A．是函數(shù)的一個對稱中心B．
C．D．
10．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)對于任意實數(shù)，都有成立，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱
C．D．
三、填空題
11．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
12．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則 ．
四、解答題
13．（2024上·福建·高一福建師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)判斷的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
14．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．
(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．
B能力提升
1．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)（）是偶函數(shù)，則（ ）
A．2023B．2024C．2D．
2．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┤?，當(dāng)時，，則 .
4．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則 ； ．
C綜合素養(yǎng)
5．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）如果函數(shù)的定義域為，且存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有恒成立，那么稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”．
(1)已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定義在上的函數(shù)具有“性質(zhì)”，當(dāng)時，．若有8個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
6．（2023上·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于定義在上的函數(shù)和正實數(shù)若對任意，有，則為階梯函數(shù).
(1)分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：
①；
②.
(2)若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；
(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對任意，有.若函數(shù)有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為；若時，證明：存在，使得在上有4046個零點，且.
第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性 (分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)得到方程，求出.
【詳解】由題意得，即，
所以，故，
所以，解得.
故選：C
2．（2024下·上海·高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，那么等于（ ）
A．B．C．6D．10
【答案】C
【分析】令，由可得答案.
【詳解】，
令，
則，
即，可得，
即.
故選：C．
3．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A．2B．0C．1D．
【答案】D
【分析】通過對已知條件的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)是周期函數(shù).利用函數(shù)周期性轉(zhuǎn)化求值即可.
【詳解】因為，所以，且，
則，又可得，，
故，所以函數(shù)是周期的周期函數(shù)，
．
故選：D．
4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，，則（ ）
A．0B．C．2D．1
【答案】B
【分析】通過已知計算得出函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，根據(jù)已知得出，即可得出答案.
【詳解】函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，
，
，
則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，
則，
令，則，
，
故選：B.
5．（2023上·山東煙臺·高一?？计谀┖瘮?shù)與的圖象（ ）
A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于直線對稱
【答案】C
【分析】畫出函數(shù)圖像即可判斷.
【詳解】根據(jù)如下圖像即可判斷出函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱.
故選：C
6．（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求值即可.
【詳解】設(shè)，
因為函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，
所以.
故選：A
7．（2024下·浙江·高三杭州高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是奇函數(shù)，則常數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為是奇函數(shù)，且定義域為，
所以，解得，
此時，
，
即，滿足奇函數(shù)定義，
故選：C
8．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)圖象的對稱軸，再結(jié)合單調(diào)性比較大小即得.
【詳解】由函數(shù)滿足，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
顯然，，而，在上是增函數(shù)，
因此，所以.
故選：B
二、多選題
9．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)，恒有成立，且，則下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一個對稱中心B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，得到周期，可求函數(shù)值.
【詳解】選項A，因為函數(shù)滿足，函數(shù)關(guān)于直線對稱，A錯誤；
選項B，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，
即，所以，故，
函數(shù)是周期為4的函數(shù)，B正確；
選項C，，C正確；
選項D，，D正確.
故選：BCD
10．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)對于任意實數(shù)，都有成立，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱
C．D．
【答案】AC
【分析】分析可知，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性可判斷ACD選項，利用函數(shù)對稱性可判斷B選項.
【詳解】對任意實數(shù)都有，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時，，所以，故A選項正確；
因為函數(shù)圖象的對稱軸無法確定，所以B選項不正確；
由于，故C選項正確；
，故D選項不正確．
故選：AC．
三、填空題
11．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，故，變形后得到，求出答案.
【詳解】因為的定義域為R，且為奇函數(shù)，
故，即對恒成立，
化簡得，
故，解得.
故答案為：
12．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及奇偶性即可求解.
【詳解】由可得為周期函數(shù)，且周期為4，
又為上的奇函數(shù)，所以，
，
故答案為：3
四、解答題
13．（2024上·福建·高一福建師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)判斷的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)在上是奇函數(shù)
(2)
【分析】（1）按函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；
（2）由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性列不等式組求解即可.
【詳解】（1）由題意的定義域為，它關(guān)于原點對稱，
且，
所以在上是奇函數(shù).
（2）由題意，所以，解得，
即不等式的解集為.
14．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．
(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．
【答案】(1)答案見解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根據(jù)周期性及已知區(qū)間解析式畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合確定單調(diào)區(qū)間、零點、最值；
（2）利用周期性求函數(shù)值即可；
（3）由，代入已知解析式，根據(jù)周期性即可得解析式.
【詳解】（1）由的周期性及上解析式，得區(qū)間上的圖象如下：

由上圖知：增區(qū)間為，減區(qū)間為；
零點為共3個；最大值為1，最小值為0.
（2）由題設(shè).
（3）令且，則，
又，則，即，
綜上，在區(qū)間上，.
B能力提升
1．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)（）是偶函數(shù)，則（ ）
A．2023B．2024C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件，利用奇偶函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以，又是偶函數(shù)，
所以，得到或（舍去），
得，
故選：B
2．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意首先得周期為4，由此結(jié)合對數(shù)運算即可進一步求解.
【詳解】由是奇函數(shù)，∴，
又，∴，所以周期為4．
．
故選：D.
3．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）若，當(dāng)時，，則 .
【答案】6
【分析】先求出是以為周期的周期函數(shù)，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求出結(jié)果即可.
【詳解】因為，所以，
所以是以為周期的周期函數(shù)，
又因為余，故，
因為當(dāng)時，，
所以，所以.
故答案為：6.
4．（2024上·河北石家莊·高一石家莊外國語學(xué)校校考期末）已知函數(shù)的定義域為，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則 ； ．
【答案】
【分析】在中令，即可得第一空答案；由題意可知的圖象關(guān)于軸對稱，從而得，運用到算式即可得第二空答案．
【詳解】在中，令，則有；
的圖象關(guān)于直線對稱，則的圖象關(guān)于軸對稱，有，
又，則，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故答案為：；．
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱.
C綜合素養(yǎng)
如下圖所示：
若有8個不同的實數(shù)解，令，
則有兩個不等的實數(shù)根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范圍為.
【點睛】思路點睛：第一問，利用是偶函數(shù)，求出的解析式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出最值；第二問，函數(shù)具有“性質(zhì)”，即得圖象關(guān)于對稱，求出的解析式，有8個不同的實數(shù)解，令，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實數(shù)根，，且，，根據(jù)實根分布求解.
6．（2023上·山東青島·高一青島市即墨區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于定義在上的函數(shù)和正實數(shù)若對任意，有，則為階梯函數(shù).
(1)分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：
①；
②.
(2)若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；
(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對任意，有.若函數(shù)有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為；若時，證明：存在，使得在上有4046個零點，且.
【答案】(1)①否；②是
(2)，
(3)證明見解析
【分析】（1）利用階梯函數(shù)的定義進行檢驗即可判斷；
（2）利用階梯函數(shù)的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（3）根據(jù)題意得到，，從而取，結(jié)合零點存在定理可知在上有且僅有兩個零點：，，從而得解.
【詳解】（1），則；
，則，
故①否；②是.
（2）因為為階梯函數(shù)，所以對任意有：
.
所以對任意，，
因為是最小正周期為的周期函數(shù)，
又因為，所以，.
（3）因為，所以函數(shù)，
則，
.
取，
則有，，
由于在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，
結(jié)合，
則有在上有唯一零點，在上有唯一零點.
又由于，
則對任意，有，，
因此，對任意，在上有且僅有兩個零點：，.
綜上所述，存在，使得在上有4046個零點，
且，，，，，，，
其中，.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解新定義階梯函數(shù)，從而在第3小問推得，，由此得解.

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