2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(知識+真題+8類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3377" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc3377 \h 1
\l "_Tc19661" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc19661 \h 3
\l "_Tc3277" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc3277 \h 3
\l "_Tc13633" 高頻考點一：函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc13633 \h 3
\l "_Tc5053" 角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 PAGEREF _Tc5053 \h 3
\l "_Tc32047" 角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc32047 \h 4
\l "_Tc19669" 角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc19669 \h 4
\l "_Tc10723" 角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc10723 \h 4
\l "_Tc7918" 高頻考點二：函數(shù)的最大（?。┲?PAGEREF _Tc7918 \h 5
\l "_Tc2717" 角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值 PAGEREF _Tc2717 \h 5
\l "_Tc22734" 角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù) PAGEREF _Tc22734 \h 6
\l "_Tc9584" 角度3：不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc9584 \h 6
\l "_Tc6424" 角度4：不等式有解問題 PAGEREF _Tc6424 \h 7
\l "_Tc29670" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc29670 \h 9
\l "_Tc15064" 備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域 PAGEREF _Tc15064 \h 9
\l "_Tc13789" 備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點大小比較 PAGEREF _Tc13789 \h 9
\l "_Tc4977" 備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc4977 \h 9
\l "_Tc5180" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc5180 \h 10
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)性的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；
①當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
（2）單調(diào)性簡圖：

（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）
對于函數(shù)和，如果當(dāng)時，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．
2、函數(shù)的最值
（1）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
3、常用高頻結(jié)論
（1）設(shè)，.
①若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；
②若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式.
（2）函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：
設(shè)，兩個函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性如下表，則在上的單調(diào)性遵循（增+增=增；減+減=減）
（3）對鉤函數(shù)單調(diào)性：（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
（4）常見對鉤函數(shù)：（），的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的單調(diào)性
角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
典型例題
例題1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·四川宜賓·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為．
角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間為．
例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯(lián)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是 .
例題2．（2024上·海南海口·高一海南中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判斷的單調(diào)性，并解不等式．
練透核心考點
1．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則的值可以是（）
A．3B．2C．1D．
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．和
C．D．和
5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單增區(qū)間為（）
A．B．
C．D．
6．（2024下·全國·高一開學(xué)考試）若函數(shù)在內(nèi)滿足：對于任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為．
高頻考點二：函數(shù)的最大（?。┲?br>角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值
典型例題
例題1．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（）
A．12，B．5，C．5，D．12，
例題2．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，則值域為（）
A．B．C．D．
例題3．（2024上·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)奇偶性，并用定義法證明；
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調(diào)性；
(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．
角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
角度4：不等式有解問題
典型例題
例題1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若“，”為真命題，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是 .
例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
練透核心考點
1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，的最大值是（）
A．B．C．1D．2
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的值為．
4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
(2)若，求在上的值域.
5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知
(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實數(shù)的值
6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，實數(shù)滿足，求；
(2)若在時恒成立，求的取值范圍.
7．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
(2)若存在，使成立，求實數(shù)的范圍.
8．（2023下·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)在上的值域；
(2)若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．
第四部分：典型易錯題型
備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域
1．（2023上·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點大小比較
1．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．
2．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┤?，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是 .
備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域
1．（2023上·重慶·高一重慶市輔仁中學(xué)校?？计谥校┒x在上的奇函數(shù)為減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是．
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域為（為常數(shù)），則稱對于具有“確界保持性”.
(1)證明：函數(shù)對于不具有“確界保持性”；
(2)判斷函數(shù)對于是否具有“確界保持性”；
(3)若函數(shù)對于具有“確界保持性”，求實數(shù)的值.增
增
增
減
減
減
增
減
增
減
增
減
第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?br>目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26944" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc26944 \h 1
\l "_Tc24269" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc24269 \h 3
\l "_Tc30590" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc30590 \h 4
\l "_Tc6545" 高頻考點一：函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc6545 \h 4
\l "_Tc9810" 角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 PAGEREF _Tc9810 \h 4
\l "_Tc16592" 角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) PAGEREF _Tc16592 \h 5
\l "_Tc8711" 角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 PAGEREF _Tc8711 \h 6
\l "_Tc21376" 角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 PAGEREF _Tc21376 \h 7
\l "_Tc18982" 高頻考點二：函數(shù)的最大（?。┲?PAGEREF _Tc18982 \h 10
\l "_Tc26035" 角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值 PAGEREF _Tc26035 \h 10
\l "_Tc29312" 角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù) PAGEREF _Tc29312 \h 12
\l "_Tc21485" 角度3：不等式恒成立問題 PAGEREF _Tc21485 \h 14
\l "_Tc26009" 角度4：不等式有解問題 PAGEREF _Tc26009 \h 15
\l "_Tc26222" 第四部分：典型易錯題型 PAGEREF _Tc26222 \h 23
\l "_Tc31572" 備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域 PAGEREF _Tc31572 \h 23
\l "_Tc2983" 備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點大小比較 PAGEREF _Tc2983 \h 24
\l "_Tc28172" 備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc28172 \h 24
\l "_Tc19309" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc19309 \h 25
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)性的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；
①當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
（2）單調(diào)性簡圖：

（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）
對于函數(shù)和，如果當(dāng)時，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．
2、函數(shù)的最值
（1）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
3、常用高頻結(jié)論
（1）設(shè)，.
①若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；
②若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式.
（2）函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：
設(shè)，兩個函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性如下表，則在上的單調(diào)性遵循（增+增=增；減+減=減）
（3）對鉤函數(shù)單調(diào)性：（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
（4）常見對鉤函數(shù)：（），的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調(diào)，D錯誤.
故選：C.
2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的單調(diào)性
角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
典型例題
例題1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可求解.
【詳解】由題意，令，
解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：D.
例題2．（2024上·四川宜賓·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由可得，或，
則函數(shù)，由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故答案為：
角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組即可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增．所以，解得，
即實數(shù)a的取值范圍是.
故選：A．
例題2．（2024上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為．
【答案】
【分析】分、和三種情況，結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)以及對勾函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】若，則在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；
若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，解得；
綜上所述：k的取值范圍為.
故答案為：.
角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間為．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可求解.
【詳解】由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【答案】和
【分析】對函數(shù)化簡后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)或時，，對稱軸為，
當(dāng)時，，對稱軸為，
作出的圖象如圖所示，
由圖可知單調(diào)遞減區(qū)間為，
故答案為：和

角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯(lián)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式等價轉(zhuǎn)化為，解得即可.
【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
不等式等價于，等價于，
即，解得，即滿足的取值范圍是.
故答案為：
例題2．（2024上·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判斷的單調(diào)性，并解不等式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由題意根據(jù)奇函數(shù)的定義以及當(dāng)時，，可以求出當(dāng)時的表達(dá)式，從而即可進(jìn)一步求解.
（2）首先根據(jù)時，單調(diào)遞增，從而得到在上是單調(diào)增函數(shù)，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可將表達(dá)式等價轉(zhuǎn)換，解一元二次不等式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時，，
因為，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）時，單調(diào)遞增，
又因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在上是單調(diào)增函數(shù)，
不等式可化為，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集為或.
練透核心考點
1．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則的值可以是（）
A．3B．2C．1D．
【答案】D
【分析】由題意只需，由此對比選項即可得解.
【詳解】由題意當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，只需，
解得，對比選項可知的值可以是.
故選：D.
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.
【詳解】易知，顯然在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，且，
所以.
故選：A
3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
若，則有，即，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【分析】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求
【詳解】，
則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
故選：B
5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單增區(qū)間為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】得出分段函數(shù)解析式，即可得解.
【詳解】.
因為，，
所以的增區(qū)間是．
故選：D
6．（2024下·全國·高一開學(xué)考試）若函數(shù)在內(nèi)滿足：對于任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【分析】先得到函數(shù)在R上單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增需滿足每一段上單調(diào)遞增，且在分段處，左端點的函數(shù)值小于等于右端點的函數(shù)值，得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得在R上單調(diào)遞增，
由題意得，解得.
故答案為：
高頻考點二：函數(shù)的最大（?。┲?br>角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值
典型例題
例題1．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（）
A．12，B．5，C．5，D．12，
【答案】C
【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)零點，在函數(shù)定義域上分析討論函數(shù)的單調(diào)性，再考慮區(qū)間的端點值，即得函數(shù)的最值.
【詳解】由求導(dǎo)得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，函數(shù)；
又，故當(dāng)時，函數(shù).
即函數(shù)在上的最大值和最小值分別是.
故選:C．
例題2．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，則值域為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意先判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值和值域.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，
所以值域為.
故選：A.
例題3．（2024上·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)奇偶性，并用定義法證明；
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調(diào)性；
(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．
【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，證明見解析；
(3)最大值為10，最小值為6.
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義計算即可；
（2）利用定義法作差計算函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性計算最值即可.
【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)．
由函數(shù)可知其定義域為，關(guān)于原點對稱，
設(shè)，有．
所以函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．
下面證明單調(diào)區(qū)間，
設(shè)，則，
若，則，此時，
若，則，此時，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．
（3）由上可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且．
則函數(shù)在上的最大值為10，最小值為6．
角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】化簡函數(shù)，去絕對值后，根據(jù)函數(shù)有最小值得出函數(shù)的變化趨勢，即可求出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】解：由題意，
在中，
∵函數(shù)有最小值，
∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，
∴，解得：，
∴有最小值時，實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
例題2．（2024上·吉林通化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值4，則實數(shù)k＝．
【答案】4
【分析】由函數(shù)在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．
【詳解】解：依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
則，解得．
故答案為：4．
【點睛】本題考查已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值，考查分析能力及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
例題3．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù) 在的最大值為2，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)必要性，最值的定義以及二次函數(shù)圖象對稱軸位置分類討論即可解出．
【詳解】設(shè)，，，
因為函數(shù)在的最大值為2，，
所以，解得：，
當(dāng)時，函數(shù)在上先遞減再遞增，
而，
所以，，且，即函數(shù)在的最大值為2，符合題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，所以，
而，所以函數(shù)在的最大值為2，符合題意，
綜上，．
故答案為：
角度3：不等式恒成立問題
典型例題
例題1．（多選）（2023上·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的可取值是（）
A．-2B．0C．3D．7
【答案】BCD
【分析】分與兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍，得到答案.
【詳解】當(dāng)時，恒成立，滿足要求，
當(dāng)時，需滿足，解得，
故實數(shù)的取值范圍是，故A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
例題2．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高一江蘇省邗江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，且，求函數(shù)的值域；
(2)若，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，得到值域；
（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】（1）時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得最小值，最小值為，
又，故最大值為8，故值域為；
（2）在上恒成立，
故只需，解得或，
故的取值范圍是.
例題3．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由冪函數(shù)的概念與性質(zhì)直接列式求解;
（2）分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可求解.
【詳解】（1）因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，解得，故
（2）由（1）可知，對任意的恒成立，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.
角度4：不等式有解問題
典型例題
例題1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若“，”為真命題，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，從而根據(jù)題意可得或，進(jìn)而求解即可．
【詳解】原不等式可化為，
令，是關(guān)于的一次函數(shù)，
因為“，”為真命題，
所以或，
即或，解得或,
所以的取值范圍為．
故選：B．
例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】參變分離，得到在上有解，由基本不等式求出，從而得到實數(shù)的取值范圍.
【詳解】變形為，
故在上有解，
因為，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以，
故答案為：
例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)最大值為170，最小值為
(2)
【分析】（1）換元后得到，，求出最值；
（2）轉(zhuǎn)化為，只需，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到，求出答案.
【詳解】（1）令，
故，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
又，，
故的最大值為170，最小值為；
（2），即，
令，故在上有解，
，只需，
其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，解得，
故實數(shù)的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】變形得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項不合要求.
【詳解】，，
即，，
∴，其中在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
其中時，，當(dāng)時，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，
其他選項均不合要求.
故選：A
2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，的最大值是（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先分離常數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解最值即可.
【詳解】，
而的圖象由函數(shù)圖象向左平移1個單位再向上平移2個單位得到，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)，有最大值為.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)的值為．
【答案】
【分析】將函數(shù)化為，,，討論，和時函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【詳解】解：函數(shù)，即，,，
當(dāng)時，不成立；
當(dāng)，即時，在,遞減，可得為最大值，
即，解得，成立；
當(dāng)，即時，在,遞增，可得為最大值，
即，解得，不成立；
綜上可得．
故答案為：.
4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
(2)若，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解；
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）由題意，
，
，
；
（2），
，
，
令，，
令，，
設(shè)，
，
，
在上單調(diào)遞減，
，即，
同理可證在上單調(diào)遞增，
，即，
綜上，在上的值域.
5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知
(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實數(shù)的值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）且，利用作差法證明即可；
（2）由（1）求出函數(shù)的最值，再根據(jù)題意即可得解.
【詳解】（1）且，
則，
因為，所以，
又因為，所以，
因此，
所以在是減函數(shù)；
（2）由（1）可知，是減函數(shù)，
所以時，取得最大值為，
時，取得最小值為，
因為最大值與最小值之差為1，
所以，解得.
6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，實數(shù)滿足，求；
(2)若在時恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解；
（2）分類討論，分別求出在上的最小值，從而得出結(jié)論，注意利用勾形函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性．
【詳解】（1）因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，
且，
則是上的奇函數(shù)，從而，
因為，所以，得，
所以.
（2）若，則在上單調(diào)遞增，
因為在時恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
若，則，解得，與矛盾；
若，則，解得，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
7．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
(2)若存在，使成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用單調(diào)性定義，令，作差法判斷符號，即可得結(jié)果；
（2）問題化為成立，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增.
證明如下：設(shè)，則
因為，所以，，，即
所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，取得最小值，即
又存在，使成立，
所以只需成立，即，解得.
故實數(shù)的范圍為.
8．（2023下·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)在上的值域；
(2)若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定最值，由此可得值域；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【詳解】（1），當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，，；
在上的值域為.
（2），，使得，；
當(dāng)時，；
由（1）知：當(dāng)時，，，解得：，
即實數(shù)的取值范圍為.
第四部分：典型易錯題型
備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域
1．（2023上·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)即可求得其單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】由題意可知，解得，即函數(shù)定義域為，
易知函數(shù)由復(fù)合而成，
且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)增區(qū)間是
故答案為：.
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則即可由的單調(diào)性進(jìn)行求解.
【詳解】令，解得，
則的定義域為，
記，由于的對稱軸為，
故其在上單調(diào)遞減，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則可知：在單調(diào)遞減，
故答案為：.
備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點大小比較
1．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考開學(xué)考試）已知是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定法，以及一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù) 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
2．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┤?，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則每一段都是增函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域為（為常數(shù)），則稱對于具有“確界保持性”.
(1)證明：函數(shù)對于不具有“確界保持性”；
(2)判斷函數(shù)對于是否具有“確界保持性”；
(3)若函數(shù)對于具有“確界保持性”，求實數(shù)的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令，以特殊值說明函數(shù)不滿足值域為，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)對于具有“確界保持性”的定義，說明滿足定義中的條件，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點，先確定時，函數(shù)符合題意，再分別說明和時，函數(shù)值域不符合題意，即可確定答案.
【詳解】（1）證明：令，
因為，不滿足函數(shù)值域為，
故函數(shù) 對于不具有“確界保持性”；
（2）函數(shù)對于具有“確界保持性”；
理由如下：
令，
在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，
故函數(shù)對于具有“確界保持性”；
（3）令，
根據(jù)“確界保持性”定義可知在上單調(diào)遞減，
故，即的值域為；
由于
，
可以看到，若當(dāng)，即時，
則可化簡為，且在上均單調(diào)遞減，
故先證明符合題意；
當(dāng)時，，
先證明在上單調(diào)遞減，
設(shè)，
則
當(dāng)時，，
故，，
，
則，
即，
故，即，
所以在上單調(diào)遞減；
故，
又因為，
當(dāng)x趨向于無限大時，均無限接近于0，且大于0，
即，且無限接近于0，
故的值域為，
故函數(shù)對于具有“確界保持性”，
當(dāng)時，，
取，則，不滿足函數(shù)值域為，
此時，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，，，
則，
取，則，不滿足函數(shù)值域為，
此時，不符合題意，舍去；
綜上，當(dāng)時，函數(shù)對于具有“確界保持性”.
【點睛】難點點睛：本題考查了函數(shù)新定義問題，解答時要理解“確界保持性”.的含義，依據(jù)定義去解答，難點在于（3）中根據(jù)函數(shù)對于具有“確界保持性”，求解參數(shù)的值，解答時要根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，確定a的值，說明其符合題意，然后分類說明其它情況不符合題意，即可解決問題.
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減
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