第1課時
【舊知再現(xiàn)】
1．三角形相似判定方法：有兩個角__相等__的三角形相似．
2．相似三角形的對應邊__成比例__．
【新知初探】
閱讀教材P125—P126完成下面問題：
1．投影現(xiàn)象：物體在__光線__的照射下，會在地面或其他平面上留下它的__影子__，這就是投影現(xiàn)象．__影子__所在的平面稱為__投影面__．
2．中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從__一個點____發(fā)出的，這樣的光線所形成的__投影____稱為中心投影．
3．點光的確定：過物體的__頂端____與影子的__頂端____作一條直線即光線，這樣兩條光線的__交點____，就是點光．
【圖表導思】
1．光可以看出是什么線的交點？
【解析】光線．
2．物體一樣高影子一樣長嗎？物體的影長不同，它們的高度也不同嗎？
【解析】不一定，不一定．
3．計算影子的長度，利用的數(shù)學知識是什么？
【解析】相似三角形對應邊成比例．
中心投影
【教材P126例1拓展】——中心投影的應用
如圖，學校平房的窗外有一路燈AB，路燈光能通過窗戶CD照到平房內EF處，經過測量得：窗戶距地面高OD＝1.5 m，窗戶高度DC＝0.8 m，OE＝1 m，OF＝3 m，求路燈AB的高．
【完善解答】
連接DC，設路燈AB高為x m，BO的長度為y m，∵AB∥OC，∴∠B＝∠DOE，∠DEO＝∠AEB，∠AFB＝∠CFO，∴△ABE∽__△DOE__，
△ABF∽__△COF__，……………………………………相似三角形的判定
∴ eq \f(AB,DO) ＝__ eq \f(BE,OE) __， eq \f(AB,CO) ＝__ eq \f(BF,OF) __，
……………………………………………………相似三角形對應邊成比例
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,1.5)＝ \f(1＋y,1) ，,\f(x,2.3)＝ \f(3＋y,3) ，)) ………………………………………………列方程組
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ \f(69,22) ，,y＝ \f(12,11) ，)) ………………………………………………解方程組
答：路燈AB的高度為__ eq \f(69,22) __ m．………………………………作答
【歸納提升】
利用三角形相似解決中心投影問題的思路
變式一：鞏固 (2021·深圳質檢)如圖，小欣站在燈光下，投在地面上的身影AB＝2.4 m，蹲下來，則身影AC＝1.05 m，已知小欣的身高AD＝1.6 m，蹲下時的高度等于站立高度的一半，求燈離地面的高度PH.
【解析】∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC(M是AD的中點)，
∴AB∶HB＝AD∶PH，AC∶AM＝HC∶PH，
即2.4∶(2.4＋AH)＝1.6∶PH，1.05∶0.8＝(1.05＋HA)∶PH，
解得：PH＝7.2 m.
即燈離地面的高度為7.2 m．
變式二：提升 (2021·惠州質檢)如圖，王琳同學在晚上由路燈A走向路燈B，當他行到P處時發(fā)現(xiàn)，他在路燈B下的影長為2米，且恰好位于路燈A的正下方，接著他又走了6.5米到Q處，此時他在路燈A下的影子恰好位于路燈B的正下方(已知王琳身高1.8米，路燈B高9米).
(1)標出王琳站在P處在路燈B下的影子；
(2)計算王琳站在Q處在路燈A下的影長；
(3)計算路燈A的高度．
【解析】(1)線段CP為王琳站在P處在路燈B下的影子(圖略).
(2)由題意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴ eq \f(EP,BD) ＝ eq \f(CP,CD) ，
∴ eq \f(1.8,9) ＝ eq \f(2,2＋6.5＋QD) ，
解得：QD＝1.5米．
(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，
∴ eq \f(FQ,AC) ＝ eq \f(QD,CD) ，∴ eq \f(1.8,AC) ＝ eq \f(1.5,1.5＋6.5＋2) ，
解得：AC＝12米．
答：路燈A的高度為12米．
中心投影中影子的變化規(guī)律
【教材P126“議一議”補充】——中心投影的性質
如圖，某小區(qū)內有一條筆直的小路．路的旁邊有一盞路燈，晚上小紅由A處走到B處．表示她在燈光照射下的影長l與行走的路程S之間關系的大致圖象是(B)
【歸納提升】
中心投影的“三個特點”
1．等高物體垂直地面放置
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1）離點光源越近，影子越 短 ,（2）離點光源越遠，影子越 長 ))
2．等長物體平行地面放置
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1）離點光源越近，影子越 長 ,（2）離點光源越遠，影子越 短 ，但不會小于物體本身,的長度))
3．點光、物體邊緣的點及其在物體影子上的對應點在同一條__直線__上．
變式一：鞏固 小陽和小明兩人從遠處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽在前，小明在后，兩人之間的距離始終與小陽的影長相等．在這種情況下，他們兩人之間的距離(D)
A．始終不變 B．越來越遠
C．時近時遠 D．越來越近
變式二：提升 (2021·太原質檢)如圖，一人在兩等高的路燈之間走動，GB為人AB在路燈EF照射下的影子，BH為人AB在路燈CD照射下的影子．當人從點C走向點E時兩段影子之和GH的變化趨勢是(C)
A．先變長后變短 B．先變短后變長
C．不變 D．先變短后變長再變短
【一題多變】(貌似神異)
1. (2021·鄂州質檢)如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．
(1)請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子．
(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子長AC＝1.4 m，且他到路燈的距離AD＝2.1 m，求燈泡的高．
【解析】(1)如圖，點O為燈泡所在的位置，
線段FH為小亮在燈光下形成的影子．
(2)由已知可得， eq \f(AB,OD) ＝ eq \f(CA,CD) ，
∴ eq \f(1.6,OD) ＝ eq \f(1.4,1.4＋2.1) ，∴OD＝4.∴燈泡的高為4 m．
2．(2021·襄陽質檢)如圖所示，甲物體高4米，影長3米，乙物體高2米，影長4米，兩物體相距5米．
(1)在圖中畫出燈的位置，并畫出丙物體的影子．
(2)若燈桿，甲、乙都與地面垂直并且在同一直線上，試求出燈的高度．
【解析】(1)點O為燈的位置，QF為丙物體的影子．
(2)作OM⊥QH，設OM＝x，BM＝y(tǒng)，
由△GAB∽△GOM，∴ eq \f(AB,OM) ＝ eq \f(GB,GM) ，即： eq \f(4,x) ＝ eq \f(3,3＋y) ，①
由△CDH∽△OMH，∴ eq \f(CD,OM) ＝ eq \f(DH,HM) ，
即： eq \f(2,x) ＝ eq \f(4,4＋5＋y) ，②
由①②得，x＝4.8，y＝0.6.
答：燈的高度為4.8米．
3.高高的路燈掛在路邊的上方，高傲而明亮，小明拿著一根2米長的竹竿，想量一量路燈的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路燈旁的一個地方，豎起竹竿(即AE)，這時，他量了一下竹竿的影長(AC)正好是1米，他沿著影子的方向走，向遠處走出兩根竹竿的長度(即AB＝4米)，他又豎起竹竿，這時竹竿的影長正好是一根竹竿的長度(即BD＝2米).此時，小明抬頭瞧瞧路燈，若有所思地說：“噢，我知道路燈有多高了！”同學們，請你和小明一起解答這個問題：
(1)在圖中作出路燈O的位置，并作OP⊥l于P.
(2)求出路燈O的高度，并說明理由．
【解析】(1)
(2)由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，
所以，DP＝OP＝燈高，
△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，
∴△CEA∽△COP， eq \f(CA,EA) ＝ eq \f(CP,OP) ，
設AP＝x，OP＝h，則 eq \f(1,2) ＝ eq \f(1＋x,h) ①
DP＝OP表達為2＋4＋x＝h②，
聯(lián)立①②兩式得：x＝4，h＝10，∴路燈有10米高．
思想體現(xiàn)——分類討論思想
【應用】在物體位置不確定的情況下，常常需要對物體的位置進行分類討論，進而結合已知條件求出影長值．
【典例】 (2021·長治質檢)如圖，夜晚，小亮從點A出發(fā)，經過路燈C的正下方點D，沿直線走到點B停止，他的影長y隨他與點A之間的距離x的變化而變化．已知小亮的身高為1.6 m，路燈C與地面的距離CD為4.8 m，AD＝BD＝60 m，求出y與x之間的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍．
【解析】見全解全析
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