新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（練習(xí)）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當(dāng)取最大值時，（）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，
所以
，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且前12項(xiàng)為正，第13項(xiàng)以后均為負(fù)，
所以當(dāng)取最大值時，或13．
故選：C．
2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【解析】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為，
由題意可得，
所以，
故選：B
3．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，可得，解得?br>所以.
故選：D.
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（）
A．63B．C．45D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則，可得，
且，可得，
所以.
故選：D.
5．（2023·北京海淀·?？既＃┮阎炔顢?shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以且，則，
若，不妨令，則，，，，，，
顯然不單調(diào)，故充分性不成立，
若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，
若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；
所以單調(diào)遞增，則，且，其中當(dāng)，時也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，
故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B
6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?所以,
因?yàn)楣畈粸榱?,所以，B正確，A錯誤，
取,則,此時,C,D均不正確,
故選：B.
7．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】由，得，即，
所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.
因?yàn)椋?，即?br>則，，所以當(dāng)且時，；
當(dāng)且時，.因此，有最小值，且最小值為.
故選：A.
8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列.若，那么（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，則，
由于，則，
故選：D.
9．（多選題）（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d = ?2 ，則（）
A．=
B．當(dāng)n = 6或7時，取得最小值
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)n≤2023時，與數(shù)列（m? N）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
【答案】AC
【解析】對于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；
對于B，由A的結(jié)論，，則，由d = ?2當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則當(dāng)或6時，取得最大值，且其最大值為，B錯誤；
對于C,
,故C正確，
對于D，由，則，
則數(shù)列中與數(shù)列中的項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)依次為：，，，，，
可以組成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，
若，解可得，即兩個數(shù)列共有670項(xiàng)互為相反數(shù)，D錯誤．
故選：AC．
10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（）
A．若，則
B．若，，則
C．?dāng)?shù)列可以是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列可以是等比數(shù)列
【答案】BC
【解析】若，
當(dāng)時，，
解得，故A錯；
若，，
當(dāng)時，，
解得，
當(dāng)時，，
解得，
，
根據(jù)遞推關(guān)系可知，
當(dāng)為奇數(shù)，即時，
，故B正確；
若，
則成立，
故數(shù)列可以是等差數(shù)列，即C正確；
若數(shù)列是等比數(shù)列，假設(shè)公比為，
則由，
得，
兩式相除得，，
即，
解得，不符合題意，
則假設(shè)不成立，故D錯.
故選：BC
11．（多選題）（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（）
A．B．
C．當(dāng)時，是的最大值D．當(dāng)時，是的最小值
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，
整理得，因?yàn)椋裕?br>所以，則，故A正確、B錯誤；
當(dāng)時單調(diào)遞減，此時，
所以當(dāng)或時取得最大值，即，故C正確；
當(dāng)時單調(diào)遞增，此時，
所以當(dāng)或時取得最小值，即，故D正確；
故選：ACD
12．（多選題）（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】對于選項(xiàng)A，由，得，
則，故A項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)B，由得，
所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，
所以，所以，故B項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
將代入，得，
所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯誤.
對于選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，
所以與n無關(guān)，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
13．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┠纤蔚臄?shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則______．

【答案】/
【解析】依題意，在數(shù)列中，，
當(dāng)時，，滿足上式，
因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
所以.
故答案為：
14．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則 ___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，…，?gòu)成等差數(shù)列，
所以，
因?yàn)椋裕?br>故答案為：
15．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以為______．（寫出滿足題意的一個通項(xiàng)公式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由得，即．
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可知．
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，．
因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以公差，又因?yàn)閐為奇數(shù)且，
故可?。?dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，．
故答案為：（答案不唯一）
16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎?，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，
對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，則，
所以.
故答案為：.
17．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求m的值．
【解析】（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?br>所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
由，解得，
所以．
18．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【解析】（1）令，得.
當(dāng)時，①，
又②，
①②兩式相減，得，
所以.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為－3，公比為2的等比數(shù)列，
所以
（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列，，（其中）成等差數(shù)列，
則，
由（1）得，即，
兩邊同時除以，得（*），
因?yàn)椋?）式右邊為奇數(shù)，左邊為偶數(shù)，
所以（*）式不成立，假設(shè)不成立.
所以數(shù)列中得任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
19．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【解析】（1）由題知，是等比數(shù)列，
設(shè)其公比為，
由，
可得：當(dāng)時，，
兩式相減得，，
故數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）由知：
當(dāng)時，，
又，所以，
由（1）設(shè)的公差為，
則，
由，
則，，
所以
.
即數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
20．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．
(1)求；
(2)設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，，，…，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
，
，，，…，，
將所有上式累加可得，．
又也滿足上式，．
（2）由（1）得，，則，
恒成立，，
恒成立，，即的取值范圍是．
1．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】
【解析】方法一：設(shè)每一層有環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)上扇面形石板數(shù)之間構(gòu)成等差數(shù)列，上層中心的首項(xiàng)為，且公差，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，
且，
則，
則，
則三層共有扇面形石板塊，
方法二：設(shè)第環(huán)天心石塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，，，
下層比中層多729塊，
，
，
，解得，
，
故選：．
2．（2020?北京）在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，
．
由，得，而，
可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開始為正值．
可知，，，為最大項(xiàng)，
自起均小于0，且逐漸減小．
數(shù)列有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)．
故選：．
3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個．
【答案】98．
【解析】等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，
，解得，
，
，，1，，中，
，，
其余各項(xiàng)均不相等，
，，中不同的數(shù)值有：．
故答案為：98．
4．（2022?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差．
【答案】2．
【解析】，
，
為等差數(shù)列，
，
，解得．
故答案為：2．
5．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．
【答案】21．
【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，
則．
故答案為：21．
6．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．
【答案】．
【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，
所以．
故答案為：．
7．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為．
【答案】．
【解析】將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，
則是以1為首項(xiàng)、以6為公差的等差數(shù)列，
故它的前項(xiàng)和為，
故答案為：．
8．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故，
根據(jù)可得，
整理得，可得不合題意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
當(dāng)或時，成立，
由于為正整數(shù)，
故的最小正值為7．
9．（2021?甲卷（理））記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．
【解析】證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意得；，
則，所以，
所以①；
當(dāng)時，有②．
由①②，得③，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時也滿足③．
所以，，
當(dāng)時，，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
10．（2021?乙卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）證明：當(dāng)時，，
由，解得，
當(dāng)時，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
（2）由題意，得，
由（1），可得，
由，可得，
當(dāng)時，，顯然不滿足該式，
所以．
1
2
3
4
5
6
P

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