\l "_Tc179467816" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc179467816 \h 2
\l "_Tc179467817" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc179467817 \h 3
\l "_Tc179467818" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc179467818 \h 4
\l "_Tc179467819" 知識點(diǎn)1：離散型隨機(jī)變量的分布列 PAGEREF _Tc179467819 \h 4
\l "_Tc179467820" 知識點(diǎn)2：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 PAGEREF _Tc179467820 \h 5
\l "_Tc179467821" 題型一：離散型隨機(jī)變量 PAGEREF _Tc179467821 \h 7
\l "_Tc179467822" 題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列 PAGEREF _Tc179467822 \h 8
\l "_Tc179467823" 題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) PAGEREF _Tc179467823 \h 9
\l "_Tc179467824" 題型四：離散型隨機(jī)變量的均值 PAGEREF _Tc179467824 \h 10
\l "_Tc179467825" 題型五：離散型隨機(jī)變量的方差 PAGEREF _Tc179467825 \h 12
\l "_Tc179467826" 題型六：決策問題 PAGEREF _Tc179467826 \h 15
\l "_Tc179467827" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc179467827 \h 19
\l "_Tc179467828" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc179467828 \h 20
\l "_Tc179467829" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc179467829 \h 21
\l "_Tc179467830" 易錯(cuò)點(diǎn)：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)用錯(cuò) PAGEREF _Tc179467830 \h 21
\l "_Tc179467831" 答題模板：求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征 PAGEREF _Tc179467831 \h 22
知識點(diǎn)1：離散型隨機(jī)變量的分布列
1、隨機(jī)變量
在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．
（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．
（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1），；（2）．
注意：
①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．
②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
【診斷自測】（多選題）已知隨機(jī)變量的分布列如下表：
若，則（ ）
A．B．C．D．
知識點(diǎn)2：離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；
（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．
2、均值的性質(zhì)
（1）（為常數(shù)）．
（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨(dú)立，則．
3、方差
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；
（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．
4、方差的性質(zhì)
（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（2）方差公式的變形：．
【診斷自測】2024年7月26日第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會在法國巴黎開幕，為了保證奧運(yùn)賽事的順利組織和運(yùn)行，以及做好文化交流、信息咨詢、觀眾引導(dǎo)等多方面的工作，每項(xiàng)比賽都需要若干名志愿者參加服務(wù)，每名志愿者可服務(wù)多個(gè)項(xiàng)目.8月7日100米跨欄、200米、400米、800米、1500米、5000米比賽在法蘭西體育場舉行.
(1)志愿者湯姆可以在以上6個(gè)項(xiàng)目中選擇3個(gè)參加服務(wù)，求湯姆在選擇200米服務(wù)的條件下，選擇1500米服務(wù)的概率；
(2)為了調(diào)查志愿者參加服務(wù)的情況，從僅參加1個(gè)項(xiàng)目的志愿者中抽取了10名同學(xué)，其中6名參加5000米服務(wù)，4名參加800米服務(wù).現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中參加800米服務(wù)的人數(shù)記作，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

題型一：離散型隨機(jī)變量
【典例1-1】一個(gè)袋中有4個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，則隨機(jī)變量可能為（ ）
A．所取球的個(gè)數(shù)
B．其中含紅球的個(gè)數(shù)
C．所取白球與紅球的總數(shù)
D．袋中球的總數(shù)
【典例1-2】一串鑰匙有6把，只有一把能打開鎖，依次試驗(yàn)，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)的可能取值為（ ）
A．1，2，3，…，6B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5D．1，2，3，…，5
【方法技巧】
離散型隨機(jī)變量判斷方法總結(jié)：關(guān)鍵在于隨機(jī)變量的所有取值是否可以一一列出。若隨機(jī)變量取值有限個(gè)或可列無窮多個(gè)，則為離散型隨機(jī)變量.
【變式1-1】在一次比賽中，需回答三個(gè)問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得分，回答不正確得分，則選手甲回答這三個(gè)問題的總得分的所有可能取值的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-2】下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：
①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；
②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；
③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；
④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．
其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-3】某袋中裝有大小相同的10個(gè)紅球，5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，若取到黑球，則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?，若抽取的次?shù)為X，則表示“放回5個(gè)球”的事件為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-4】袋中有2個(gè)黑球、5個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是（ ）
A．取到的球的個(gè)數(shù)B．取到紅球的個(gè)數(shù)
C．至少取到一個(gè)紅球D．至少取到一個(gè)紅球的概率
【變式1-5】某商場進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲.每次游戲可擲7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續(xù)擲中2次額外加1分，連續(xù)擲中3次額外加2分，以此類推，連續(xù)擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，則小明在此次游戲中得分的可能取值有（ ）種
A．10B．11C．13D．14
題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列
【典例2-1】數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)的分布列 ．
【典例2-2】假如一段樓梯有11個(gè)臺階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個(gè)或2個(gè)臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是 ．
【方法技巧】
求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計(jì)算
計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗(yàn)概率之和是否為.
（4）求解
根據(jù)均值、方差公式求解其值.
【變式2-1】一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的分布列是 ．
【變式2-2】將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是 ．
【變式2-3】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分布列是 ．
題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
【典例3-1】已知隨機(jī)變量的概率分布為，則 .
【典例3-2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：
則 ．
【方法技巧】
離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；
（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據(jù)性質(zhì)及，判斷所求的分布列是否正確．
【變式3-1】設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則 ．
【變式3-2】設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為
則常數(shù) ．
【變式3-3】設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③若為等差數(shù)列，則；
④的通項(xiàng)公式可能為．
其由所有正確命題的序號是 ．
【變式3-4】（2024·高三·江蘇·期末）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異.若離散型隨機(jī)變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是 .
題型四：離散型隨機(jī)變量的均值
【典例4-1】（2024·高三·上?！卧獪y試）已知集合，，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則隨機(jī)變量的期望為 ．
【典例4-2】口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望 .
【方法技巧】
計(jì)算各可能取值與其概率的乘積之和。
【變式4-1】如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)O處出發(fā)，每次等可能地向左或者向右移動(dòng)一個(gè)單位.

(1)求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)5次后移動(dòng)到1的位置的概率；
(2)設(shè)移動(dòng)5次中向右移動(dòng)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.
【變式4-2】（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．若比賽最多進(jìn)行5局，則比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的期望的最大值為 ．
【變式4-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖：一張的棋盤，橫行編號：豎排編號.一顆棋子目前位于棋盤的處，它的移動(dòng)規(guī)則是：每次移動(dòng)到與自身所在格不相鄰的異色格中.例如該棋子第一次移動(dòng)可以從移動(dòng)到或.棋子每次移動(dòng)到不同目的地間的概率均為.

(1)①列舉兩次移動(dòng)后，該棋子所有可能的位置.
②假設(shè)棋子兩次移動(dòng)后，最終停留到第1，2，3行時(shí)，分別能獲得分，設(shè)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)現(xiàn)在于棋盤左下角處加入一顆棋子，他們運(yùn)動(dòng)規(guī)則相同，并且每次移動(dòng)同時(shí)行動(dòng).移動(dòng)次后，兩棋子位于同一格的概率為，求的通項(xiàng)公式.
【變式4-4】（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積分，平一場積分，負(fù)一場積分．常州龍城足球隊(duì)年月將迎來主場與隊(duì)和客場與隊(duì)的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求常州龍城隊(duì)月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率；
(2)用表示常州龍城隊(duì)月與隊(duì)和隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．
【變式4-5】不透明的盒子中裝有大小質(zhì)地相同的4個(gè)紅球、2個(gè)白球，每次從盒子中摸出一個(gè)小球，若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續(xù)摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結(jié)束．摸球次后游戲結(jié)束的概率記為，則 ；游戲結(jié)束后，總得分記為，則的數(shù)學(xué)期望 ．
題型五：離散型隨機(jī)變量的方差
【典例5-1】某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的方差為 ．
【典例5-2】（2024·上海浦東新·三模）一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中不放回地摸出2個(gè)球，記2球中白球的個(gè)數(shù)為X，則 .
【方法技巧】
均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算．
【變式5-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取m個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．
(1)若，，當(dāng)袋中的球中有個(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；
(2)若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為元，2個(gè)為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．
【變式5-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）某農(nóng)戶購入一批種子，已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.9，總共種下n粒種子，其中發(fā)芽種子的數(shù)量為X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望為，方差為，則對任意均有，切比雪夫不等式可以使人們在隨機(jī)變量X的分布末知的情況下，對事件的概率作出估計(jì)．
①當(dāng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量，證明切比雪夫不等式（可以直接證明，也可以用下面的馬爾科夫不等式來證明切比雪夫不等式）；
②為了至少有的把握使種子的發(fā)芽率落在區(qū)間，請利用切比雪夫不等式估計(jì)農(nóng)戶種下種子數(shù)的最小值．
注：馬爾科夫不等式為：設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有．
【變式5-3】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為 .若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則 .
【變式5-4】（2024·廣東·模擬預(yù)測）設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y的取值分別為，．定義X關(guān)于事件“”的條件數(shù)學(xué)期望為：．已知條件數(shù)學(xué)期望滿足全期望公式：．解決如下問題：
為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn)．在第1天上午，實(shí)驗(yàn)人員向培養(yǎng)皿中加入10個(gè)A的個(gè)體．從第1天開始，實(shí)驗(yàn)人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物．當(dāng)加入藥物時(shí)，A的每個(gè)個(gè)體立即以相等的概率隨機(jī)產(chǎn)生1次如下的生理反應(yīng)（設(shè)A的每個(gè)個(gè)體在當(dāng)天的其他時(shí)刻均不發(fā)生變化，不同個(gè)體的生理反應(yīng)相互獨(dú)立）：
①直接死亡；②分裂為2個(gè)個(gè)體．
設(shè)第n天上午培養(yǎng)皿中A的個(gè)體數(shù)量為．規(guī)定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，證明：隨著n的增大而增大．
【變式5-5】（2024·江蘇南京·二模）在三維空間中，單位立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中.而在維空間中，以單位立方體的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.現(xiàn)有如下定義：在維空間中，，兩點(diǎn)的曼哈頓距離為
(1)在3維單位立方體中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，試求所取兩點(diǎn)的曼哈頓距離為1的概率；
(2)在維單位立方體中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離
（i）求出的分布列與期望；
（ii）證明：隨機(jī)變量的方差小于.
【變式5-6】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，其中，隨機(jī)變量的分布列為
表中，則的最大值為 ．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當(dāng)，且取最大值時(shí)， ．
題型六：決策問題
【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在某項(xiàng)體育比賽中，從第2局開始，選手每次對局獲勝的概率受到前一局的影響．現(xiàn)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員對局，第一局甲勝的概率為；若前一局甲負(fù)，則下一局甲勝的概率是；若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為．比賽沒有平局．
(1)求甲在第3局中獲勝的概率；
(2)現(xiàn)設(shè)置300萬元獎(jiǎng)金，若甲在前3局中已經(jīng)勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎(jiǎng)金的，如果再繼續(xù)比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎(jiǎng)金的，第4局甲失敗，甲拿走獎(jiǎng)金的，請問甲將如何決策，以期拿走更多的獎(jiǎng)金．
【典例6-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）某水果店的草莓每盒進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價(jià)格全部處理完.店長為了決策每兩天的進(jìn)貨量，統(tǒng)計(jì)了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：
假設(shè)草莓每日銷量相互獨(dú)立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進(jìn)16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？
【方法技巧】
均值與方差在決策中的應(yīng)用
（1）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應(yīng)用策略
= 1 \* GB3 ①當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
= 2 \* GB3 ②若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.
【變式6-1】一個(gè)小型制冰廠有3臺同一型號的制冰設(shè)備，在一天內(nèi)這3臺設(shè)備只要有一臺能正常工作，制冰廠就會有利潤，當(dāng)3臺都無法正常工作時(shí)制冰廠就因停業(yè)而虧本（3臺設(shè)備相互獨(dú)立，3臺都正常工作時(shí)利潤最大）.每臺制冰設(shè)備的核心系統(tǒng)由3個(gè)同一型號的電子元件組成，3個(gè)元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當(dāng)系統(tǒng)中有不少于的電子元件正常工作時(shí)，此臺制冰設(shè)備才能正常工作.
(1)當(dāng)時(shí)，求一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；
(2)若已知當(dāng)前每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.6，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，若制冰廠由于設(shè)備不能正常工作而停業(yè)一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案可供選擇參考：
方案1：更換3臺設(shè)備的部分零件，使每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.85，更新費(fèi)用共為600元.
方案2：對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使每臺設(shè)備能正常工作的概率為0.75，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為元.請從期望損失最小的角度判斷如何決策？
【變式6-2】貝葉斯公式中，稱為先驗(yàn)概率，稱為后驗(yàn)概率．先驗(yàn)概率表達(dá)了對事件的初始判斷，當(dāng)新的信息出現(xiàn)后，我們可以利用貝葉斯公式求出后驗(yàn)概率，以此修正自己的判斷并校正決策．利用這種思想方法我們來解決如下一個(gè)實(shí)際問題．
某趣味抽獎(jiǎng)活動(dòng)準(zhǔn)備了三個(gè)外觀相同的不透明箱子，已知三個(gè)箱子中分別裝有10個(gè)紅球、5個(gè)紅球5個(gè)白球、10個(gè)白球(球的大小、質(zhì)地相同)．抽獎(jiǎng)活動(dòng)共設(shè)計(jì)了兩個(gè)輪次：
第一輪規(guī)則：抽獎(jiǎng)?wù)邚娜齻€(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，并從該箱子中取出兩球（分兩次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的兩個(gè)球都是紅球則可以進(jìn)入第二輪，否則抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束(無獎(jiǎng)金)．
第二輪規(guī)則：進(jìn)入第二輪的抽獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇三種抽獎(jiǎng)方案．方案一：就此停止，并獲得獎(jiǎng)金300元；方案二：繼續(xù)從第一輪抽取的箱子中再取一球，若為紅球則可獲得獎(jiǎng)金400元，若為白球獎(jiǎng)金變?yōu)?元；方案三：不再從第一輪抽取的箱子中取球，而是從另外兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，并從中取出一球，若為紅球則可獲得獎(jiǎng)金800元，若為白球獎(jiǎng)金變?yōu)?0元．
(1)求抽獎(jiǎng)?wù)咴诘谝淮稳〕黾t球的條件下，能進(jìn)入第二輪的概率；
(2)在第二輪的三種抽獎(jiǎng)方案中，從抽獎(jiǎng)?wù)攉@得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望的角度，找出三種抽獎(jiǎng)方案的最佳方案．
【變式6-3】（2024·山東菏澤·一模）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)標(biāo)號為1，2，3的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語．每次隨機(jī)抽取2個(gè)小球，答對一個(gè)小球中的謎語才能回答另一個(gè)小球中的謎語，答錯(cuò)則終止游戲．已知標(biāo)號為1，2，3的小球個(gè)數(shù)比為1：2：1，且取到異號球的概率為．
(1)求盒中2號球的個(gè)數(shù)；
(2)若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應(yīng)獎(jiǎng)金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨(dú)立）
【變式6-4】某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農(nóng)民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產(chǎn)了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.
(1)若在去年生產(chǎn)的藥材中隨機(jī)抽取4箱，設(shè)X為上等藥材的箱數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知每箱藥材的利潤如表：
今年市場需求增加，某農(nóng)戶計(jì)劃增加產(chǎn)量，且生產(chǎn)的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相應(yīng)增加元，假設(shè)你為該農(nóng)戶決策，你覺得目前應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果需要增加產(chǎn)量，增加多少箱最好？如果不需要增加產(chǎn)量，請說明理由.
1．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)III卷））某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
3．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
4．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
1．設(shè)，a是不等于的常數(shù)，探究X相對于的偏離程度與X相對于a的偏離程度的大小，并說明結(jié)論的意義．
2．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為：
甲品牌的走時(shí)誤差分布列
乙品牌的走時(shí)誤差分布列
試比較甲、乙兩種品牌手表的性能．
3．有A和B兩道謎語，張某猜對A謎語的概率為0.8，猜對得獎(jiǎng)金10元；猜對B謎語的概率為0.5，猜對得獎(jiǎng)金20元，規(guī)則規(guī)定：只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語？
4．證明：．
5．隨機(jī)變量X的分布列為，，，若，求a和b．
6．現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是多少元？
易錯(cuò)點(diǎn)：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)用錯(cuò)
易錯(cuò)分析：離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量的取值范圍及取每一個(gè)值時(shí)的概率。離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和. 一定要注意這一性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.
【易錯(cuò)題1】隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（ ）
A．B．
C．D．
【易錯(cuò)題2】已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：，，，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是 .
答題模板：求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征
1、模板解決思路
求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征，關(guān)鍵是找出隨機(jī)變量X的所有可能取值，并明確每一個(gè)取值所表示的意義，然后進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算即可.
2、模板解決步驟
第一步：理解隨機(jī)變量X的意義，找出X的所有可能取值.
第二步：求出X取每一個(gè)值時(shí)的概率。
第三步：寫出X的分布列.
第四步：由均值或方差的定義求出均值或方差.
【經(jīng)典例題1】袋子中裝有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋子中不放回地摸取4個(gè)球，取到1個(gè)白球得2分，取到1個(gè)紅球得1分，設(shè)摸球所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量．
(1)求摸球得分不低于6分的概率；
(2)求摸球所得分?jǐn)?shù)之和的方差．
【經(jīng)典例題2】國慶節(jié)前，某學(xué)校計(jì)劃選派部分優(yōu)秀學(xué)生干部參加宣傳活動(dòng)，報(bào)名參加的學(xué)生需進(jìn)行測試，共設(shè)4道選擇題，規(guī)定必須答完所有題，且每答對一題得1分，答錯(cuò)得0分，至少得3分才能成為宣傳員；甲、乙、丙三名同學(xué)報(bào)名參加測試，他們答對每道題的概率都為，且每個(gè)人答題相互不受影響．
(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)恰有兩名同學(xué)成為宣傳員的概率；
(2)用隨機(jī)變量表示三名同學(xué)能夠成為宣傳員的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望與方差．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列
（2）離散型隨機(jī)變量的均值與方差
2024年II卷第18題，17分
2023年I卷第21題，12分
2023年甲卷（理）第19題，12分
2023年上海卷第19題，14分
2023年北京卷第18題，13分
從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，特別是解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的發(fā)展，概率統(tǒng)計(jì)逐步成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一．這部分內(nèi)容作為高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，會越來越受到重視．主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟(jì)、生活實(shí)際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．
（2）理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．
-1
0
1
2
X
1
2
3
4
P
m
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
0
1
2
日銷售量/十盒
7
8
9
10
天數(shù)
8
12
16
4
球號
1號球
3號球
答對概率
0.8
0.5
獎(jiǎng)金
100
500
等級
上等藥材
中等藥材
普通藥材
利潤（元/箱）
4000
2000
-1200
X
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
0
2

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