2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc167" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc167 \h 2
\l "_Tc16323" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc16323 \h 3
\l "_Tc16593" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc16593 \h 3
\l "_Tc21424" 高頻考點一：利用與的關(guān)系求通項公式(角度1：利用替換) PAGEREF _Tc21424 \h 3
\l "_Tc9578" 高頻考點二：利用與的關(guān)系求通項公式(角度2：利用替換) PAGEREF _Tc9578 \h 4
\l "_Tc27623" 高頻考點三：角利用與的關(guān)系求通項公式(角度3：作差法求通項) PAGEREF _Tc27623 \h 5
\l "_Tc5471" 高頻考點四：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度1：累加法） PAGEREF _Tc5471 \h 6
\l "_Tc21085" 高頻考點五：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度2：累乘法） PAGEREF _Tc21085 \h 8
\l "_Tc7842" 高頻考點六：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度3：構(gòu)造法） PAGEREF _Tc7842 \h 9
\l "_Tc25026" 高頻考點七：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度4：倒數(shù)法） PAGEREF _Tc25026 \h 10
\l "_Tc19337" 高頻考點八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性） PAGEREF _Tc19337 \h 12
\l "_Tc13297" 高頻考點九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性） PAGEREF _Tc13297 \h 12
\l "_Tc3055" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc3055 \h 13
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、數(shù)列的有關(guān)概念
2、數(shù)列的表示方法
（1）列表法
列出表格來表示序號與項的關(guān)系．
（2）圖象法
數(shù)列的圖象是一系列孤立的點．
（3）公式法
①通項公式法：把數(shù)列的通項用公式表示的方法，如．
②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數(shù)列的方法．
3、與的關(guān)系
若數(shù)列的前項和為，則．
4、數(shù)列的分類
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
2．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項和，已知．
(1)求an的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用與的關(guān)系求通項公式(角度1：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式是．
例題2．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列通項公式．
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獢?shù)列的前項和，則它的通項公式．
2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為.
(1)求，；
(2)求數(shù)列an的通項公式.
高頻考點二：利用與的關(guān)系求通項公式(角度2：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)是數(shù)列的前項和，且.若對滿足，數(shù)列的前項和為．
例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式;
2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
高頻考點三：角利用與的關(guān)系求通項公式(角度3：作差法求通項)
方法總結(jié)：已知等式中左側(cè)含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則 .
例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.
(1)分別求數(shù)列和的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．
高頻考點四：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度1：累加法）
累加法（疊加法）(記憶累積法模型)
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
典型例題
例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）若數(shù)列an滿足，數(shù)列的前n項和為，則
例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設(shè)數(shù)列滿足 .
(1)求數(shù)列的通項公式;
練透核心考點
1．（2024·四川·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，且，則等于（）
A．148B．149C．152D．299
2．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時，.
(1)求an的通項公式；
高頻考點五：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度2：累乘法）
累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川達州·期中）在數(shù)列中，若，且對任意有，則數(shù)列的前30項和為（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
練透核心考點
1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項和，則數(shù)列的通項公式為（）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式.
高頻考點六：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度3：構(gòu)造法）
用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.
標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項和=
例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項為，且滿足，則．
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，.求數(shù)列的通項公式；
練透核心考點
1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
2．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前項和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
高頻考點七：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度4：倒數(shù)法）
用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原
例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則的值為（）
A．B．C．5D．
例題2．（23-24高二下·河南信陽·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（）
A．B．C．D．
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，（），則（）
A．2B．C．D．2023
2．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數(shù)列的前項和為，前項積為，若且，則 .
高頻考點九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性）
方法總結(jié)：求數(shù)列最值的常用方法
(1)利用數(shù)列的單調(diào)性:根據(jù)單調(diào)性求數(shù)列的最值.
(2)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最大值（注意）.
(3)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最小值（注意）.
典型例題
例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列，則數(shù)列的前100項中的最小項和最大項分別是（）
A．，B．，C．，D．，
例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設(shè)無窮數(shù)列的通項公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個取值為 .
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津）已知，則數(shù)列的最大項（）
A．B．C．或D．不存在
2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
第四部分：新定義題
1．（多選）（山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列an和bn的項數(shù)均為，稱為數(shù)列an和bn的距離．記滿足的所有數(shù)列an構(gòu)成的集合為．已知數(shù)列和為中的兩個元素，項數(shù)均為，下列正確的有（）
A．?dāng)?shù)列和數(shù)列的距離為
B．若，則
C．若，則
D．若，，數(shù)列和的距離小于，則的最大值為
2．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對任意的與兩數(shù)中至少有一個屬于.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；
(2)（i）證明：且；
（ii）當(dāng)時，若，寫出集合.
3．（2024·海南·模擬預(yù)測）定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，
(1)若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.
(2)已知遞增數(shù)列，為“除法封閉數(shù)列"，求和 .
(3)已知數(shù)列是以1為首項的遞增數(shù)列，共有項，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式.概念
含義
數(shù)列
按照一定順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項
數(shù)列中的每一個數(shù)
數(shù)列的通項
數(shù)列的第項
通項公式
如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系能用公式表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式
前n項和
數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項和
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項間的大小關(guān)系
遞增數(shù)列
其中
遞減數(shù)列
常數(shù)列
第01講數(shù)列的概念與簡單表示法
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc167" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc167 \h 1
\l "_Tc16323" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc16323 \h 3
\l "_Tc16593" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc16593 \h 4
\l "_Tc21424" 高頻考點一：利用與的關(guān)系求通項公式(角度1：利用替換) PAGEREF _Tc21424 \h 4
\l "_Tc9578" 高頻考點二：利用與的關(guān)系求通項公式(角度2：利用替換) PAGEREF _Tc9578 \h 6
\l "_Tc27623" 高頻考點三：角利用與的關(guān)系求通項公式(角度3：作差法求通項) PAGEREF _Tc27623 \h 8
\l "_Tc5471" 高頻考點四：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度1：累加法） PAGEREF _Tc5471 \h 11
\l "_Tc21085" 高頻考點五：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度2：累乘法） PAGEREF _Tc21085 \h 13
\l "_Tc7842" 高頻考點六：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度3：構(gòu)造法） PAGEREF _Tc7842 \h 16
\l "_Tc25026" 高頻考點七：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度4：倒數(shù)法） PAGEREF _Tc25026 \h 18
\l "_Tc19337" 高頻考點八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性） PAGEREF _Tc19337 \h 20
\l "_Tc13297" 高頻考點九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性） PAGEREF _Tc13297 \h 22
\l "_Tc3055" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc3055 \h 24
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、數(shù)列的有關(guān)概念
2、數(shù)列的表示方法
（1）列表法
列出表格來表示序號與項的關(guān)系．
（2）圖象法
數(shù)列的圖象是一系列孤立的點．
（3）公式法
①通項公式法：把數(shù)列的通項用公式表示的方法，如．
②遞推公式法：使用初始值和或，和來表示數(shù)列的方法．
3、與的關(guān)系
若數(shù)列的前項和為，則．
4、數(shù)列的分類
第二部分：高考真題回顧
1．（2024·全國·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【知識點】寫出等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、分組（并項）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項和
.
2．（2024·全國·高考真題（甲卷理））記為數(shù)列an的前項和，已知．
(1)求an的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．
【答案】(1)
(2)
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】（1）利用退位法可求an的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．
當(dāng)時，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列an是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：利用與的關(guān)系求通項公式(角度1：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，，則數(shù)列的通項公式是．
【答案】
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】分解因式化簡條件式得，利用與的關(guān)系計算即可.
【詳解】由可得，
所以（舍），，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
將代入，，
所以的通項公式是
故答案為：．
例題2．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列通項公式．
【答案】
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】利用結(jié)合已知條件求解.
【詳解】當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
因為不符合上式，
所以.
故答案為：
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獢?shù)列的前項和，則它的通項公式．
【答案】．
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】由與的關(guān)系，化簡可得所求通項公式．
【詳解】由，可得時，；
當(dāng)時，．
此時，當(dāng)
綜上，可得．
故答案為：．
2．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為.
(1)求，；
(2)求數(shù)列an的通項公式.
【答案】(1)，
(2).
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】（1）賦值法求得，再根據(jù)求解即可；
（2）利用和關(guān)系求解通項公式即可.
【詳解】（1）令得，令得，所以.
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
經(jīng)檢驗滿足上式，所以.
高頻考點二：利用與的關(guān)系求通項公式(角度2：利用替換)
典型例題
例題1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)是數(shù)列的前項和，且.若對滿足，數(shù)列的前項和為．
【答案】
【知識點】利用定義求等差數(shù)列通項公式、利用an與sn關(guān)系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】先根據(jù)關(guān)系化簡，再根據(jù)等差數(shù)列求出通項最后應(yīng)用裂項相消求和即可.
【詳解】由題知，.
因為，所以,
兩邊同時除以得，，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以所以，
因為，
所以數(shù)列的前項和為
.
故答案為：
例題2．（23-24高二上·山東青島·期末）已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項、利用定義求等差數(shù)列通項公式、求等比數(shù)列前n項和
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用變形給定等式，利用等差數(shù)列通項公式求出，再求出數(shù)列an的通項.
【詳解】（1）由，得，
則，而，因此是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
于是，即，當(dāng)時，，滿足上式，
所以數(shù)列an的通項公式.
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式;
【答案】(1)
【知識點】基本不等式求和的最小值、利用an與sn關(guān)系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】（1）通過與的關(guān)系，求出數(shù)列為等差數(shù)列，進而求數(shù)列的通項公式；
【詳解】（1）由題意可知，，
所以當(dāng)時，，，
所以，
即，
故數(shù)列首項為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，
即，
當(dāng)時成立.
所以.
所以，
所以數(shù)列的通項公式為.
2．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】確定數(shù)列中的最大（?。╉棥⒗胊n與sn關(guān)系求通項或項、裂項相消法求和
【分析】（1）根據(jù)條件得到，即數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而得到，再利用與間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；
【詳解】（1）因為，得到，又，
所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，
故，得到，
當(dāng)時，，所以，
又時，，即，也滿足，
所以.
高頻考點三：角利用與的關(guān)系求通項公式(角度3：作差法求通項)
方法總結(jié)：已知等式中左側(cè)含有：，作差法（類似）（注意記憶該模型）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】當(dāng)時求出，當(dāng)時，作差即可得解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以，
所以，
當(dāng)時不成立，所以.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·遼寧·期中）已知正項等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.
(1)分別求數(shù)列和的通項公式；
【答案】(1)，
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、求等比數(shù)列前n項和
【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量運算求得，再由bn的和式采用作差法求得并驗證即得通項；
【詳解】（1）設(shè)正項等差數(shù)列an的公差為，
因為，，所以，解得：
所以.
數(shù)列bn滿足
設(shè)，
當(dāng)時，有，即，
當(dāng)時，有，得
符合，所以
練透核心考點
1．（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】由數(shù)列遞推式考慮賦值作差，即可求出，需要檢測首項是否符合.
【詳解】由 ① 知，
當(dāng)時，；
當(dāng)時， ②，
由① ② ：，即得，
當(dāng)時，符合題意，故.
故選：A.
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．
【答案】
【知識點】由遞推關(guān)系式求通項公式、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】
令，得到，結(jié)合與的關(guān)系，求得，進而求得，得到答案.
【詳解】
令，的前項和為，
因為，可得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
將代入上式可得，
綜上可得，即，所以.
故答案為：.
高頻考點四：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度1：累加法）
累加法（疊加法）(記憶累積法模型)
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
典型例題
例題1．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）若數(shù)列an滿足，數(shù)列的前n項和為，則
【答案】/
【知識點】累加法求數(shù)列通項、裂項相消法求和
【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法求出，再利用裂項相消法求和.
【詳解】當(dāng)時，，
而滿足上式，因此，，
.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·廣東深圳·期末）設(shè)數(shù)列滿足 .
(1)求數(shù)列的通項公式;
【答案】(1)
【知識點】累加法求數(shù)列通項、裂項相消法求和、求等差數(shù)列前n項和、分組（并項）法求和
【分析】（1）利用累加法求解數(shù)列通項公式，再根據(jù)分組求和進行化簡；
【詳解】（1）
可知
上式相加得
所以數(shù)列 an 的通項公式
練透核心考點
1．（2024·四川·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，且，則等于（）
A．148B．149C．152D．299
【答案】B
【知識點】累加法求數(shù)列通項、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項
【分析】根據(jù)遞推公式求和偶數(shù)項之間的遞推關(guān)系，然后由累加法可得.
【詳解】由題意得，因為，，
所以，
所以．
故選：B．
2．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時，.
(1)求an的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】累加法求數(shù)列通項、求等比數(shù)列前n項和、由遞推關(guān)系式求通項公式、數(shù)列不等式恒成立問題
【分析】（1）應(yīng)用累加法求通項公式；
【詳解】（1）當(dāng)時，
.
又，因此an的通項公式為.
高頻考點五：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度2：累乘法）
累乘法（疊乘法）（記憶累乘法模型）
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
典型例題
例題1．（23-24高二下·四川達州·期中）在數(shù)列中，若，且對任意有，則數(shù)列的前30項和為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】錯位相減法求和、累乘法求數(shù)列通項
【分析】由累乘法求出，再由錯位相減法求出數(shù)列的前項和為，即可求出.
【詳解】因為任意有，
所以，，，……，，
上式累乘可得：，
因為，所以，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
，
，
，
兩式相減可得：，
所以，
所以，
所以.
故選：D.
例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項、累乘法求數(shù)列通項
【分析】（1）利用之間的關(guān)系，再結(jié)合累乘法計算化簡即可．
（2）表示出數(shù)列的前項和，利用錯位相減法計算化簡即可．
【詳解】（1）結(jié)合題意：因為①，
當(dāng)時，②，
所以①-②得，即，
所以，
當(dāng)時，上式也成立.
故an的通項公式．
練透核心考點
1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，前項和，則數(shù)列的通項公式為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】累乘法求數(shù)列通項、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，得，兩式相減，可得，利用累乘法，即可得到結(jié)論
【詳解】由于數(shù)列中，，前項和，
∴當(dāng)時，，
兩式相減可得：
∴，
所以，
因此，
故選：A.
2．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式.
【答案】(1)
【知識點】錯位相減法求和、累乘法求數(shù)列通項、求等比數(shù)列前n項和
【分析】（1）根據(jù)題意利用累乘法可求得通項公式；
【詳解】（1）因為，
所以，，，……，，
所以，
所以，得；
高頻考點六：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度3：構(gòu)造法）
用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.
標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）
典型例題
例題1．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項和=
【答案】
【知識點】求等比數(shù)列前n項和、構(gòu)造法求數(shù)列通項、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列
【分析】由題意可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出，再由分組求和法求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，
則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
數(shù)列的前n項和.
故答案為：
例題2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項為，且滿足，則．
【答案】
【知識點】構(gòu)造法求數(shù)列通項、由遞推關(guān)系式求通項公式、寫出等比數(shù)列的通項公式
【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得.
【詳解】由，即，
則，又，
故數(shù)列是以為公比、為首項的等比數(shù)列，
即，則.
故答案為：.
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，.求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【知識點】由遞推關(guān)系式求通項公式、寫出等比數(shù)列的通項公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】構(gòu)造法得到新數(shù)列為等比數(shù)列，求出通項公式，再得到原數(shù)列通項公式.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，，①
又因為，所以，數(shù)列為常數(shù)列，
故，②
②①可得，所以，，
所以，對任意的，.
練透核心考點
1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、寫出等比數(shù)列的通項公式
【分析】（1）分析可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；
【詳解】（1）因為，則，
且，可得，
所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；
2．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前項和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，由，可得,
兩式相減得，所以，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
高頻考點七：利用遞推關(guān)系求通項公式（角度4：倒數(shù)法）
用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.）
典型例題
例題1．（24-25高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見詳解；
【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、分組（并項）法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】（1）將已知等式取倒，通過構(gòu)造數(shù)列即可得證；
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式.
【答案】
【知識點】由遞推關(guān)系式求通項公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項、寫出等比數(shù)列的通項公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列
【分析】根據(jù)題意先證數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的通項公式分析求解.
【詳解】因為，且，可知，
則，可得，
且，
可知數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，
可得，所以.
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！て谀┰跀?shù)列中，已知．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】等差數(shù)列的簡單應(yīng)用、裂項相消法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】（1）依題意得，而，則數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解；
【詳解】（1）解：由，得，得，而，
則數(shù)列為等差數(shù)列，其首項為1，公差為1，
則，
故的通項公式為：，
2．（2024·陜西咸陽·三模）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列通項公式；
【答案】(1)；
【知識點】利用定義求等差數(shù)列通項公式、分組（并項）法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項
【分析】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列求出通項即得.
【詳解】（1）數(shù)列an中，，，顯然，則，
數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列an通項公式是.
高頻考點八：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度1：數(shù)列的周期性）
典型例題
例題1．（23-24高二上·云南昆明·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則的值為（）
A．B．C．5D．
【答案】A
【知識點】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項、數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列an的周期性，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由數(shù)列an中，，
可得，
可得數(shù)列an是以三項為周期的周期性循環(huán)出現(xiàn)，
所以.
故選：A.
例題2．（23-24高二下·河南信陽·期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數(shù)列.數(shù)列滿足，.現(xiàn)從數(shù)列的前2023項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】計算古典概型問題的概率、數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】求出數(shù)列各項的余數(shù)，得到余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，從而得到前2023項中被3除余1的有項，得到概率.
【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義知，，
被3除的余數(shù)依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余數(shù)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為8，，
所以數(shù)列的前2023項中被3除余1的有項，
故所求概率為.
故選：D.
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，（），則（）
A．2B．C．D．2023
【答案】B
【知識點】數(shù)列周期性的應(yīng)用、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項
【分析】由題意確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后求解即可.
【詳解】由, 可推得 ,
所以數(shù)列是以3為周期的一個周期數(shù)列,
所以 .
故選：B.
2．（23-24高二下·河南焦作·期中）記數(shù)列的前項和為，前項積為，若且，則 .
【答案】
【知識點】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、數(shù)列周期性的應(yīng)用
【分析】計算數(shù)列的前幾項，推得數(shù)列是最小正周期為4的數(shù)列，由，可得首項為2，進而得到所求和．
【詳解】若，即，
設(shè)，，，，，
可得數(shù)列是最小正周期為4的數(shù)列，
則，
即有，，，，
可得，
則．
故答案為：．
高頻考點九：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（角度2：數(shù)列的單調(diào)性）
方法總結(jié)：求數(shù)列最值的常用方法
(1)利用數(shù)列的單調(diào)性:根據(jù)單調(diào)性求數(shù)列的最值.
(2)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最大值（注意）.
(3)通過建立不等式組求解:若設(shè)第()項最大,則有解該不等式組確定的值即得數(shù)列的最小值（注意）.
典型例題
例題1．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列，則數(shù)列的前100項中的最小項和最大項分別是（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【知識點】確定數(shù)列中的最大（小）項
【分析】先化簡，再借助函數(shù)的單調(diào)性分析得解.
【詳解】，
因為，
所以時，數(shù)列單調(diào)遞增，且；時，數(shù)列單調(diào)遞增，且.
∴在數(shù)列的前100項中最小項和最大項分別是.
故選：B.
例題2．（23-24高二下·北京房山·期末）設(shè)無窮數(shù)列的通項公式為.若是單調(diào)遞減數(shù)列，則的一個取值為 .
【答案】（答案不唯一，即可）
【知識點】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)、數(shù)列不等式恒成立問題
【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，可得，解不等式可得的取值范圍.
【詳解】由可得，
又是單調(diào)遞減數(shù)列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
∴，
又因為，所以，
即取值范圍為，
故答案為：（答案不唯一，即可）
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津）已知，則數(shù)列的最大項（）
A．B．C．或D．不存在
【答案】C
【知識點】判斷數(shù)列的增減性、確定數(shù)列中的最大（?。╉棥⒗脤?dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
【分析】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間，求出取得極大值時的值，求出數(shù)列的最大項.
【詳解】令，所以，
所以在上遞增，在上遞減，
所以時，函數(shù)取得極大值即最大值，
因為，，
所以數(shù)列的最大項為或.
故選：C.
2．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】由數(shù)列的單調(diào)性求解．
【詳解】由題意，解得.
故選：C.
第四部分：新定義題
1．（多選）（山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列an和bn的項數(shù)均為，稱為數(shù)列an和bn的距離．記滿足的所有數(shù)列an構(gòu)成的集合為．已知數(shù)列和為中的兩個元素，項數(shù)均為，下列正確的有（）
A．?dāng)?shù)列和數(shù)列的距離為
B．若，則
C．若，則
D．若，，數(shù)列和的距離小于，則的最大值為
【答案】ABD
【知識點】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、分組（并項）法求和、數(shù)列新定義
【分析】根據(jù)數(shù)列距離的定義求兩數(shù)列的距離判斷A，結(jié)合數(shù)列，的遞推關(guān)系證明兩數(shù)列具有周期性，判斷B，利用基本不等式求，由此求，判斷C，由條件求，結(jié)合周期性可求，，由此判斷D.
【詳解】對于A，根據(jù)數(shù)列距離的定義可得：
數(shù)列和數(shù)列的距離為，A正確；
對于B，設(shè)，其中，且，由，
所以，，，，
則，
因此數(shù)列中的項周期性重復(fù)，且間隔項重復(fù)一次，
所以，，，
設(shè)，其中，且，由，
所以，，，，
則，
因此數(shù)列中的項周期性重復(fù)，且間隔項重復(fù)一次，
所以，，，
所以若，則，B正確；
因為，其中，且，
所以，
所以，
所以若，，C錯誤；
【詳解】（1）因為與均不屬于數(shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì)；
因為都屬于數(shù)集，
所以數(shù)集具有性質(zhì).
（2）（i）由具有性質(zhì)，得與中至少有一個屬于，
由，得，即，從而，則，
由，得，則，
由具有性質(zhì)，知，
又，于是，
從而，
所以.
（ii）由（i）知，，即，
由，得，則，由數(shù)集具有性質(zhì)，得，
由，得，且，于是，即，
因此，數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，即，
所以.
【點睛】方法點睛：集合新定義，需要正確理解題干中的信息，并轉(zhuǎn)化為我們熟悉的知識進行求解，常常用到列舉法，反證法等邏輯思路解決問題.
3．（2024·海南·模擬預(yù)測）定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，
(1)若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.
(2)已知遞增數(shù)列，為“除法封閉數(shù)列"，求和 .
(3)已知數(shù)列是以1為首項的遞增數(shù)列，共有項，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)不是
(2)
(3)是；說明過程見解析
【知識點】確定數(shù)列中的最大（?。╉棥⒌缺葦?shù)列的定義、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、數(shù)列新定義
【分析】（1）舉例說明兩項之積不是數(shù)列中的項即可；
（2）由遞增數(shù)列得不等關(guān)系，再利用不等式性質(zhì)重新排序，由此將兩類排序數(shù)列中的項對應(yīng)相等，建立方程組求解可得；
（3）由特殊到一般，找到規(guī)律，同（2）方法分別以項與項的大小關(guān)系入手，排序可得兩個系列的等量關(guān)系，借助中間量可得比例關(guān)系，由此得證.
【詳解】（1）由題意知，數(shù)列為：.
由，不是數(shù)列中的項，
故數(shù)列不是“乘法封閉數(shù)列”；
（2）由題意數(shù)列遞增可知，則，且，
又?jǐn)?shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則都是數(shù)列中的項，
所以，即①；
且，即②，
聯(lián)立①②解得，；
（3）數(shù)列是等比數(shù)列.
證明：當(dāng)時，設(shè)數(shù)列為，
由題意數(shù)列遞增可知，
則有，
由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，
則這個數(shù)都是數(shù)列中的項，
所以有，
則有，③；
同理由，可得，
則有，即④；
由③④可得，，故是等比數(shù)列.
當(dāng)時，由題意數(shù)列遞增可知，
則有，
由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則這個數(shù)都是數(shù)列中的項.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
則，即⑥，
聯(lián)立⑤⑥得，，
則，所以有，
所以，故數(shù)列an是等比數(shù)列.
綜上所述，數(shù)列an是等比數(shù)列.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列新定義問題，解決的關(guān)鍵有兩點：一是緊抓新數(shù)列的定義，如題目中“封閉”條件的使用，即“任意兩項之積（商）仍是數(shù)列的項”這一條件是解題的入手點；二是應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)性或等差比通項特性等重要性質(zhì)構(gòu)造等量或不等關(guān)系解決問題，如題目中根據(jù)遞增數(shù)列與不等式性質(zhì)對數(shù)列中的項重新排序，一個遞增數(shù)列的兩種排序形式必為同一排序，故對應(yīng)項相等，從而挖掘出新數(shù)列的項的關(guān)系.
概念
含義
數(shù)列
按照一定順序排列的一列數(shù)
數(shù)列的項
數(shù)列中的每一個數(shù)
數(shù)列的通項
數(shù)列的第項
通項公式
如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系能用公式表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式
前n項和
數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項和
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項間的大小關(guān)系
遞增數(shù)列
其中
遞減數(shù)列
常數(shù)列

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多