第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：典型例題剖析
題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
題型二：等差數(shù)列的判斷與證明
題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)
角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
角度3：等差數(shù)列的最值問題
第一部分：知 識(shí) 點(diǎn) 精 準(zhǔn) 記 憶
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為()(或者），為常數(shù)．
(2)等差中項(xiàng)：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且.
注：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項(xiàng)法：
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(其中)．
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．
(3)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差為.
(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.
（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和分別為,,則
4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
可化為的形式．當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．
(2)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．
第二部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
典型例題
例題1．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函數(shù),當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，由可知，的關(guān)于對(duì)稱，因此，
故選:B
例題2．（2022·遼寧錦州·高二期末）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的公差為（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【詳解】依題意，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，
，
所以公差為.
故選：D
例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足，且，則它的通項(xiàng)公式______．
【答案】##
【詳解】因數(shù)列滿足，即，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
例題4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，項(xiàng)數(shù)為．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求；
(4)已知，，，求．
【答案】(1)13(2)8(3)(4)
(1)解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，
所以，所以；
(2)解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，
所以，解得；
(3)解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，
所以，解得；
(4)解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，
所以，解得.
題型歸類練
1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．-110B．-115C．110D．115
【答案】B
【詳解】由題意知，，
得，解得，
所以.
故選：B
2．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列滿足，則的公差為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所?br>所以，所以
故選：B．
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)已知，，求.
(2)已知， ，求.
(3)已知，求.
【答案】(1)2700(2)(3)66
(1)
(2)由題意得：公差，故
(3)
4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)已知，，求；
(2)已知，公差，求．
【答案】(1)
(2)
(1)，，
；
(2)，，
．
題型二：等差數(shù)列的判斷與證明
典型例題
例題1．（2022·廣東茂名·高二期末）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，
所以.
故選：B
例題2．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)（文））在數(shù)列中，，，若，則（ ）
A．671B．672C．673D．674
【答案】D
【詳解】∵，，
∴
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
∴，解得.
故選：D.
例題3．（2022·浙江·杭州四中高二期中）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列（ ）
A．是公差為－3的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列
C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D．是公差為的等差數(shù)列
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列
故選：A.
例題4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)當(dāng)和滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列?
【答案】(1)，
（1）若是等差數(shù)列，則是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以，即．所以，時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
例題5．（2022·四川·德陽五中高一階段練習(xí)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且和滿足：.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
當(dāng)時(shí)，有，得，
由，有，①
∴，②
①－②得.
∴，化簡(jiǎn).
∵，∴.
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
∴.
題型歸類練
1．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列中，，，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
則.
故選：B
2．（2022·上海·格致中學(xué)高二期末）在數(shù)列中，，，則___________.
【答案】
【詳解】，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.
故答案為：.
3．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則= _________
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以.
故答案為：.
4．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
【答案】(1)
解：因?yàn)?，?br>令 ， 則 ， 即， 解得，
由題知， 由， 兩邊同除以，得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，即.
5．（2022·四川成都·高一期末（文））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
（1）∵，∴數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列.
又，∴ ，，∴.
題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022·陜西·渭南市三賢中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在等差數(shù)列中，若，則其前9項(xiàng)的和等于（ ）
A．18B．27C．36D．9
【答案】A
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得：，
所以.
故選：A
例題2．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（文））已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，則
∴
故選：B．
例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．又，即，又，所以，所以，即．
故選：C.
例題4．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故
故選:C
例題5．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習(xí)）有兩個(gè)等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.
【答案】
【詳解】若，則；
若，則可設(shè)，
所以，，
所以，
故答案為：；
題型歸類練
1．（2022·河北保定·高二期中）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，且，則（ ）
A．?dāng)?shù)列{}為遞增數(shù)列B．C．的最大值為D．
【答案】C
【詳解】，因?yàn)?所以,所以錯(cuò)
公差,所以錯(cuò)
因?yàn)榍?項(xiàng)均為正,從第8項(xiàng)開始為負(fù),所以的最大值為,所以C對(duì)，,所以D錯(cuò)
故選：C
2．（2022·湖北武漢·高二期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，可知.
所以，有.
所以.
故選：B.
3．（2022·廣東·廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_________．
【答案】20
【詳解】由題意得，故.
故答案為：20.
4．（2022·天津·高二期末）若等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，滿足，則_______.
【答案】
【詳解】解：依題意可得；
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列都是等差數(shù)列，分別是它們的前項(xiàng)和，并且，則___________.
【答案】2
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以，
又，所以.
故答案為：2.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且，求k的值．
【答案】
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)?，可得?br>所以，則，即，解得．
角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，且，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列的公差為.
因?yàn)椋?br>所以，即.
所以，
所以，，
，
所以，.
故選：B
例題2．（2022·四川·雅安中學(xué)高二階段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30，且末項(xiàng)比首項(xiàng)大10.5，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．4B．8C．12D．20
【答案】B
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，
解得：，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.
故選：B
例題3．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，設(shè)，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為 ,由得，
，即 ，
由得，，
即，
解得，
故選：C.
例題4．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由，得，設(shè)，則，
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以，……，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，，
所以，
故選：A
例題5．（2022·福建·廈門一中高一期中）已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，且其前項(xiàng)和分別為和，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，知道，故.
故選：B.
例題6．（多選）（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（ ）
A．B．最大C．D．
【答案】ABD
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞減數(shù)列，故公差，
所以，故AB正確.
又，，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
例題7．（2022·上海·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，則_______.
【答案】29
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，
記奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，
則
.
故答案為：.
題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】A
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由 ，得，
解得 ，則.
故選：A.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則取最大值時(shí)的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題可知，則，
又，則，
則
因此，故取最大值時(shí)的n值為7
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（ ）．
A．90B．80C．60D．30
【答案】A
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知，，，
…成等差數(shù)列，即，所以．
故選：A．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，，.則，，所以.
故選：B.
5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為（ ）
A．4B．5C．8D．9
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，又，
由，可得，即，
所以使成立的最小正整數(shù)n的值為9.
故選：D.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【詳解】由，得，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整數(shù)n的最小值為.
故選: D.
7．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，則（ ）
A．B．
C．D．、均為的最大值
【答案】BD
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故B正確；
因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)橛深}意得，，所以，，故D正確；
故選：BD
8．（2022·全國(guó)·高二）在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項(xiàng)中，＝，則公差d＝________.
【答案】2
【詳解】解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案為：2.
9．（2022·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則__________.
【答案】
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，
則.
故答案為：
角度3：等差數(shù)列的最值問題
典型例題
例題1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)三模（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（ ）
A．8B．7C．6D．9
【答案】C
【詳解】由，可得，
則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為
則等差數(shù)列中：
則等差數(shù)列的前項(xiàng)和取最小值時(shí)，的值為6
故選：C
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】∵等差數(shù)列中，，
∴，即．又，
∴的前項(xiàng)和的最小值為．
故選：B
例題3．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使得取最小值的的值為（ ）
A．11B．12或13C．12D．13或14
【答案】B
【詳解】由，得，所以，所以，且，所以等差數(shù)列的公差，所以，所以使得取最小值的的值為12或13.
故選：B.
例題4．（2022·四川·成都外國(guó)語學(xué)校高一階段練習(xí)（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.
【答案】（1）；（2）36.
【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，令其公差為，
則由題意得，
得，
故
，
即的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，，
故
，
所以當(dāng)，的最大值為.
例題5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求公差及的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1），；（2），最小值為.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意得.
由得.
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得.
所以時(shí)，取得最小值，最小值為
題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為______．
【答案】9
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
又，由，可得，即，
所以使成立的最小正整數(shù)n的值為9.
故答案為：
2．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前項(xiàng)和的最大值為____________.
【答案】
【詳解】根據(jù)題意，
，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值且最大值為：.
故答案為：
3．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)，最小值為．
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得
因?yàn)?，所以，解得?br>故.
（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得.
因?yàn)?，所以，則當(dāng)或時(shí)，取得最小值.
4．（2022·四川成都·高一期中（文））已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題可知，所以，
所以．
(2)解：由（1）可得．
所以當(dāng)時(shí)最小，最小值為．
5．（2022·四川·成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院高一期中）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）為何值時(shí)，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4時(shí)取得最大值.
【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，顯然成立，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2），
由，則時(shí)，取得最大值28，
∴當(dāng)為4時(shí)，取得最大值，最大值28．

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