一、單選題
1．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足，其中，則（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【詳解】由，得是等差數(shù)列，.
故選：C
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為（一丈＝十尺＝一百寸）（ ）．
A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸
【答案】B
【詳解】由題意知：
從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)公差為，
冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，
，解得，，
芒種日影長(zhǎng)為（寸）尺5寸．
故選：B
3．（2022·新疆·三模（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【詳解】由已知可得， ，解可得，

故選：C.
4．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，若，則（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【詳解】因?yàn)?br>所以，
所以.
故選：B
5．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．58B．57C．56D．55
【答案】A
【詳解】因?yàn)槟鼙?除余1且被7除余1，即能被35除余1的數(shù)，
所以，，，即是以1為首項(xiàng)，35為公差的等差數(shù)列.
即
由題意知且，得，
解得，，所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為58項(xiàng).
故選:A.
6．（2022·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（ ）
A．0B．1C．2022D．2023
【答案】A
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，；
因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列；
因?yàn)?，所以?br>所以；
故選：A
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)曾經(jīng)流行一時(shí)，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合．“蘇州碼子”0~9的寫(xiě)法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時(shí)要將“〡”“〢”“〣”橫過(guò)來(lái)寫(xiě)．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個(gè)里程碑，若在點(diǎn)處里程碑上刻著“〣〤”，在點(diǎn)處里程碑上刻著“〩〢”，則從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（ ）
A．1560B．1890C．1925D．1340
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意知，點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字34，點(diǎn)處里程碑上刻著數(shù)字92，里程碑上刻的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為2，因此從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為，從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為，
故選：B．
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，若，則公差d的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由已知可得，即，解得，
故選：A．
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．取得最大值時(shí)，
【答案】AB
【詳解】由，得即，
又，所以，選項(xiàng)A正確；
由； ，得，選項(xiàng)B正確；
由，得，又，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，令，得，
解得，又，所以，
即數(shù)列滿足：
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)， ，所以取得最大值時(shí)，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AB．
10．（2022·海南·高二期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則（ ）
A．B．最大C．D．
【答案】AD
【詳解】設(shè)的公差為d．由，可得．
因?yàn)椋?，所以是遞減數(shù)列．，A正確；
，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，C錯(cuò)誤；
，D正確．
故選：AD
三、填空題
11．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則___________.
【答案】
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，則，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，
所以，，
故，所以，.
故答案為：.
12．（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）數(shù)列是公差d＝1的等差數(shù)列，如果，則______．
【答案】20
【詳解】因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，故：
，
故，
故答案為：20.
四、解答題
13．（2022·四川成都·高一期中（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(1)解：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?br>所以，解得，即，
所以； 即.
(2)解：由（1）知，所以，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），時(shí)，的最小值為.
【詳解】（1）設(shè)的公差為 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
B能力提升
15．（2022·陜西漢中·高一期末）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的n的最小值.
【答案】(1)(2)7
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
∵成等比數(shù)列，
∴，即，即
又
∴
∴
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(2)
則不等式，即
整理可得，解得或，
又n為正整數(shù)，故n的最小值為7.
16．（2022·北京·昌平一中高二期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)和，及的最小值
【答案】(1)
(2)，的最小值為
(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，.
(2)由（1）得：，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，
，
；
又，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值.

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