注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知的分布列為：
設(shè)則的值為（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【解析】由題意可知，
∵，∴.
故選：A
2．拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個面上分別標有數(shù)字的正方體玩具．設(shè)事件為“向上一面點數(shù)為偶數(shù)”，事件為“向上一面點數(shù)為6的約數(shù)”，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，拋擲結(jié)果有6種可能，事件即為向上一面的點數(shù)為2或4或6，
事件即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或6，
事件即為向上一面的點數(shù)為1或2或3或4或6，
所以．
故選：D.
3．在二項式的展開式中，常數(shù)項為（ ）
A．180B．270C．360D．540
【答案】A
【解析】二項式的展開式的通項公式為，
令，解得，所以常數(shù)項為.
故選：A
4．某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運數(shù)”（如2024是“幸運數(shù)”），并獲得一定的獎品，則首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有（ ）
A．32個B．28個C．27個D．24個
【答案】B
【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：
①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，
④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，
⑦“222”組合，有1種.
由分類加法計數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運數(shù)”共有個.
故選：B.
5．已知，則（ ）
（注：若隨機變量，則）
A．0.1587B．0.8413C．1D．0.4206
【答案】C
【解析】因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
故選：C
6．如果隨機變量，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，即，
又因為隨機變量，且，
則，解得.
故選：D.
7．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，
且.
恰好能答對兩道題為事件，且兩兩互斥，
所以
，
整理得，他三道題都答錯為事件，
故.
故選：C.
8．如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①，②，③，④．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【解析】由題意可知，
則，，
則①正確；顯然，故②正確；
因為，經(jīng)過數(shù)字5的路線共有條.
理由:如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條，
利用分步乘法計數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有條.
則，故③正確；
同理可得即有，故④錯誤.
故選:A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．假設(shè)是兩個事件，且，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】A選項，因為，，，，
所以，A正確；
B選項，因為事件與相互獨立，所以與相互獨立，
所以，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，因為，所以，D正確.
故選：AD.
10．第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四個場館進行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館，下列說法中正確的有（ ）
A．所有可能的方法有34種
B．若場館甲必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種
C．若志愿者小明必須去場館甲，則不同的安排方法有16種
D．若三名志愿者所選場館各不相同，則不同的安排方法有24種
【答案】BCD
【解析】對于A，所有可能的方法有種，故A錯誤.
對于B，分三種情況：第一種：若有1名志愿者去場館甲，則去場館甲的志愿者情況為，
另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，
第二種：若有兩名志愿者去場館甲，則志愿者選派情況有，另外一名志愿者的排法有3種，
此種情況共有種，
第三種情況，若三名志愿者都去場館甲，此種情況唯一，
則共有種安排方法，B正確.
對于C，若小明必去甲場館，則小紅，小兵兩名志愿者各有4種安排，共有種安排，C正確.
對于D，若三名志愿者所選場館各不同，則共有種安排，D正確.
故選：BCD.
11．端午將至，超市特推出“粽情一夏，情濃端午”為主題的甲乙兩款端午粽子禮盒，但是由于工作人員分裝時的疏忽，禮盒內(nèi)的粽子發(fā)生了錯亂，此時甲款禮盒內(nèi)已有一個肉粽，乙款禮盒內(nèi)有三個肉粽和三個甜粽，現(xiàn)從乙款禮盒內(nèi)隨機取出個粽子，其中含個肉粽，放入甲款禮盒后，再從甲款禮盒內(nèi)隨機取出一個粽子，記取到肉粽的個數(shù)為，其中，下列說法正確的是（ ）
A．當時，隨機變量服從兩點分布B．隨著的增大，減少，增加
C．當時，隨機變量服從二項分布D．隨著的增大，增加，減小
【答案】B
【解析】由題意可知，從乙禮盒里隨機取出個粽子，含有肉粽個數(shù)服從超幾何分布，即.
故A，C錯誤.
其中，其中，且，.
故從甲禮盒取粽子，相當于從含有個肉粽的個粽子中取1粽子，取到肉粽個數(shù)為.
故，
隨機變量服從兩點分布，所以，
隨著的增大，減??；
，隨著的增大，增大.
故B正確，D錯誤.
故選：B.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知的展開式中各項系數(shù)的和為4，則 ．
【答案】3
【解析】令得展開式中各項系數(shù)和，
則，解得.
故答案為：3.
13．某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識答題競賽.已知某同學答對每道題的概率均為，且每次答題相互獨立，若該同學連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學答對道試題的概率為，則當 時，取得最大值.
【答案】13或14
【解析】由題意得，且，
則，即
故又，所以或，
故當或時，取得最大值.
故答案為：13或14.
14．高三開學，學校舉辦運動會，女子啦啦隊排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個班的啦啦隊兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，但每個遮陽傘的蔭蔽半徑僅為一名同學，為了效益最佳，遮陽傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘.則添置遮陽傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學期望為
【答案】1
【解析】由題意可設(shè)高三(一)班共有七名女生坐成一排依次為，
由于兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個遮陽傘，則1，7一定曬不到，
現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個遮陽傘，即在7位同學之間形成的空中選3個放置，共有種放法；
設(shè)曬黑女生人數(shù)為X，則X可能取值為0，1，2，
時，若12之間放一把傘，則另外2把分別放在34，56之間，
若23之間放一把傘，則另外1把分別放在56之間，第三把放在34或45之間，
若67之間放一把傘，則另外2把分別放在23，45之間，
則；
時，被曬的人若是2，則23之間沒有傘，34之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，
同理被曬的人若是6，則67之間沒有傘，45之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，
被曬的人若是3或4或5，此時3把傘均有2種放法，
故，
，
故曬黑女生人數(shù)的數(shù)學期望為,
故答案為：1
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
某品牌汽車4S店搞活動，消費者對"圈圈套西瓜"活動的參與度較高.該活動的游戲規(guī)則如下：參加活動的每位消費者可領(lǐng)3個圈圈且均需用完，1個圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜與否相互獨立，套中的西瓜可被消費者帶走.已知甲每次套中西瓜的概率為，乙每次套中西瓜的概率為.
(1)求甲恰好套中1個西瓜的概率；
(2)若甲、乙均套完第一次，記此時甲、乙兩人套中西瓜的個數(shù)之和為，求隨機變量的分布列與期望.
【解析】（1）依題意，甲恰好套中1個西瓜的概率為.（5分）
（2）隨機變量的所有可能取值為.
則隨機變量的分布列為
故.（13分）
16．（15分）
某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的古錢幣造型作為該活動的舉辦標志，舉辦方計劃在入口處設(shè)立一個如下圖所示的造型.現(xiàn)擬在圖中五個不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個區(qū)域的花卉品種不一樣.
現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.
(1)（i）共有多少種不同的栽種方法；
（ⅱ）記“在③和⑤區(qū)域栽種不同的花卉”為事件A，“完成該標志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為事件，求；
(2)設(shè)完成該標志的栽種所用的花卉品種數(shù)為，求的概率分布及期望.
【解析】（1）（i）規(guī)定涂色順序為：①→③→②→④→⑤，
若②和④同色，方法數(shù)為；
若②和④不同色，方法數(shù)為；
所以共有種不同的栽種方法；（5分）
（ⅱ）由題意可知：，，
所以.（8分）
（2）由題意可知：可能的取值為3，4，5，則有：
，，，
所以的概率分布列為
期望為.（15分）
17．（15分）
足球比賽積分規(guī)則為：球隊勝一場積分，平一場積分，負一場積分．常州龍城足球隊年月將迎來主場與隊和客場與隊的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊主場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為；客場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨立．
(1)求常州龍城隊月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率；
(2)用表示常州龍城隊月與隊和隊比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．
【解析】（1）設(shè)事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分”，
，
，
，
則，
∴常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率為；（7分）
（2）由題意可知的所有可能取值為，
，
，
，
，
，
，
∴的分布列為：
∴.（15分）
18．（17分）
某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標值：.根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品. 現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值. 若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；
(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布，則，. )
(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質(zhì)量指標值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝. 已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.
【解析】（1）由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件的平均數(shù)為：
．
即，，所以，
因為質(zhì)量指標值近似服從正態(tài)分布，
所以，
所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.（5分）
（2）（i），所以所取樣本的個數(shù)為20件，
質(zhì)量指標值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，
相應(yīng)的概率為：
，，
，，
隨機變量的分布列為：
所以的數(shù)學期望.（10分）
（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，
設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為元，
由題意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
所以當時，取得最大值.
所以當時，每箱產(chǎn)品利潤最大.（17分）
19．（17分）
設(shè)離散型隨機變量X，Y的取值分別為，．定義X關(guān)于事件“”的條件數(shù)學期望為：．已知條件數(shù)學期望滿足全期望公式：．解決如下問題：
為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實驗室計劃進行生物實驗．在第1天上午，實驗人員向培養(yǎng)皿中加入10個A的個體．從第1天開始，實驗人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物．當加入藥物時，A的每個個體立即以相等的概率隨機產(chǎn)生1次如下的生理反應(yīng)（設(shè)A的每個個體在當天的其他時刻均不發(fā)生變化，不同個體的生理反應(yīng)相互獨立）：
①直接死亡；②分裂為2個個體．
設(shè)第n天上午培養(yǎng)皿中A的個體數(shù)量為．規(guī)定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，證明：隨著n的增大而增大．
【解析】（1）在事件發(fā)生的條件下，如果在第五天下午加入藥物后，有K個個體分裂，
則，，
所以，．（4分）
（2）由（1）可類似得到：在事件發(fā)生的條件下，如果在第天下午加入藥物之后，
有個個體分裂，則的取值為．
在事件發(fā)生的條件下，令隨機變量Z表示第天下午加入藥物之后分裂的個體數(shù)目，
則且．
因此．
設(shè)的取值集合為，則由全期望公式可知
．
這表明是常數(shù)列，所以．（11分）
（3）由（2）可知
，
這表明是公差為10的等差數(shù)列．
又因為，所以，
從而．
可以看出，隨著n的增大而增大．（17分）
0
1
P



0
1
2
3
4
5
0
1
2
3

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