2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(知識(shí)+真題+12類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考通用版)第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(知識(shí)+真題+12類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)，共58頁。試卷主要包含了角的概念的推廣，弧度制的定義和公式，任意角的三角函數(shù)，扇形的弧長(zhǎng)及面積公式，三角函數(shù)線，常用結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32349" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc32349 \h 2
\l "_Tc26244" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc26244 \h 4
\l "_Tc1162" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc1162 \h 5
\l "_Tc6578" 高頻考點(diǎn)一：確定已知角所在象限 PAGEREF _Tc6578 \h 5
\l "_Tc29822" 高頻考點(diǎn)二：由已知角所在的象限確定某角的范圍 PAGEREF _Tc29822 \h 6
\l "_Tc7551" 高頻考點(diǎn)三：確定倍角（分角）所在象限 PAGEREF _Tc7551 \h 6
\l "_Tc7619" 高頻考點(diǎn)四：區(qū)域角 PAGEREF _Tc7619 \h 7
\l "_Tc29907" 高頻考點(diǎn)五：終邊相同的角 PAGEREF _Tc29907 \h 9
\l "_Tc19198" 高頻考點(diǎn)六：角度制與弧制度的相互轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Tc19198 \h 9
\l "_Tc19864" 高頻考點(diǎn)七：弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算 PAGEREF _Tc19864 \h 10
\l "_Tc12520" 高頻考點(diǎn)八：扇形面積有關(guān)計(jì)算 PAGEREF _Tc12520 \h 11
\l "_Tc5714" 高頻考點(diǎn)九：?jiǎn)挝粓A法與三角函數(shù) PAGEREF _Tc5714 \h 13
\l "_Tc1524" 高頻考點(diǎn)十：終邊上任意點(diǎn)法與三角函數(shù) PAGEREF _Tc1524 \h 13
\l "_Tc11679" 高頻考點(diǎn)十一：三角函數(shù)線 PAGEREF _Tc11679 \h 14
\l "_Tc4188" 高頻考點(diǎn)十二：解三角不等式 PAGEREF _Tc4188 \h 15
\l "_Tc25243" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc25243 \h 16
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、角的概念的推廣
①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
③終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2、弧度制的定義和公式
①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．
②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，，是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．
④弧度與角度的換算：；．
若一個(gè)角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為，則，．
3、任意角的三角函數(shù)
3.1.單位圓定義法：
任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么
（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作；
（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作；
（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作（）.它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．
3.2.終邊上任意點(diǎn)法：
設(shè)是角終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為（）那么：
；；（）
4、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式
(1)弧長(zhǎng)公式
在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長(zhǎng)公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式
5、三角函數(shù)線
6、常用結(jié)論
（1）三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制與弧度制可利用進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，在同一個(gè)式子中，采用的度量方式必須統(tǒng)一，不可混淆.
（3）象限角：
（4）軸線角
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·甲卷理）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·乙卷文）若，則 ．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：確定已知角所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
例題2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）的終邊在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
2．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
高頻考點(diǎn)二：由已知角所在的象限確定某角的范圍
典型例題
例題1．（22-23高一上·甘肅天水·期末）若是第二象限角，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
例題2．（多選）（23-24高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·廣東中山·階段練習(xí)）若α是第四象限角，則90o－α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．（多選）（23-24高一上·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）若是第三象限的角，則可能是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
高頻考點(diǎn)三：確定倍角（分角）所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若，角終邊所在的象限是（ ）
A．一或三B．二或四C．二或三D．三或四
例題2．（多選）（23-24高一上·河北保定·期中）設(shè)為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知為第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·四川內(nèi)江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限
2．（多選）（23-24高一下·全國·單元測(cè)試）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
高頻考點(diǎn)四：區(qū)域角
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，則圖中表示角的終邊所在區(qū)域正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么 .
例題3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．
(1)
(2)
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是 ．
3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

高頻考點(diǎn)五：終邊相同的角
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）在與弧度數(shù)為角終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角是 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·內(nèi)蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（多選）（23-24高一上·河南·期末）已知角與的終邊相同，則角可以是（ ）
A．B．C．D．
高頻考點(diǎn)六：角度制與弧制度的相互轉(zhuǎn)化
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）將角度化為弧度： .
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）化成弧度是 .
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制為 ．
高頻考點(diǎn)七：弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算
典型例題
例題1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，半徑為3，則扇形的周長(zhǎng)為（ ）
A．7B．9C．10D．11
例題2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 .
例題3．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為 .
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）過軸上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)切線長(zhǎng)最短時(shí)，則劣弧長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）扇形的半徑為2，圓心角為，則圓心角的弧度數(shù)為 ；扇形的弧長(zhǎng)為 ．
3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知扇形的面積為，圓心角弧度數(shù)為，則其弧長(zhǎng)為 ；
高頻考點(diǎn)八：扇形面積有關(guān)計(jì)算
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（ ）
A．9B．8C．4D．3
例題2．（23-24高一上·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則陰影區(qū)域的面積的最大值為 .
例題3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑．
(1)當(dāng)，求其弧所在弓形的面積．
(2)若該扇形的面積為，當(dāng)它的圓心角和半徑取何值時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（ ）
圖1 圖2
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長(zhǎng)為．
(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最?。坎⑶蟪龅淖钚≈?；
(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最大？并求出的最大值．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環(huán)面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構(gòu)成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長(zhǎng)為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長(zhǎng)度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
高頻考點(diǎn)九：?jiǎn)挝粓A法與三角函數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，
例題3．（2024高一·上海·專題練習(xí)）已知角的終邊上有一點(diǎn)，求的各三角函數(shù)值.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·甘肅·一模）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
高頻考點(diǎn)十一：三角函數(shù)線
典型例題
例題1．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）若，，，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023高一上·江蘇·專題練習(xí)）依據(jù)三角函數(shù)線作出如下四個(gè)判斷：
①；②；③；④．
其中判斷正確的有 （填序號(hào)）．
3．（23-24高一·江蘇·課時(shí)練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
高頻考點(diǎn)十二：解三角不等式
典型例題
例題1．（23-24高三·全國·課時(shí)練習(xí)）使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是
A．B．
C．D．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）不等式在區(qū)間上的解集為 ．
例題3．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·廣西北?！て谥校┰谏希共坏仁匠闪⒌膞的集合為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)）若，證明：
(1)；
(2).
（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線,確定滿足不等式的取值范圍.
第四部分：新定義題
1．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合相對(duì)的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相對(duì)的“余弦方差”；
(2)求證：集合，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，求出、．
角
不存在
三角函數(shù)線


正弦線：
余弦線：
正切線：
角度制
弧度制
象限角
集合
區(qū)間
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角終邊所在位置
角度制
弧度制
角終邊在軸非負(fù)半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸非負(fù)半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸上
角終邊在軸上
角終邊在坐標(biāo)軸上
第01講 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32349" 第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) PAGEREF _Tc32349 \h 1
\l "_Tc26244" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc26244 \h 4
\l "_Tc1162" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc1162 \h 6
\l "_Tc6578" 高頻考點(diǎn)一：確定已知角所在象限 PAGEREF _Tc6578 \h 6
\l "_Tc29822" 高頻考點(diǎn)二：由已知角所在的象限確定某角的范圍 PAGEREF _Tc29822 \h 7
\l "_Tc7551" 高頻考點(diǎn)三：確定倍角（分角）所在象限 PAGEREF _Tc7551 \h 9
\l "_Tc7619" 高頻考點(diǎn)四：區(qū)域角 PAGEREF _Tc7619 \h 11
\l "_Tc29907" 高頻考點(diǎn)五：終邊相同的角 PAGEREF _Tc29907 \h 15
\l "_Tc19198" 高頻考點(diǎn)六：角度制與弧制度的相互轉(zhuǎn)化 PAGEREF _Tc19198 \h 16
\l "_Tc19864" 高頻考點(diǎn)七：弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算 PAGEREF _Tc19864 \h 17
\l "_Tc12520" 高頻考點(diǎn)八：扇形面積有關(guān)計(jì)算 PAGEREF _Tc12520 \h 19
\l "_Tc5714" 高頻考點(diǎn)九：?jiǎn)挝粓A法與三角函數(shù) PAGEREF _Tc5714 \h 24
\l "_Tc1524" 高頻考點(diǎn)十：終邊上任意點(diǎn)法與三角函數(shù) PAGEREF _Tc1524 \h 26
\l "_Tc11679" 高頻考點(diǎn)十一：三角函數(shù)線 PAGEREF _Tc11679 \h 28
\l "_Tc4188" 高頻考點(diǎn)十二：解三角不等式 PAGEREF _Tc4188 \h 36
\l "_Tc25243" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc25243 \h 40
第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)
1、角的概念的推廣
①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
③終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2、弧度制的定義和公式
①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．
②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，，是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．
④弧度與角度的換算：；．
若一個(gè)角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為，則，．
3、任意角的三角函數(shù)
3.1.單位圓定義法：
任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么
（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作；
（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作；
（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作（）.它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．
3.2.終邊上任意點(diǎn)法：
設(shè)是角終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為（）那么：
；；（）
4、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式
(1)弧長(zhǎng)公式
在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長(zhǎng)公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式
5、三角函數(shù)線
6、常用結(jié)論
（1）三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制與弧度制可利用進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，在同一個(gè)式子中，采用的度量方式必須統(tǒng)一，不可混淆.
（3）象限角：
（4）軸線角
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·全國·甲卷理）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
又，所以三點(diǎn)共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
2．（2023·全國·乙卷文）若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)?，則，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案為：.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：確定已知角所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】利用得到答案.
【詳解】，故角的終邊在第四象限.
故選：D
例題2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【分析】，再根據(jù)終邊相同的角的集合，判斷是第幾象限角，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋质堑谌笙藿牵?br>所以是第三象限角，
故選：C.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）的終邊在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【分析】求出與終邊相同，得到所在象限.
【詳解】與終邊相同的角可表示為，．
當(dāng)時(shí)，．易知終邊在第二象限．
故選：B
2．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【分析】根據(jù)終邊相同角的概念可求解.
【詳解】，
與終邊相同，所以是第一象限角．
故選：A.
高頻考點(diǎn)二：由已知角所在的象限確定某角的范圍
典型例題
例題1．（22-23高一上·甘肅天水·期末）若是第二象限角，則是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定義即可求解.
【詳解】由題意是第二象限角，
所以不妨設(shè)，
所以，
由象限角的定義可知是第四象限角.
故選：D.
例題2．（多選）（23-24高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知得出的范圍，進(jìn)而得出以及的范圍，即可得出以及終邊所在的象限，進(jìn)而得出答案.
【詳解】對(duì)于A、B，由已知可得，，
所以，.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，
則，
此時(shí)為第二象限角；
當(dāng)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，
則，
此時(shí)為第四象限角.
綜上所述，為第二或第四象限角.
所以，不能確定的正負(fù)，.故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C、D，由已知可得，，
所以，，
所以，為第一或第二象限角或終邊落在軸非負(fù)半軸.
所以，不能確定的正負(fù)，，.故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·廣東中山·階段練習(xí)）若α是第四象限角，則90o－α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【分析】根據(jù)角所在的象限判斷所求角所在象限即可.
【詳解】由題知，，，
則，在第二象限，
故選：B
2．（多選）（23-24高一上·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）若是第三象限的角，則可能是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
【答案】AC
【分析】根據(jù)角限角的定義得出角的范圍，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng).
【詳解】解：由于是第三象限的角，故，
所以，
所以.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第一象限角；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角.
所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角.
故選：AC.
高頻考點(diǎn)三：確定倍角（分角）所在象限
典型例題
例題1．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）若，角終邊所在的象限是（ ）
A．一或三B．二或四C．二或三D．三或四
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定條件，確定角所在象限，并求出其范圍，再求出的范圍即可得解.
【詳解】由，得角是第三象限角，即，
則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第二象限角，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第四象限角，
所以角終邊所在的象限是二或四.
故選：B
例題2．（多選）（23-24高一上·河北保定·期中）設(shè)為第二象限角，則可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】CD
【分析】為第二象限角，得到，得到答案.
【詳解】為第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或軸的負(fù)半軸.
故選：CD
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知為第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】ABD
【分析】根據(jù)的范圍得到的范圍，分，和，三種情況，求出答案.
【詳解】由，（），得（），
當(dāng)時(shí)，，（），為第一象限角；
當(dāng)時(shí)，，（），為第二象限角；
當(dāng)時(shí)，，（），為第四象限角.
故選：ABD
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·四川內(nèi)江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通過條件確定的范圍，再求出的范圍，進(jìn)而可得角所在象限.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以為第二象限角，即，
所以，
則的終邊所在象限為所在象限，
即的終邊在第一、二、四象限.
故選：D.
2．（多選）（23-24高一下·全國·單元測(cè)試）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】CD
【分析】根據(jù)給定條件，由的范圍，求出的范圍作答.
【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，則，
于是，顯然終邊在x軸上方，
所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.
故選：CD
3．（22-23高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根據(jù)象限角的表示方法，得到和的表示，進(jìn)而判定其象限，得到答案.
【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕?br>可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．
又由 ，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第一象限角；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第四象限角．
綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
高頻考點(diǎn)四：區(qū)域角
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，則圖中表示角的終邊所在區(qū)域正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出臨界位置的終邊，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，角的終邊落在第一象限的角平分線上，
當(dāng)，時(shí)，角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，
按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方向確定范圍可得角的終邊所在區(qū)域如選項(xiàng)B所示．
故選：B．
例題2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么 .
【答案】
【分析】先求得在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角的范圍，繼而即可求得.
【詳解】在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角為；
和.
，
故答案為：
例題3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】寫出終邊在邊界上的角，結(jié)合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內(nèi)的角，注意邊界的虛實(shí).
【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，
因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為
，
因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為
.
練透核心考點(diǎn)
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對(duì)分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可
【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，
故選：C．
2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】
根據(jù)圖形先求出終邊在角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在角的終邊所在直線上的角的集合，從而可求出角的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍
【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，
所以角的取值范圍是，
故答案為：
3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)題意，由終邊相同角的集合，結(jié)合圖像，即可得到結(jié)果.
【詳解】①
②
高頻考點(diǎn)五：終邊相同的角
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)角的終邊在直線上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況，即可求出角的集合.
【詳解】由題意知角的終邊在直線上，
故或，
即或，
故角的取值集合為.
故選：C.
例題2．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）在與弧度數(shù)為角終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角是 ．
【答案】
【分析】利用終邊相同角的集合，即可求出結(jié)果.
【詳解】與弧度數(shù)為2024角終邊相同的角為
所以絕對(duì)值最小的角是,
故答案為：.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一上·內(nèi)蒙古·期末）若角與角的終邊相同，則可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)觀察選項(xiàng)得答案.
【詳解】由已知
觀察選項(xiàng)可得只有，所以可能是.
故選：D.
2．（多選）（23-24高一上·河南·期末）已知角與的終邊相同，則角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】依題意，判斷選項(xiàng).
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)符合，選項(xiàng)不符合.
故選:.
高頻考點(diǎn)六：角度制與弧制度的相互轉(zhuǎn)化
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）將化為弧度制，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)弧度制和角度制的互化公式，即可求解.
【詳解】.
故選：B
例題2．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）將角度化為弧度： .
【答案】
【分析】
利用角度和弧度互化求解.
【詳解】.
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）化成弧度是 .
【答案】
【分析】根據(jù)弧度與角度的互化公式，即可求解.
【詳解】.
故答案為：
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)角度制與弧度制的互化公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故答案為：
高頻考點(diǎn)七：弧長(zhǎng)公式有關(guān)的計(jì)算
典型例題
例題1．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，半徑為3，則扇形的周長(zhǎng)為（ ）
A．7B．9C．10D．11
【答案】A
【分析】由弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)即可得出周長(zhǎng).
【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得弧長(zhǎng)，
所以扇形的周長(zhǎng)為，
故選：A
例題2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 .
【答案】2
【分析】
利用扇形面積和周長(zhǎng)公式，即可求解.
【詳解】
設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，
由題意知
故答案為：
例題3．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長(zhǎng)為，內(nèi)弧線的長(zhǎng)為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為 .
【答案】3
【分析】利用扇形弧長(zhǎng)與扇形的中心角的關(guān)系，求得，進(jìn)而可得該扇形的中心角的弧度數(shù).
【詳解】依題意可得弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，設(shè)扇形的中心角的弧度數(shù)為，
如圖，
則，則，即．
因?yàn)椋?，則，
所以該扇形的中心角的弧度數(shù).
故答案為：3.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）過軸上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)切線長(zhǎng)最短時(shí)，則劣弧長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出切線長(zhǎng)最短時(shí)的圓心角的大小即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到軸距離，
則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，顯然，
則，當(dāng)時(shí)，，
于是，圓心角，所以劣弧長(zhǎng).
故選：D
2．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）扇形的半徑為2，圓心角為，則圓心角的弧度數(shù)為 ；扇形的弧長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)弧度數(shù)公式，以及扇形弧長(zhǎng)公式，即可求解.
【詳解】，所以圓心角的弧度數(shù)為；扇形的弧長(zhǎng).
故答案為：；
3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知扇形的面積為，圓心角弧度數(shù)為，則其弧長(zhǎng)為 ；
【答案】6
【分析】
根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式即可求解.
【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角為，
故，
故，
故答案為：6
高頻考點(diǎn)八：扇形面積有關(guān)計(jì)算
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（ ）
A．9B．8C．4D．3
【答案】B
【分析】由弧長(zhǎng)比可得半徑比，結(jié)合扇形面積公式求解.
【詳解】設(shè)，，則，則
∴，故.
故選：B
例題2．（23-24高一上·北京東城·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則陰影區(qū)域的面積的最大值為 .
【答案】
【分析】連接，當(dāng)點(diǎn)距離直線最遠(yuǎn)時(shí)，陰影區(qū)域的面積的最大值，利用三角形的面積公式和扇形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】連接，當(dāng)點(diǎn)距離直線最遠(yuǎn)時(shí)，陰影區(qū)域的面積的最大值，根據(jù)圓的幾何特征可得此時(shí)且，如圖：
設(shè)是的終邊，則，所以，則，
又，
所以陰影區(qū)域的面積的最大值為.
故答案為：.
例題3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑．
(1)當(dāng)，求其弧所在弓形的面積．
(2)若該扇形的面積為，當(dāng)它的圓心角和半徑取何值時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)最??？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)扇形圓心角為，半徑為時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)最小，最小為.
【分析】（1）由扇形面積公式可得扇形面積，再減去三角形面積即可得所求弓形面積；
（2）由扇形面積公式，得(定值)，利用基本不等式求周長(zhǎng)即的最小值即可.
【詳解】（1）
由題意，當(dāng)時(shí)，扇形面積；
如圖，扇形中，連接，則，
所以是正三角形，則，
故所求弓形面積為；
（2）設(shè)扇形弧長(zhǎng)為，由已知扇形的面積，則，
則扇形的周長(zhǎng)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)半徑為，圓心角，該扇形的周長(zhǎng)最小，最小為.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（ ）
圖1 圖2
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再根據(jù)扇環(huán)的面積公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
所以該折扇的扇面的面積為.
故選：D
2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，面積為，周長(zhǎng)為．
(1)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最小？并求出的最小值；
(2)若，則扇形圓心角為多少弧度時(shí)，最大？并求出的最大值．
【答案】(1)，最小值為；
(2)，最大值為．
【分析】（1）利用扇形面積公式可得，則，再結(jié)合基本不等式即可求解.
（2）根據(jù)面積公式再結(jié)合二次函數(shù)求最值，即可求解.
【詳解】（1），
則．
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．
（2），．
．
當(dāng)，即時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.如圖1，這是一幅扇形玉雕壁畫，其平面圖為圖2所示的扇形環(huán)面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構(gòu)成）.已知該扇形玉雕壁畫的周長(zhǎng)為320厘米.

(1)若厘米.求該扇形玉雕壁畫的曲邊的長(zhǎng)度；
(2)若.求該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值.
【答案】(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】
（1）由題可得弧與弧的長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合條件可解；
（2）利用扇形的面積公式，大扇形面積減去小扇形面積，利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）設(shè)弧的長(zhǎng)度為厘米，弧的長(zhǎng)度為厘米.
因?yàn)椋?，所?
因?yàn)槔迕祝岳迕?
因?yàn)樵撋刃斡竦癖诋嫷闹荛L(zhǎng)為320厘米，所以，
所以，解得，即弧的長(zhǎng)度為160厘米.
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>則扇形的面積，扇形的面積，
故該扇形玉雕壁畫的扇面面積.
因?yàn)樵撋刃斡竦癖诋嫷闹荛L(zhǎng)為320厘米，所以
所以，
則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即該扇形玉雕壁畫的扇面面積的最大值為6400平方厘米.
高頻考點(diǎn)九：?jiǎn)挝粓A法與三角函數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
直接利用任意角的三角函數(shù)定義,結(jié)合正弦二倍角公式求解即可.
【詳解】
由任意角三角函數(shù)定義得：,,
故選：A.
例題2．（23-24高一上·云南昆明·期末）如圖，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，將角的邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，則 ．

【答案】
【分析】
由題意可求出，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知角的始邊與單位圓相交于點(diǎn)，
故，
將角的邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，
則
，
故答案為：
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·浙江嘉興·期中）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可得到的值.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，
所以，
所以，
故選B.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)已知角終邊上一點(diǎn)求其三角函數(shù)值的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題目.
2．（23-24高三上·河北衡水·期末）將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸的銳角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后，交單位圓于點(diǎn)，那么的值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及和角公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由點(diǎn)在單位圓上，則，解得，
由銳角，即，則，故，
.
故答案為：
高頻考點(diǎn)十：終邊上任意點(diǎn)法與三角函數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求出正弦和余弦，結(jié)合半角公式求出答案.
【詳解】由三角函數(shù)定義得
所以.
故選：A.
例題2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，，再由二倍角公式代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以，，
所以
.
故選：C
例題3．（2024高一·上海·專題練習(xí)）已知角的終邊上有一點(diǎn)，求的各三角函數(shù)值.
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合任意角的三角函數(shù)定義即可求解.
【詳解】由已知，，，因?yàn)椋?br>所以 ；
所以，，，
，，.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解的正余弦計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，故?
故.
故選：A
2．（2024·陜西咸陽·二模）已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
借助三角函數(shù)定義與二倍角公式計(jì)算即可得.
【詳解】由角的經(jīng)過點(diǎn)，故，
則.
故選：C.
3．（2024·甘肅·一模）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，所以，
所以.
故選：C
高頻考點(diǎn)十一：三角函數(shù)線
典型例題
例題1．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）若，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)扇形的面積為，由三角函數(shù)線結(jié)合得到答案.
【詳解】畫出的三角函數(shù)線，如下：
則，，，
設(shè)扇形的面積為，
則，，
又，故，
所以，，
因?yàn)?，所?
所以.
故選：A
例題2．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中大小關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】在單位圓中分別做出角和的正弦線、余弦線以及正切線，比較它們的大小即可得出答案.
【詳解】如圖，在單位圓中作出角的正弦線DP、余弦線OD、正切線AT，
角的正弦線、余弦線、正切線，
由于，因此和的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，
由圖可得，，
，
∴，∴A，C，D均錯(cuò)誤，B正確．
故選：B
例題3．（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】出單位圓，交角的終邊于，過作軸，交軸于，過點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊（或終邊的反向延長(zhǎng)線）于，則正弦線為、余弦線為、正切線為．
【詳解】（1）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（2）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（3）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；
（4）作出單位圓，交角的終邊于，
過作軸，交軸于，
過點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：

則角的正弦線為、余弦線為、正切線為．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正余弦、正切函數(shù)的定義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷即可.
【詳解】如圖所示，
在單位圓中，設(shè)，則，，，
由圖形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以為分界線，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即；綜上在第一象限無解；
由圖形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限無解；
由圖形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限無解；
有圖形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解為，
綜上在的解集為，
故選：C
2．（2023高一上·江蘇·專題練習(xí)）依據(jù)三角函數(shù)線作出如下四個(gè)判斷：
①；②；③；④．
其中判斷正確的有 （填序號(hào)）．
【答案】②④
【分析】根據(jù)題意，作出三角函數(shù)線，結(jié)合三角函數(shù)線，即可得到函數(shù)的大小關(guān)系，即可求解.
【詳解】①中，如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)線，可得的函數(shù)值為正，函數(shù)值為負(fù)，
可得，所以①不正確；

②中，如圖所示，依據(jù)三角函數(shù)線，可得和的三角函數(shù)線長(zhǎng)度相等，
可得，所以②正確；
③中，如圖所示，因?yàn)?，依?jù)三角函數(shù)線，可得，
且的正切線大于的正切線的長(zhǎng)度，可得，所以③不正確；

④中，如圖所示，依據(jù)三角函數(shù)線，可得，且的正弦線大于的正弦線，所以，所以④正確.
故選：②④.

3．（23-24高一·江蘇·課時(shí)練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】作出單位圓，角的終邊與單位圓交于，過作軸，交軸于，角的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線交過且平行于軸的直線交于點(diǎn)，則是正弦線，是余弦線，是正切線．
【詳解】（1）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點(diǎn)M，
過點(diǎn)作軸，交角的終邊于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（2）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點(diǎn)M，
過點(diǎn)作軸，交角的終邊反向延長(zhǎng)線于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（3）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點(diǎn)M，
過點(diǎn)作軸，交角的終邊于點(diǎn)T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；
（4）因?yàn)?，所以角與角的終邊相同，
作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點(diǎn)M，
過點(diǎn)作軸，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于T，如下圖所示，
則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.
高頻考點(diǎn)十二：解三角不等式
典型例題
例題1．（23-24高三·全國·課時(shí)練習(xí)）使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)線解不等式得解.
【詳解】如圖所示

當(dāng)和時(shí)，，
故使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是.
故選A
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)線的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
例題2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）不等式在區(qū)間上的解集為 ．
【答案】
【分析】利用余弦函數(shù)的定義及三角函數(shù)線即得.
【詳解】如圖所示，由于，
所以在上的解集為．
故答案為：
3．（23-24高一下·上海·假期作業(yè)）（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）畫出畫出單位圓中三角函數(shù)線，結(jié)合圖象可得.
（2）畫出畫出單位圓中三角函數(shù)線，結(jié)合圖象可得或.
【詳解】（1）由可知，角x對(duì)應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長(zhǎng)度為，
作示意圖，如圖所示，

可知角的終邊可能是，也可能是，
又因?yàn)?，所以或?br>再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，
因此，滿足條件的角的取值范圍.
（2）畫出單位圓中三角函數(shù)線，如圖．
由圖可知角的范圍是：
或.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高一下·廣西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求解．
【詳解】由，則，
又，所以所求集合為．
故選：A．
2．（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)）若，證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用正切線與余弦線的定義，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊即可得證；
（2）利用三角函數(shù)線的定義，結(jié)合三角形與扇形的面積大小即可得證.
【詳解】（1）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出角，角的正弦線和余弦線.

由，為直角三角形，且，，，
【點(diǎn)睛】本題考查用三角函數(shù)線解三角不等式，可以根據(jù)圖形寫出一個(gè)周期內(nèi)的解集，然后再加上周期．
第四部分：新定義題
1．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合相對(duì)的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相對(duì)的“余弦方差”；
(2)求證：集合，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值，求出、．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
(3)，或，
【分析】
（1）根據(jù)余弦方差的定義代入即可求解，
（2）根據(jù)余弦差定義可得化簡(jiǎn)分子，根據(jù)和差角公式以及同角平方關(guān)系即可求解，
（3）根據(jù)余弦差定義列出關(guān)系式，利用和差角公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)題意可得，即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）
依題意得，；
（2）
證明：由“余弦方差”定義得：
，
則分子
，
為定值，與的取值無關(guān)．
（3）
分子
．
要使是一個(gè)與無關(guān)的定值，
則，
，
與終邊關(guān)于軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，得與終邊只能關(guān)于軸對(duì)稱，
又
則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，．
故，或，
故，或，時(shí)，相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無關(guān)的定值．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用公式將所給的集合代入運(yùn)算，利用和差角公式，二倍角公式化簡(jiǎn).
角
不存在
三角函數(shù)線


正弦線：
余弦線：
正切線：
角度制
弧度制
象限角
集合
區(qū)間
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角終邊所在位置
角度制
弧度制
角終邊在軸非負(fù)半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸非負(fù)半軸
角終邊在軸非正半軸
角終邊在軸上
角終邊在軸上
角終邊在坐標(biāo)軸上