TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8494" 第02講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc8494 \h 1
\l "_Tc17733" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc17733 \h 1
\l "_Tc9200" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc9200 \h 2
\l "_Tc21711" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc21711 \h 3
\l "_Tc4736" 高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc4736 \h 3
\l "_Tc950" 高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc950 \h 4
\l "_Tc8105" 高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)） PAGEREF _Tc8105 \h 6
\l "_Tc29120" 高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題） PAGEREF _Tc29120 \h 6
\l "_Tc27547" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc27547 \h 8
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
1.2基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).
2、平面向量的正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
3.1平面向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使,則有序數(shù)對(duì)，叫做的坐標(biāo)，記作.
3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）向量加減：若，則；
（2）數(shù)乘向量：若，則；
（3）向量數(shù)量積：若，則；
（4）任一向量：設(shè)，則.
4、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若，則的充要條件為
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（ ）
A．1B．C．D．
例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是 ．
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；
(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.
高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示
典型例題
例題1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．8
例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)，向量，，若，則 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（ ）
A．6B．4C．8D．3
2．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．3D．
高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題）
典型例題
例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A．－16B．16C．D．
例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
例題3．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．
練透核心考點(diǎn)
1．（22-23高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知，三點(diǎn)、、共線，則 ．
2．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
（22-23高一·全國·課堂例題）已知三點(diǎn)共線，求x的值．
第四部分：新定義題
1．（18-19高一下·北京東城·期中）已知集合 .對(duì)于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.
(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；
(2)若，且存在，使得，求證：；
(3)記.若，且，求的最大值.
第02講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8494" 第02講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc8494 \h 1
\l "_Tc17733" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc17733 \h 1
\l "_Tc9200" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc9200 \h 2
\l "_Tc21711" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc21711 \h 3
\l "_Tc4736" 高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 PAGEREF _Tc4736 \h 3
\l "_Tc950" 高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 PAGEREF _Tc950 \h 9
\l "_Tc8105" 高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)） PAGEREF _Tc8105 \h 12
\l "_Tc29120" 高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題） PAGEREF _Tc29120 \h 14
\l "_Tc27547" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc27547 \h 16
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
1.2基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).
2、平面向量的正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
3.1平面向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使,則有序數(shù)對(duì)，叫做的坐標(biāo)，記作.
3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）向量加減：若，則；
（2）數(shù)乘向量：若，則；
（3）向量數(shù)量積：若，則；
（4）任一向量：設(shè)，則.
4、平面向量共線的坐標(biāo)表示
若，則的充要條件為
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?，?br>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
2．（2022·全國·乙卷文）已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：D
3．（2022·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可知，，根據(jù)平面向量基本定理，將用線性表示，根據(jù)兩個(gè)向量相等即可求出的值，即可得出答案.
【詳解】由題知點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，
所以
，
因?yàn)椴还簿€，所以，故.
故選：D.
例題2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）在矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立基底，，則，然后將設(shè)，最終表示為，然后得到，進(jìn)而求出范圍．
【詳解】矩形中，已知分別是上的點(diǎn)，且滿足，

設(shè)，則，，
聯(lián)立，可解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則可設(shè)，
，
又，所以，
，
因?yàn)?，所以?br>故選：B．
例題3．（23-24高一下·福建漳州·階段練習(xí)）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的幾何運(yùn)算求解；②設(shè)，然后用表示，然通過，將也用表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等列方程組求解；
（2）設(shè)，將用表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等將用表示，然后利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）①因?yàn)椋裕?br>故在中，；
②因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
因?yàn)椋裕?br>又由①及已知，，所以，
解得；
（2）因?yàn)?，又，，三點(diǎn)共線，設(shè)，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn)且，則為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用和三點(diǎn)共線，分別得到和，列出方程組，求得的值，進(jìn)而求得的值，從而得解.
【詳解】由題意知，點(diǎn)為邊的點(diǎn)且，點(diǎn)在邊上，且，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，
可得，解得，即，
因?yàn)椋?
故選：A.
2．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?，因?yàn)椋?br>所以，且三點(diǎn)共線，
則，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故答案為：
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；
(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線，用表達(dá)，再用表達(dá)，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可由共線定理求得；
（2）用表達(dá)，再用表達(dá)，根據(jù)，待定系數(shù)求得關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【詳解】（1）由點(diǎn)共線可設(shè)，
則，即，
，，，
為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，
由點(diǎn)共線可設(shè)，即，
故，解得，故，.
（2），，，
故，又為中點(diǎn)，
則，
故，得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
故的最小值為.
高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示
典型例題
例題1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)可知，繼而得到，由此即可解出點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】由題意知與的長度相等，方向相反，
所以，
又因?yàn)椋?br>設(shè)，則，
所以，解得，即，
故選：A
例題2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，若，，則向量的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用基底法分解向量，再表示成坐標(biāo)即可.
【詳解】
由題意得，.
故選：A
例題3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）已知在非平行四邊形ABCD中，，且三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量共線可求得，當(dāng)ABCD為平行四邊形時(shí)可求得C的橫坐標(biāo)為3，即可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)ABCD為平行四邊形時(shí)，如下圖所示：

則，依題意可得頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)不能取3；
設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則
由可得，且，
所以，即；
故滿足題意的頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.
【詳解】令，則，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故選：B．
2．（22-23高一下·新疆烏魯木齊·期中）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可求點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，故，而，
故，故，故，
故選：A.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的線性運(yùn)算處理即可.
【詳解】
如圖，連接，

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，
整理得．
故答案為：
高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由向量平行求參數(shù)）
典型例題
例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】由題意知，所以，解得．
故選：B
例題2．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>若，則，解得，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
例題3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)，向量，，若，則 ．
【答案】/
【分析】由向量平行可得，計(jì)算即可得解.
【詳解】由，則有，
即，
由，故，
故，即.
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若向量，共線且，則的最大值為（ ）
A．6B．4C．8D．3
【答案】A
【分析】借助向量共線定理與基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】因?yàn)橄蛄抗簿€，所以，解得，
又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
2．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示列方程求可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
故選：A.
3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.
【詳解】由，得，
由，得，所以.
故選：B
高頻考點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題）
典型例題
例題1．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A．－16B．16C．D．
【答案】A
【分析】先求出和，根據(jù)B，C，D三點(diǎn)共線得到，進(jìn)而列出方程求解.
【詳解】由題意得，，
因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，
所以，
則，得.
故選：A.
例題2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出、，可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?、、，則，，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，所以，即．
故選：C.
例題3．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．
【答案】(1)
(2)
（3）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)橹本€GH與GL有公共點(diǎn)G，所以G，H，L三點(diǎn)共線.
3．（22-23高一·全國·課堂例題）已知三點(diǎn)共線，求x的值．
【答案】．
【分析】
利用向量與共線的坐標(biāo)表示求解．
【詳解】
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線．
而，．
所以，整理得，解得．
第四部分：新定義題
1．（18-19高一下·北京東城·期中）已知集合 .對(duì)于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.
(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，求；
(2)若，且存在，使得，求證：；
(3)記.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)見解析
(3)26
【分析】（1）當(dāng) 時(shí)，直接利用求得的值
（2）設(shè)，則由題意可得
，使得，其中，得出 與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)，由此計(jì)算 的結(jié)果，計(jì)算 的結(jié)果，從而得出結(jié)論
（3）設(shè) 中有 項(xiàng)為非負(fù)數(shù)， 項(xiàng)為負(fù)數(shù)
不妨設(shè) 時(shí)， ， 時(shí)，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再驗(yàn)證得到成立的條件即可；
【詳解】（1）解：由于，
則
故
（2）解：設(shè)
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
與 同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)，

，故得證；
（3）解：
設(shè) 中有 項(xiàng)為非負(fù)數(shù)， 項(xiàng)為負(fù)數(shù)
不妨設(shè) 時(shí)，
時(shí)，
所以


，整理得



又

即
對(duì)于
有 ，且

綜上所得，的最大值為

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