2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第01講函數(shù)的概念及其表示(知識+真題+5類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10239" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc10239 \h 1
\l "_Tc22197" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc22197 \h 3
\l "_Tc13602" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc13602 \h 3
\l "_Tc27420" 高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc27420 \h 3
\l "_Tc25243" 高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc25243 \h 5
\l "_Tc18507" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc18507 \h 5
\l "_Tc10594" 角度2：抽象函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc10594 \h 5
\l "_Tc11160" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc11160 \h 5
\l "_Tc24751" 高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc24751 \h 6
\l "_Tc18868" 角度1：湊配法求解析式（注意定義域） PAGEREF _Tc18868 \h 6
\l "_Tc894" 角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍） PAGEREF _Tc894 \h 6
\l "_Tc3717" 角度3：待定系數(shù)法 PAGEREF _Tc3717 \h 7
\l "_Tc16240" 角度4：方程組消去法 PAGEREF _Tc16240 \h 7
\l "_Tc1309" 高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù) PAGEREF _Tc1309 \h 8
\l "_Tc32635" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc32635 \h 8
\l "_Tc28698" 角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù) PAGEREF _Tc28698 \h 9
\l "_Tc31044" 角度3：分段函數(shù)求值域（最值） PAGEREF _Tc31044 \h 9
\l "_Tc7716" 高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc7716 \h 10
\l "_Tc14870" 角度1：二次函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc14870 \h 10
\l "_Tc9081" 角度2：分式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc9081 \h 10
\l "_Tc22744" 角度3：根式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc22744 \h 10
\l "_Tc10393" 角度4：根據(jù)值域求參數(shù) PAGEREF _Tc10393 \h 11
\l "_Tc23663" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc23663 \h 12
\l "_Tc16273" 備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域 PAGEREF _Tc16273 \h 12
\l "_Tc8812" 備注：抽象函數(shù)定義域問題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“”的取值范圍叫定義域 PAGEREF _Tc8812 \h 12
\l "_Tc31873" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc31873 \h 12
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
5、高頻考點(diǎn)結(jié)論
5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.
(2)偶次根型函數(shù)：被開方數(shù)大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域?yàn)?
(7)的定義域?yàn)?
5.2函數(shù)求值域
（1）分離常數(shù)法：
將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：
，再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.
（2）換元法：
如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)
可以化為()，接下來求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數(shù)
（4）單調(diào)性法
（5）求導(dǎo)法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則．
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如下圖所示，則的值為（）
A．B．0C．3D．4
2．（多選）（2024上·陜西安康·高一?？计谀┫铝懈鲌D中，是函數(shù)圖象的是（）
A．B．
C． D．
高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．且B．C．D．
例題2．（2024上·北京東城·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)? .
角度2：抽象函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域是（）
A．B．C．D．
角度3：已知定義域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的值為．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)? .
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為．
高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則函數(shù) ，= ．
例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知（a，b均為常數(shù)），且．
(1)求函數(shù)的解析式；
角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.
角度3：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則（）
A．11B．9C．7D．5
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)滿足，且，求的解析式.
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知滿足，則解析式為．
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的解析式．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則（）
A．B．
C．D．
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)滿足方程且，則：
（1）；（2）．
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，則 .
5．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式
(1)設(shè)函數(shù)是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式
(2)設(shè)滿足，求的解析式
6．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù)
角度1：分段函數(shù)求值
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，則（）
A．B．C．D．0
例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則．
角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)且，則（）
A．-16B．16C．26D．27
例題2．（2024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為．
角度3：分段函數(shù)求值域（最值）
典型例題
例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的最大值是（）
A．60B．58C．56D．52
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．2
例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數(shù).
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┮阎瘮?shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024·上海·高一假期作業(yè)）已知，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的最大值是（）
A．B．C．D．4
2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域?yàn)? .
5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)? .
6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則常數(shù) ．
7．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的值域.
(1)
(2)
第四部分：典型易錯(cuò)題型
備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域
1．（2023上·廣東佛山·高一校考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．
2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）若函數(shù)，則．
備注：抽象函數(shù)定義域問題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“”的取值范圍叫定義域
1．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·江西贛州·高一江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 .
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖趯?shí)數(shù)，使得，都滿足，則稱函數(shù)為“三倍函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“三倍函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)，為“三倍函數(shù)”，求的取值范圍.
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
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3
4
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第01講函數(shù)的概念及其表示
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5023" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc5023 \h 1
\l "_Tc1340" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc1340 \h 3
\l "_Tc25994" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc25994 \h 4
\l "_Tc13662" 高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc13662 \h 4
\l "_Tc793" 高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc793 \h 6
\l "_Tc29680" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc29680 \h 6
\l "_Tc7754" 角度2：抽象函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc7754 \h 6
\l "_Tc18385" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc18385 \h 7
\l "_Tc13289" 高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc13289 \h 9
\l "_Tc20039" 角度1：湊配法求解析式（注意定義域） PAGEREF _Tc20039 \h 9
\l "_Tc22830" 角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍） PAGEREF _Tc22830 \h 10
\l "_Tc2211" 角度3：待定系數(shù)法 PAGEREF _Tc2211 \h 11
\l "_Tc12086" 角度4：方程組消去法 PAGEREF _Tc12086 \h 12
\l "_Tc27739" 高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù) PAGEREF _Tc27739 \h 15
\l "_Tc29501" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc29501 \h 15
\l "_Tc28884" 角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù) PAGEREF _Tc28884 \h 16
\l "_Tc6603" 角度3：分段函數(shù)求值域（最值） PAGEREF _Tc6603 \h 17
\l "_Tc28764" 高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc28764 \h 20
\l "_Tc5175" 角度1：二次函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc5175 \h 20
\l "_Tc7728" 角度2：分式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc7728 \h 21
\l "_Tc6939" 角度3：根式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc6939 \h 22
\l "_Tc8579" 角度4：根據(jù)值域求參數(shù) PAGEREF _Tc8579 \h 23
\l "_Tc28095" 第四部分：典型易錯(cuò)題型 PAGEREF _Tc28095 \h 27
\l "_Tc9692" 備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域 PAGEREF _Tc9692 \h 27
\l "_Tc13698" 備注：抽象函數(shù)定義域問題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“”的取值范圍叫定義域 PAGEREF _Tc13698 \h 28
\l "_Tc29512" 第五部分：新定義題（解答題） PAGEREF _Tc29512 \h 29
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
5、高頻考點(diǎn)結(jié)論
5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.
(2)偶次根型函數(shù)：被開方數(shù)大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域?yàn)?
(7)的定義域?yàn)?
5.2函數(shù)求值域
（1）分離常數(shù)法：
將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：
，再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.
（2）換元法：
如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)
可以化為()，接下來求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數(shù)
（4）單調(diào)性法
（5）求導(dǎo)法
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，解得 .
【詳解】解：若時(shí)，，∴；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)定義作出判斷.
【詳解】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對于任意的，只能有唯一確定的與其對應(yīng)，ABC滿足要求，
D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對于，有兩個(gè)確定的與其對應(yīng)，D錯(cuò)誤.
故選：D
例題2．（2024上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，A不是；
對于B，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，B不是；
對于C，集合中的每個(gè)元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，C是；
對于D，集合中的元素按對應(yīng)關(guān)系，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，D不是.
故選：C
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如下圖所示，則的值為（）
A．B．0C．3D．4
【答案】D
【分析】觀察函數(shù)圖象得，再利用數(shù)表求解即得.
【詳解】觀察函數(shù)的圖象，得，由數(shù)表得，
所以.
故選：D
2．（多選）（2024上·陜西安康·高一?？计谀┫铝懈鲌D中，是函數(shù)圖象的是（）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)，
可看出BD滿足.
故選：BD
高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求出函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷.
【詳解】由題得，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：
例題2．（2024上·北京東城·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】根據(jù)分式的分母不為，對數(shù)的真數(shù)大于求解即可.
【詳解】，
解得且，
函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
角度2：抽象函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得滿足，結(jié)合根式的意義即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以滿足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計(jì)算規(guī)則得到，解得即可.
【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，
所以的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且?br>對于函數(shù)，則，解得，
即函數(shù)的定義域是.
故選：B
角度3：已知定義域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024上·吉林通化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，建立恒成立的不等式，再分類討論求解作答.
【詳解】依題意，，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
當(dāng)時(shí)，有，解得，則，因此
所以的取值范圍是
例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值為．
【答案】
【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質(zhì)可得參數(shù)值．
【詳解】由題意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案為：．
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，解得且．
故選：C
.
故選：C
2．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】根據(jù)根號下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【詳解】令，則或，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，即在恒成立?br>結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，則滿足，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為．
【答案】
【分析】函數(shù)定義域滿足，根據(jù)解集結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解得答案.
【詳解】的定義域滿足：，解集為，
故且，解得.
故答案為：
高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則函數(shù) ，= ．
【答案】 11
【分析】利用換元法可求出，進(jìn)一步可得.
【詳解】令，則，
所以，所以，
所以.
故答案為：；.
例題2．（2024上·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知（a，b均為常數(shù)），且．
(1)求函數(shù)的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，代入函數(shù)解析式求出，得函數(shù)的解析式；
【詳解】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍）
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.
【詳解】令，可得.
所以，
因此的解析式為.
故選：D.
例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，則，代入函數(shù)解析式可得解.
【詳解】由，令，則，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解題的關(guān)鍵是換元法，但是需要主要定義域的變化，屬于基礎(chǔ)題
角度3：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則（）
A．11B．9C．7D．5
【答案】A
【分析】設(shè)，根據(jù)恒成立可得a，b，然后可解.
【詳解】設(shè)，
則，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故選：A
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)滿足，且，求的解析式.
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，由求出c，由可求得，即可得答案.
【詳解】設(shè)二次函數(shù)為，
因?yàn)?，所以，所以?br>又因?yàn)椋?br>即，
所以，解得：，
所以函數(shù)解析式為.
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知滿足，則解析式為．
【答案】
【分析】用代得出一個(gè)式子，利用方程思想求解函數(shù)解析式.
【詳解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案為：
例題2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】通過構(gòu)造方程組的方法來求得的解析式.
【詳解】①，
以替換，得②，
得：，
所以.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件，通過配湊即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
2．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用換元法直接求解即可.
【詳解】令，，則，，
所以，
所以的解析式為：
故選：B.
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)滿足方程且，則：
（1）；（2）．
【答案】
【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.
【詳解】令可得：，所以；
由①得，②，
聯(lián)立①②可得：.
故答案為：①；②.
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，則 .
【答案】
【解析】由題意利用方程思想求得函數(shù)的解析式即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
同除以2得，
兩式相加可得，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】求函數(shù)解析式常用方法：
(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；
(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；
(3)方程法：已知關(guān)于f(x)與或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．
5．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式
(1)設(shè)函數(shù)是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式
(2)設(shè)滿足，求的解析式
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）利用消元法求函數(shù)解析式.
【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
則，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，
即.
6．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）設(shè)出，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，，得到函數(shù)解析式；
（2）換元法求出函數(shù)解析式，注意自變量取值范圍.
【詳解】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，
，
，
即，由恒等式性質(zhì)，得，
，，
所求函數(shù)解析式為
（2）令，則，，
因?yàn)?，所以?br>所以.
高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù)
角度1：分段函數(shù)求值
典型例題
例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，則（）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】由題意首先將代入得的值，進(jìn)一步將代入即可求解.
【詳解】由題意，解得，
所以.
故選：C.
例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則．
【答案】
【分析】由，從而可求解.
【詳解】由題意知當(dāng)，，則，
所以.
故答案為：.
角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)且，則（）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故選：C
例題2．（2024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為．
【答案】
【分析】利用分段函數(shù)求解即可.
【詳解】，，．
故答案為：
角度3：分段函數(shù)求值域（最值）
典型例題
例題1．（2024上·河南南陽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一，根據(jù)題意，分別求出當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)的最值，即可得到分段函數(shù)的值域；法二，畫出的草圖，數(shù)形結(jié)合可求出值域；
【詳解】法一：因?yàn)榍遥?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的最小值為，最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)?
法二：畫出的草圖，如圖所示，由圖象可知函數(shù)的最小值為，最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)?

故選：D
例題2．（2024上·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的最大值是（）
A．60B．58C．56D．52
【答案】C
【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，
綜上所述，.
故選：C.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到，再作出其圖象求解.
【詳解】解：由題意得：，
其圖象，如圖所示：

由圖象知：函數(shù)y的值域?yàn)椋?br>故選：A
2．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計(jì)算即得.
【詳解】函數(shù)，則，
所以.
故選：A
3．（多選）（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知，若，則所有可能的值是（）
A．－1B．C．1D．
【答案】BD
【分析】利用函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】由已知可得
或或，
解得，或.
故選：BD
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】分別計(jì)算出分段函數(shù)每段函數(shù)取值范圍后取并集即可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的值域?yàn)椋?
故答案為：.
高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域
角度1：二次函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┖瘮?shù)，的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)榈膱D象開口向上，對稱軸為，
又，所以的最小值是.
故答案為：.
例題2．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)滿足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.
【詳解】（1）令，則，
，∴.
（2）因?yàn)椋?br>所以的圖象對稱軸為，在上遞減，在上遞增，
∴，，
即的值域?yàn)?
角度2：分式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2024上·山西太原·高一山西大附中?？计谥校┖瘮?shù)的值域是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分離常數(shù)，再確定分式函數(shù)值域，最后確定整個(gè)函數(shù)的值域.
【詳解】，
而由函數(shù)向右平移3個(gè)單位得到，
所以得值域和的值域相同，都為，
所以得值域?yàn)椋?br>故選：B
例題2．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｖ袑W(xué)校考期末）函數(shù)的值域是．
【答案】
【分析】利用分離常數(shù)項(xiàng)整理化簡函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及不等式性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由題意可知，函數(shù)，
由，，或，則或，
即函數(shù)值域?yàn)?
故答案為：
角度3：根式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函數(shù)單調(diào)性求值域.
【詳解】令，，則，
所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
時(shí)，有最小值，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故選：C
例題2．（2024上·江西宜春·高一?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）換元法求解析式；
（2）求復(fù)合函數(shù)的值域，先由內(nèi)層二次函數(shù)配方法求值域，再由冪函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)值域.
【詳解】（1）令，則，
所以，
故.
（2）由（1）知，
設(shè)，圖象開口向上，
由，
，的值域?yàn)椋?br>令，則的值域即函數(shù)的值域，
由函數(shù)在單調(diào)遞增，則，的值域?yàn)?
故的值域?yàn)?
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┮阎瘮?shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助的值域?yàn)榭傻靡”樗械恼龜?shù)，對進(jìn)行分類討論即可得.
【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)?，則要取遍所有的正數(shù)．
所以或，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A．
例題2．（2024·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）已知，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】分類討論，在時(shí)由可得．
【詳解】時(shí)，不合題意，
因此且，∴，
故答案為：．
例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【分析】先求解出時(shí)的值域，然后根據(jù)分類討論時(shí)的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)且時(shí)，，
此時(shí)，且，所以不滿足；
當(dāng)且時(shí)，，
由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，此時(shí)，
若要滿足的值域?yàn)?，只需要，解得?br>當(dāng)且時(shí)，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，
所以此時(shí)，此時(shí)顯然能滿足的值域?yàn)椋?br>綜上可知，的取值范圍是，
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的最大值是（）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】設(shè)，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由，解得，故的定義域?yàn)?
設(shè)，
則，
其中，，
∵，則，
∴當(dāng)，即時(shí)，
取最大值，即函數(shù)的最大值是.
故選：B.
2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別畫出分段函數(shù)對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象，再對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，
若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類討論：
當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；
同理當(dāng),值域也不是；
當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將變形，分析其取值范圍，結(jié)合取整函數(shù)定義，分析得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)的取值為1；
當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)的取值為；
綜上，的值域?yàn)椋?br>故答案為：.
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】利用反函數(shù),可將原函數(shù)化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.
【詳解】，其中或，
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，
∴函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)? .
【答案】
【分析】通過換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，要注意的是原函數(shù)是給定定義域的，要在定義域內(nèi)求值域.
【詳解】令，則，
容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，
，所以該函數(shù)在時(shí)取到最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
所以函數(shù)值域?yàn)?
故答案為：
6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t常數(shù) ．
【答案】7或
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，即，
因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>所以是方程的兩個(gè)根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案為：7或.
7．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
備注：抽象函數(shù)定義域問題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“”的取值范圍叫定義域
1．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件先求解出的定義域，然后結(jié)合分式分母不、對數(shù)的真數(shù)大于列出關(guān)于的不等式組，由此求解出的定義域.
【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以在函數(shù)中有，解得，
所以的定義域?yàn)椋?br>故選：A.
2．（2023上·江西贛州·高一江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【分析】應(yīng)用求解抽象函數(shù)的定義域的方法求出的定義域，和的解集，即可求解.
【詳解】由題意得函數(shù)的定義域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
第五部分：新定義題（解答題）
1．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖趯?shí)數(shù)，使得，都滿足，則稱函數(shù)為“三倍函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“三倍函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)，為“三倍函數(shù)”，求的取值范圍.
【答案】(1)不是“三倍函數(shù)”，理由見解析
(2)
【分析】（1）假設(shè)是“三倍函數(shù)”，得到，從而得以判斷；
（2）變換得到，的值域是，根據(jù)值域關(guān)系排除的情況，得到，分析可得，從而得解.
【詳解】（1）不是“三倍函數(shù)”，理由如下：
因?yàn)?，?br>假設(shè)是“三倍函數(shù)”，
則存在實(shí)數(shù)，使得，都滿足，
即，即，
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，的值域?yàn)椋粷M足條件，
故函數(shù)不是“三倍函數(shù)”.
（2）因?yàn)?，為“三倍函?shù)”，
所以存在，，都，有，
即，
當(dāng)時(shí)，的值域是，
則在的值域包含，
當(dāng)時(shí)，，則，
若，即，則，，
此時(shí)值域的區(qū)間長度不超過，而區(qū)間長度為，不滿足題意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
則在的最小值至少要小于等于，
又時(shí)，在上單調(diào)遞減且，
故有，解得，
此時(shí)取，的值域是，
而，，故在的值域包含，滿足題意；
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將題目的新定義問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的包含問題，從而得解.
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
1
2
3
4
3

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