一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1.集合的有關(guān)概念
1．集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性．
2．集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
3．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?．
4．五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運(yùn)算
【常用結(jié)論】
（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
二、題型分類精講
題型一 集合的含義與表示
策略方法 解決與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的一般思路
【典例1】已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.故選：A
【典例2】已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【分析】根據(jù)，采用列舉法表示集合B 即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，
所以集合B中共有6個(gè)元素，故選：C.
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
2．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，，得；
當(dāng)時(shí)，則.
故實(shí)數(shù)x的取值集合為.
故選：B
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合B中所含元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根據(jù)的值分類討論，即可求出集合B中所含元素個(gè)數(shù)．
【詳解】當(dāng)時(shí)，有，6個(gè)元素；
當(dāng)時(shí)，有，5個(gè)元素；
當(dāng)時(shí)，有，4個(gè)元素；
當(dāng)時(shí)，有，3個(gè)元素；
當(dāng)時(shí)，有，2個(gè)元素；
當(dāng)時(shí)，有，1個(gè)元素，
綜上，一共有21個(gè)元素．
故選：B．
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到答案.
【詳解】聯(lián)立，即，解得：或，
即，
故的元素個(gè)數(shù)為3.
故選：C
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)，采用列舉法表示集合B 即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，
所以集合B中共有6個(gè)元素，
故選：C.
二、填空題
7．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)榧现械脑?，，，所以?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．
根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．
故答案為：4．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>顯然，故，則；
此時(shí)兩集合分別是，
則，解得或.
當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，故舍去；
當(dāng)時(shí)，滿足題意.
所以
故答案為：.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則用列舉法表示集合為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，則，對(duì)代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo)．
【詳解】∵，則可得，則
又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，
∴
故答案為：．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)是______.
【答案】0
【分析】分析集合與中的元素，可知，進(jìn)而得解.
【詳解】因?yàn)橹械脑厥怯行驅(qū)崝?shù)對(duì)，
而中的元素是實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素，即，
所以的元素個(gè)數(shù)為0.
故答案為：0
題型二 集合間的基本關(guān)系
策略方法 判斷集合關(guān)系的三種方法
【典例1】已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.
【詳解】集合，.
要使，只需，解得：.故選：A
【典例2】已知全集，，則集合B的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．63個(gè)B．64個(gè)C．127個(gè)D．128個(gè)
【分析】根據(jù)補(bǔ)集關(guān)系，先得到與集合B互補(bǔ)的結(jié)論，再計(jì)算出集合B元素個(gè)數(shù)n，最后根據(jù)集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可.
【詳解】根據(jù)可得，
，，
，故合B的真子集個(gè)數(shù)為故選:C
【題型訓(xùn)練】
1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來(lái)即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以集合可以為：，
共8個(gè)，
故選：C.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┮阎?，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)，求實(shí)數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.
【詳解】集合，
又，，
所以，故實(shí)數(shù)a的取值集合為，
故選：C.
3．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.
【詳解】由題意得，解得，故，
因?yàn)?，所?
故選：A
4．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.
故選：A
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.
故選：B
6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則的非空子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】A
【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算和子集的定義求解.
【詳解】因?yàn)?，又?br>所以，
所以的元素個(gè)數(shù)為3，其非空子集有7個(gè)．
故選:A．
7．（2023·廣西桂林·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)
A．3B．4C．7D．15
【答案】A
【分析】通過(guò)解方程組，結(jié)合集合交集的定義、真子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，或，所以，
因此集合的真子集的個(gè)數(shù)為，
故選：A
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】聯(lián)立方程組確定，進(jìn)而確定其子集的個(gè)數(shù).
【詳解】由，解得，即，
共個(gè)元素，
又，
即為的子集，
所以的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選：C.
二、填空題
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則實(shí)數(shù)a的值是________
【答案】
【分析】根據(jù)，列出元素之間的關(guān)系，即可求解實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，，
因?yàn)?，?br>所以，解得.
當(dāng)時(shí)，，滿足要求.
所以.
故答案為：.
10．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是___________．
【答案】
【分析】先確定集合中的元素，然后結(jié)合子集的概念，分，兩種情況討論即可得出結(jié)果．
【詳解】集合，，
當(dāng)，即時(shí)，顯然滿足條件；
當(dāng)時(shí)，即，則，
因?yàn)?，所以或，即或，解得或?br>綜上，實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是．
故答案為：．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，，若，則的取值集合為_(kāi)______
【答案】
【分析】由題意可知，分、兩種情況討論，分析出方程的解的情況，綜合可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
①若，則，符合題意；
②若，則，則或，解得或.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知集合，，集合，則集合C的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________．
【答案】16
【分析】分別求出函數(shù)的值域、定義域化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集的定義求出集合C即可作答.
【詳解】集合，，
則集合，
所以集合C的子集的個(gè)數(shù)為．
故答案為：16
13．（2022秋·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）集合且的所有非空真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】14
【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)子集的概念即得.
【詳解】因?yàn)榍遥?br>所以該集合的所有非空真子集的個(gè)數(shù)為．
故答案為：14.
題型三 集合的基本運(yùn)算
策略方法 集合運(yùn)算三步驟
【典例1】已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B，再去求即可解決.
【詳解】
則故選：C
【典例2】已知集合，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)集合與集合的交集和并集運(yùn)算結(jié)果，確定集合與集合中元素，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解參數(shù)即可.
【詳解】，，得，解得.
故.又因?yàn)?，所以?
代入得，解得：，綜上可得：.故選：C.
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)?，故，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).
【詳解】，
故選：D.
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
4．（湖北省宜昌市協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B，然后利用交集概念運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>又，所以.
故選：C.
5．（西藏拉薩市2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化簡(jiǎn)集合A，進(jìn)而利用交集定義求得.
【詳解】由題意知，又，
所以.
故選：D.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】應(yīng)用并運(yùn)算求，即可得元素個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個(gè).
故選：B
7．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)，再由集合并集的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：C.
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合并集的定義求解即可.
【詳解】由解得，所以，
由可得，解得，所以，
所以，
故選：C
9．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知全集，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再求補(bǔ)集可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：C.
10．（2023春·湖南·高二瀏陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，求出，從而得到補(bǔ)集和交集.
【詳解】∵，
又，
∴，
∴.
故選：A．
11．（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】全集為U，集合，，,圖中陰影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是．
故選：D．
12．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）設(shè)集合，，能正確表示圖中陰影部分的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，結(jié)合題意及集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，
根據(jù)圖中陰影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即為.
故選：B.
13．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.
【詳解】，
選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
14．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為，，再根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以或?br>所以.
故選：B.
二、填空題
15．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）已知，，則__________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.
【詳解】等價(jià)于，解得，即.
則.
故答案為：
16．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知集合，，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)先解不等式求集合，再應(yīng)用交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?
所以.
故答案為:.
17．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，則______.
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)并集的定義運(yùn)算即得.
【詳解】由題可知，
由，可得，解得，
所以，
所以.
故答案為：.
18．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，，則___________．
【答案】
【分析】先求解B集合，再計(jì)算
【詳解】，．
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則____________.
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得集合，進(jìn)而可得其補(bǔ)集.
【詳解】由，解不等式，且，所以，
故，，
故答案為：.
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谥校┮阎螦＝{y|y＝2x}，全集U＝R，則________．
【答案】
【分析】利用補(bǔ)集運(yùn)算即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則________．
【答案】
【分析】分別求出集合，再根據(jù)交并補(bǔ)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】由集合解得，由集合解得，所以，所以.
故答案為：
22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則______
【答案】
【分析】由題意分別求出集合，然后求即可.
【詳解】由，
故，
故答案為：.
23．（2022秋·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】解指數(shù)不等式求得集合B，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，解?br>所以，，
所以圖中陰影部分表示的集合為
故答案為：.
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）建黨百年之際，影片《》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.
【答案】
【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
25．（2022秋·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，比賽項(xiàng)目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計(jì)高一年級(jí)有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽，有人參加球類比賽.參加球類比賽的同學(xué)中有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽；同時(shí)參加田徑比賽和游泳比賽的有人；同時(shí)參加三項(xiàng)比賽的有人.則高一年級(jí)參加比賽的同學(xué)有___________.
【答案】
【分析】設(shè)集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，作出韋恩圖，確定參加各類比賽的學(xué)生人數(shù)，即可得解.
【詳解】設(shè)集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，
由圖可知，高一年級(jí)參加比賽的同學(xué)人數(shù)為.
故答案為：.
題型四 集合的新定義
策略方法 解決與集合的新定義有關(guān)問(wèn)題的一般思路
1.集合的新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化。
2.集合的新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解。
【典例1】若，，定義且（ ）
A．或B．或
C．D．
【分析】求出和，根據(jù)新定義可得結(jié)論．
【詳解】，，
，，
所以或．故選：B．
【題型訓(xùn)練】
1．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運(yùn)算，，若全集，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得，根據(jù)集合運(yùn)算新定義，即可求得答案.
【詳解】由題意得，或，
則，
故選：C
2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合集合交集的定義、真子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題中定義可知，而，
所以，因此真子集個(gè)數(shù)為，
故選：C
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義，集合，，則（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】求出集合A中元素范圍，再根據(jù)的定義求解即可.
【詳解】，
由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后構(gòu)成的集合，
或.
故選：D.
4．（2023·全國(guó)·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合新定義可知，求得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.
【詳解】結(jié)合新定義可知，又，
所以．
故選：A
5．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的特征列出集合與的前若干項(xiàng)，找出集合中元素的特征，進(jìn)而即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以．相當(dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項(xiàng)包含了15個(gè)這樣的數(shù)，所以．
則，
故選：C.
6．（2023·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)集合滿足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個(gè)自然數(shù)最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，判斷集合元素的個(gè)數(shù)的最多情況，再對(duì)部分元素進(jìn)行調(diào)整即可得答案.
【詳解】對(duì)于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個(gè)元素，
又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個(gè)數(shù)最多不能超過(guò)10個(gè)，
故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個(gè)元素，
例如.
故選：B.
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義集合運(yùn)算，若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，從而可得或，或，再根據(jù)新定義得，再代入驗(yàn)證即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入驗(yàn)證，
故.
故選：D.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)滿足：對(duì)任意，都存在，使得，稱為集合X的聚點(diǎn)，則在下列集合中：①；②；③；④，以0為聚點(diǎn)的集合有（ ）個(gè).
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)集合聚點(diǎn)的定義，逐一分析每個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，從而得到答案.
【詳解】對(duì)于①集合，對(duì)任意的，都存在 （實(shí)際上任意比α小得數(shù)都可以），
使得 ，∴0是集合的聚點(diǎn)；
對(duì)于②，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)，比如，
此時(shí)對(duì)任意的，都有，
也就是說(shuō)不可能，從而0不是的聚點(diǎn)；
對(duì)于③，對(duì)任意的，都存在，即，
使 ，故0是集合的聚點(diǎn)；
對(duì)于④，，故隨著n的增大而增大，
故的最小值為，故當(dāng)時(shí)，即不存在，使得，
故0不是的聚點(diǎn)；
故以0為聚點(diǎn)的集合有2個(gè)，
故選：B
二、多選題
9．（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校考模擬預(yù)測(cè)）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)史稱戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則滿足戴德金分割，
此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故B正確；
對(duì)于C，若M有一個(gè)最大元素，設(shè)為a，N有一個(gè)最小元素，設(shè)為b，則，
則，而內(nèi)也有有理數(shù)，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，
則滿足戴德金分割，此時(shí)M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素，故D正確，
故選：BD
10．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：（1）；（2），若則. 則下論斷正確的是（ ）
A．中必有一個(gè)為0
B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個(gè)為1
C．若且，則
D．，使得
【答案】BCD
【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯(cuò)誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過(guò)推理得到C正確；在C選項(xiàng)的分析基礎(chǔ)上，得到若，此時(shí)求出，，使得，若，推理出中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.
【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，
由（2）得：，故，A錯(cuò)誤，B正確；
由（1）知：，故等于中的一個(gè)，
不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，故?br>下面證明C正確，
因?yàn)椋?，則，由（1）知：，滿足要求，
同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，
若，因?yàn)椋?br>若，則，滿足要求，
若，則中某個(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，
由（1）知：，又因?yàn)?，，所以，，故?br>同理可得，所以相乘得，解得：，
因?yàn)椋?，故取，滿足要求，
綜上：若且，則，C正確；
下面證明D正確；
由（1）知：，故等于中的一個(gè)，
不妨設(shè)，因?yàn)椋?，故?br>若，則，因?yàn)橹心硞€(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，
根據(jù)C選項(xiàng)的分析可知：，，，
則，故，故，，若，，
此時(shí)，，使得，D正確；
若，則，，由（1）知：，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
所以，故，同理可得：，
因?yàn)榈钠椒礁星抑挥?個(gè)，
所以中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，
故不存在即的情況，
故，使得，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：集合新定義問(wèn)題，命題新穎，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合成“偏食”.對(duì)于集合，，若與構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】對(duì)分三種情況討論，再結(jié)合“全食”或“偏食”的概念分析得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，,所以與構(gòu)成“全食”；
當(dāng)時(shí)，，如果，與構(gòu)成“全食”；如果，，此時(shí)與構(gòu)成 “偏食”；
當(dāng)時(shí)，如果則，，，所以與構(gòu)成“全食”；如果則，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
故選：BCD
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意a，，都有；（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算，其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是（ ）
A．，為實(shí)數(shù)的乘法B．，為整數(shù)的加法
C．，為整數(shù)的乘法D．，為多項(xiàng)式的加法
【答案】AB
【分析】根據(jù)是關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”的定義，逐一分析四個(gè)集合及運(yùn)算是否滿足定義，可得答案．
【詳解】對(duì)于，，為實(shí)數(shù)的乘法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，正確，
對(duì)于，非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，正確，
對(duì)于，偶數(shù)，為整數(shù)的乘法，若存在滿足（2），則為奇數(shù)，與已知矛盾，故不是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，錯(cuò)誤，
對(duì)于，，為多項(xiàng)式的加法．兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次三項(xiàng)式，不滿足（1），故不是關(guān)于運(yùn)算⊕的融洽集，錯(cuò)誤，
故選：．
三、填空題
13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于非空集合，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：①?A；②，則稱為的一個(gè)“保均值真子集”，據(jù)此，集合的“保均值真子集”有__個(gè)．
【答案】
【分析】求出，由此利用列舉法能求出集合的“保均值真子集”的個(gè)數(shù)．
【詳解】因?yàn)榧?，則，
所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、
，，共個(gè).
故答案為：.
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合中任意兩個(gè)元素的和差積商的運(yùn)算結(jié)果都在中，則稱是封閉集合.下列集合：（1） （2） （3）（4）中.封閉集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)____.
【答案】2
【分析】由題意結(jié)合封閉集合的定義逐一考查所給的集合是否滿足題中的定義即可確定封閉集合的個(gè)數(shù).
【詳解】?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)的和差積商仍然是實(shí)數(shù)，故是一個(gè)封閉集合；
兩個(gè)有理數(shù)的和差積商仍然是有理數(shù)，故是一個(gè)封閉集合；
兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積商不一定是無(wú)理數(shù)，例如，而 ，故不是封閉集合；
令，注意到，而，故 不是封閉集合；
綜上可得，封閉集合的個(gè)數(shù)為2.
故答案為：2.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定數(shù)集 ，若對(duì)于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是______：
①集合是閉集合；
②正整數(shù)集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
【答案】③
【分析】新定義，利用新定義的運(yùn)算驗(yàn)證選項(xiàng)，判斷是否滿足閉集合.
【詳解】對(duì)于①，，，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)檎麛?shù)減正整數(shù)可能不為正整數(shù)，所以錯(cuò)誤，
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，所以集合是閉集合，所以正確；
對(duì)于④, 設(shè)，
由③可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，所以錯(cuò)誤．
故答案為：③.
16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合 ， 設(shè) 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的個(gè)數(shù)， 則 _____.
【答案】
【分析】根據(jù)的定義進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】表示集合所含元素的個(gè)數(shù)，
其中，，
整除的有共個(gè).
整除的：
（1）整除的有個(gè)；
（2）整除的有個(gè)；
（3）整除的有個(gè).
重復(fù)的有共個(gè).
所以.
故答案為：
集合的含義及其表示
集合間的基本關(guān)系
集合的交并補(bǔ)運(yùn)算及圖的應(yīng)用
集合新定義問(wèn)題
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
符號(hào)表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ?A}

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