差數(shù)列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數(shù)列的前項和公式(其中)．
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．
(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．
(3)也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.
（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項和分別為,,則
4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
可化為的形式．當(dāng)時，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列．
(2)等差數(shù)列前項和公式可變形為.當(dāng)時，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（）
A．B．C．1D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2．（2024·全國·高考真題（新課標(biāo)Ⅱ））記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
【答案】95
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和
【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
3．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．
(1)過，求的解集；
(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、等差中項的應(yīng)用
【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；
（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在0,+∞上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．
【詳解】（1）因為y=fx的圖象過，故，故即（負(fù)的舍去），
而在0,+∞上為增函數(shù)，故，
故即，
故的解集為.
（2）因為存在使得成等差數(shù)列，
故有解，故，
因為，故，故在0,+∞上有解，
由在0,+∞上有解，
令，而在0,+∞上的值域為1,+∞，
故即.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列按照如圖的方式排列成一個的方陣，并從里到外分為n層. 設(shè)第n層內(nèi)的所有數(shù)字和為，且有，則數(shù)列的公差為．
【答案】4
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】由題意，求出，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即可解出數(shù)列的公差.
【詳解】由題意的，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
即，解得.
故答案為：4.
例題2．（2024·四川達(dá)州·二模）等差數(shù)列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若為等比數(shù)列，，求通項公式.
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等比數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算得出，再求；
（2）應(yīng)用等比數(shù)列通項公式基本量運(yùn)算得出公比，再求通項即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，.
（2）
數(shù)列公比為
例題3．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，
(1)已知，，，求和；
(2)已知，，求；
(3)已知，，，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出，再由通項公式求出；
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，再由求和公式計算可得
（3）利用等差數(shù)列前項和公式及下標(biāo)和性質(zhì)求出，從而得到，最后由求和公式計算可得.
【詳解】（1）由題意得，解得．
又，∴，∴，．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，，
，解得，
則．
（3），
，
，
．
練透核心考點(diǎn)
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）（1）在等差數(shù)列中，，求的值；
（2）在等差數(shù)列中，，，求．
【答案】（1）1；（2）.
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項和公式及項的性質(zhì)化簡后，代入即得；
（2）利用等差數(shù)列的片段和的性質(zhì)得到新的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前項和公式求出新數(shù)列的公差，通過求新數(shù)列的第11項即可求出.
【詳解】（1）∵an為等差數(shù)列，∴，，
∴．
（2）∵數(shù)列an為等差數(shù)列，
∴，，，…，也成等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，由此數(shù)列的前10項之和為，
即（*）．又∵，代入（*）式，解得，
∴，．
2．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等差數(shù)列an中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求及；
(3)已知，，，求項數(shù).
【答案】(1)110
(2)，
(3)14
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和、利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及求和公式求得，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得，進(jìn)而可得結(jié)果；
（3）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
則，解得，
所以.
（2）因為，
整理得，解得或（舍去），
所以．
（3）因為，，
可得，即．
又因為，所以．
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中．
(1)，，，求n和d；
(2)，，求和d．
【答案】(1)，
(2)，
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程解出；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和通項公式列方程解出．
【詳解】（1），
．
，
．
（2），．
，
．
方法總結(jié)：解決等差數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法
(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項和公差,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在正項數(shù)列中，，則（）
A．16B．8C．D．7
【答案】D
【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項公式、利用定義求等差數(shù)列通項公式
【分析】先根據(jù)已知得出是等差數(shù)列，再根據(jù)已知計算出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算即可.
【詳解】是等差數(shù)列,
，可得等差數(shù)列公差為3，
.
故選:D.
例題2．（24-25高二上·全國·課堂例題）若數(shù)列的前項和，求這個數(shù)列的通項公式，并判斷這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？
【答案】是，首項，公差．
【知識點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、利用an與sn關(guān)系求通項或項、等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)特征
【分析】根據(jù)與之間的關(guān)系求得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析判斷.
【詳解】因為，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
且適合上式，所以，．
可得，
所以數(shù)列an是等差數(shù)列，且首項，公差．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高二·云南）已知數(shù)列中，，，.
(1)求的值；
(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項、利用定義求等差數(shù)列通項公式、求等差數(shù)列前n項和
【分析】（1）根據(jù)題意，令，即可求得的值；
（2）根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；
（3）由（2）求得，利用疊加法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：數(shù)列中，，，且，
令，可得.
（2）證明：由，
當(dāng)時，可得，則，
又由，，可得，
所以是公差為的等差數(shù)列，即數(shù)列是公差為4等差數(shù)列.
（3）解：由（2）知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
可得，
所以
.
即數(shù)列的通項公式為
2．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，若，．
(1)求的通項公式；
(2)證明是等差數(shù)列．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【知識點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，得，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即得；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可證.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，
所以，
（2）證明：因為
所以是公差為?8的等差數(shù)列.
高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)）
典型例題
例題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前10項和為100，且，則（）
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等差中項的應(yīng)用
【分析】利用等差中項可知，根據(jù)等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】因為為等差數(shù)列，則，即，
又因為，
可得，所以．
故選：C.
例題2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）
A．60B．80C．140D．160
【答案】C
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差及首項，再利用前n項和公式計算即得.
【詳解】等差數(shù)列中，，而，則，
公差，，
所以.
故選：C
練透核心考點(diǎn)
1．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和
【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)求.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，又，
所以，
所以，又，
所以.
故選：D.
2．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）
A．36B．48C．52D．66
【答案】D
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式進(jìn)行計算即可.
【詳解】由，得，得.
故選：D
高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)）
典型例題
例題1．（23-24高二下·山東濰坊·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A．54B．63C．72D．135
【答案】B
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】首先根據(jù)題意得到，，為等差數(shù)列，再根據(jù)等差中項的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，，為等差數(shù)列，
即成等差數(shù)列，
所以，解得.
故選：B
例題2．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則等于（）
A．﹣4040B．﹣2024C．2024D．4040
【答案】B
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、前n項和與n的比所組成的等差數(shù)列、利用定義求等差數(shù)列通項公式
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】是等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列是等差數(shù)列．
，，
則數(shù)列的公差，首項為，
，．
故選：B．
例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和分別為與，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)可得答案.
【詳解】因為均為等差數(shù)列，所以，
因為，所以.
故選：A
例題4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知、是等差數(shù)列、的前n項和，且，求.
【答案】.
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列前n項和的基本量計算、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題、由Sn求通項公式
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式的二次函數(shù)結(jié)構(gòu)，可設(shè)，結(jié)合，即可求解.
【詳解】若等差數(shù)列的公差有為零，不符合題意；
所以等差數(shù)列、的公式均不為，
由等差數(shù)列的前項和公式知，
即等差數(shù)列的前項和公式知是關(guān)于的二次函數(shù)，
因為，可設(shè)，（其中），
可得
，
所以.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·河北唐山·期末）記是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）
A．27B．36C．45D．78
【答案】D
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)等差數(shù)列an的前n項和的性質(zhì)：對于，,成等差數(shù)列，取,列出方程組求解即得.
【詳解】因是等差數(shù)列an的前n項和，則成等差數(shù)列，
于是，代入，，解得：，
又,代入上述值，解得：.
故選：D.
2．（23-24高二下·云南·期中）設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項和分別為和，滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題
【分析】由等差數(shù)列前項和公式及下標(biāo)和定理計算即可．
【詳解】數(shù)列和都為等差數(shù)列，且，
則，
故選：B．
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則．
【答案】
【知識點(diǎn)】前n項和與n的比所組成的等差數(shù)列、利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項
【分析】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),知也為等差數(shù)列，由題意得其公差，，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則由，
可得，即．
又，
所以，
所以．
故答案為：.
4．（23-24高二上·貴州黔東南）設(shè)兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則 .
【答案】
【知識點(diǎn)】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題
【分析】設(shè)，則，可求得、的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
則，，則.
故答案為：.
高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度3：等差數(shù)列的最值問題）
典型例題
例題1．（23-24高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為，求的最小值及取得最小值時n的值.
【答案】(1)
(2)取最小值為，或
【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和的最值、求等差數(shù)列前n項和
【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由題意列式求出首項和公差，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（2）寫出等差數(shù)列的前n項和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值時n的取值．
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，則，
解得，
所以.
（2），
所以當(dāng)或時，取得最小值，最小值為.
例題2．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）數(shù)列是等差數(shù)列，，．
(1)從第幾項開始有？
(2)求此數(shù)列的前項和的最大值．
【答案】(1)
(2)2108.4
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和的最值、利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項、利用定義求等差數(shù)列通項公式
【分析】（1）求出數(shù)列的通項公式，解不等式即可；
（2）方法1：根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)即可求此數(shù)列的前項和結(jié)合配方法求最大值即可；方法2：結(jié)合（1）知，，則有，從而根據(jù)數(shù)列的前項和即可求解．
【詳解】（1）因為，，
所以．
令，則．
由于，故當(dāng)時，，
即從第項開始各項均小于；
（2）方法1：．
當(dāng)取最接近于的自然數(shù)，即時，取到最大值．
方法2：因為，，
由（1），知，，
所以，且．
所以．
【點(diǎn)睛】解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，當(dāng)時，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項的和；當(dāng)，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負(fù)項是哪一項時，只要令即可．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·貴州遵義·期末）數(shù)列的前n項和記為，已知，．
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等差數(shù)列前n項和的最值、等比中項的應(yīng)用、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】（1）用與的關(guān)系式即可證明；
（2）利用等比中項的性質(zhì)結(jié)合（1）的結(jié)論可求得，由等差數(shù)列的前項和公式可得，利用二次函數(shù)的對稱性和最值可得的最大值.
【詳解】（1）①，
當(dāng)時， ②，
得：，
即，即，且.
是公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）知是公差為的等差數(shù)列，
，
又，，成等比數(shù)列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函數(shù)的對稱軸為，
，當(dāng)或時取到最大值為.
故的最大值為.
2．（23-24高二上·廣東深圳）已知等差數(shù)列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若的前項和為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)2020
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和的最值、等差數(shù)列通項公式的基本量計算
【分析】（1）計算，得到等差數(shù)列公差，得到通項公式.
（2）計算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.
【詳解】（1），，設(shè)的公差為，，所以，
.
（2）（法一），所以是單調(diào)遞減數(shù)列，
因為，設(shè)的前項和最大，則，即或，
的最大值為.
（法二），，的前項和為，
即，對稱軸，
所以或時取最大值，最大值為.
方法總結(jié)求等差數(shù)列前項和最值的兩種方法
假設(shè)數(shù)列bn是數(shù)列an的“3項遞增衍生列”，
則存在，使，
所以，則，
所以．
因為，所以為有理數(shù)，但為無理數(shù)，
所以（*）式不可能成立．
綜上，數(shù)列bn不是數(shù)列an的“3項遞增衍生列”．
（3）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．
由，又，所以，
故數(shù)列an為1，2，3，4，5，，14﹒
令，因為數(shù)列an中各項均為正整數(shù)，故﹔
（若，則，成等差數(shù)列）
同理，且，所以，
同理，且，所以，
這與已知條件矛盾，所以，
此時可以構(gòu)造數(shù)列bn為1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三項均不構(gòu)成等差數(shù)列．
綜上所述，m的最大值為8．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，解決的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是緊抓新數(shù)列的定義，如題目中“m項遞增衍生列”條件的使用，是解題的入手點(diǎn)；二是應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)性或等差等比通項特性等重要性質(zhì)構(gòu)造等量或不等關(guān)系解決問題.
2．（23-24高二下·北京房山·期末）若數(shù)列滿足：對任意，都有，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，，判斷，是否是“數(shù)列”；
(2)已知是等差數(shù)列，，其前項和記為，若是“數(shù)列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，，記，若是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”，是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)數(shù)列an是“數(shù)列”；數(shù)列bn不是“數(shù)列”；
(2)
(3)或
【知識點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、數(shù)列新定義
【分析】（1）直接根據(jù)“數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由是等差數(shù)列結(jié)合是“數(shù)列”可知公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式用含的式子表示，進(jìn)一步結(jié)合恒成立即可求解；
（3）由“數(shù)列”的每一項（）均為正整數(shù)，可得且，進(jìn)一步可得單調(diào)遞增，故將任意性問題轉(zhuǎn)換為與1比較大小關(guān)系可得的范圍，結(jié)合，或，注意此時我們還要分情況驗證是否是“數(shù)列”，從而即可得解.
【詳解】（1）對于數(shù)列而言，若，則,
所以數(shù)列是“數(shù)列”；
對于數(shù)列而言，若，則，則數(shù)列不是“數(shù)列”；
（2）因為等差數(shù)列是“數(shù)列”，所以其公差．
因為，所以，
由題意，得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
當(dāng)時，恒成立，故；
當(dāng)時，對任意的恒成立，即
對任意的恒成立，
因為，所以．
所以的取值范圍是.
（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，
因為“數(shù)列”的每一項均為正整數(shù)，由得，
所以且，
因為，
所以，所以單調(diào)遞增，
所以在數(shù)列中，“”為最小項，
而，從而在數(shù)列中，“”為最小項．
因為是“數(shù)列”，則只需，所以，
因為數(shù)列不是“數(shù)列”，則，所以，
因為數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，即，所以或，
（1）當(dāng)時，，則，
令，
又，
所以為遞增數(shù)列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．
（2）同理可知，當(dāng)時，，則，
令，
又，
所以為遞增數(shù)列，
又，
所以對于任意的，都有，即，
所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．
綜上，或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是首先將恒成立任意性問題轉(zhuǎn)換為與1比較大小得出的值，回過頭去檢驗是否滿足題意即可順利得解.證明是等差數(shù)列
定義法
()(或者）
等差中項法
判斷是等差數(shù)列
的通項關(guān)于的一次函數(shù)
的前項和
（注意沒有常數(shù)項）

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