第07講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征（六大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第07講離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征
目錄
知識點一．離散型隨機變量的分布列
1、隨機變量
在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機試驗．
（2）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機變量的線性關(guān)系：若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量．
2、離散型隨機變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．
（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果，但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出．
3、離散型隨機變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1），；（2）．
注意：
①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．
②隨機變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率．
知識點二．離散型隨機變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；
（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質(zhì)．
2、均值的性質(zhì)
（1）（為常數(shù)）．
（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨立，則．
3、方差
若離散型隨機變量的分布列為
則稱為隨機變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。?br>（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
4、方差的性質(zhì)
（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且．
（2）方差公式的變形：．
題型一：離散型隨機變量
例1．（2023·高二課時練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）
A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)
D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（）
A．至少取到1個白球B．取到白球的個數(shù)
C．至多取到1個白球D．取到的球的個數(shù)
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機變量的是（）
A．電燈泡的使用壽命
B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)
C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值
D．一個在軸上隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對一批產(chǎn)品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗結(jié)果為( )
A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
變式3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為( )
A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…
題型二：求離散型隨機變量的分布列
例4．（2023·全國·高三對口高考）數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數(shù)的分布列．
例5．（2023·全國·高三對口高考）假如一段樓梯有11個臺階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是．
例6．（2023·全國·高三對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的分布列是．
變式4．（2023·全國·高三對口高考）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設(shè)在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分布列是．
變式5．（2023·全國·高考真題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為：．
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的分布為，則．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X的分布列是 .
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為．
【解題方法總結(jié)】
求解離散型隨機變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計算
計算隨機變量取每一個值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗概率之和是否為.
（4）求解
根據(jù)均值、方差公式求解其值.
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)
例7．（2023·江西吉安·高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么 .
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的分布列如下：
給出下列四個結(jié)論：
①當(dāng)為等差數(shù)列時，；
②當(dāng)為等差數(shù)列時，公差；
③當(dāng)數(shù)列滿足時，；
④當(dāng)數(shù)列滿足時，時，.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
例9．（2023·全國·高三對口高考）某一隨機變量的概率分布如下表，且，則的值為．
變式9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
若，則 .
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的概率分布列為
則常數(shù) ．
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的分布列，則 .
變式12．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則 .
變式13．（2023·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差為，隨機變量滿足，則的取值范圍為 .
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量X的分布列為
若，則正整數(shù)a＝．
【解題方法總結(jié)】
離散型隨機變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；
（2）利用“隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據(jù)性質(zhì)及，判斷所求的分布列是否正確．
題型四：離散型隨機變量的均值
例10．（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報告指出，必須堅持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力，這其實是我黨的一貫政策．某材料學(xué)博士畢業(yè)時恰逢國家大力倡導(dǎo)“開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強陶瓷基、樹脂基三大類復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)計到今年年底這三大類復(fù)合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復(fù)合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨立，記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學(xué)期望．
例11．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則．
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.
變式15．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出綠球的個數(shù)為，則 .
變式16．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)在上學(xué)的路上要經(jīng)過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，設(shè)該同學(xué)在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.
(1)求該同學(xué)在上學(xué)路上恰好遇到一個紅燈的概率；
(2)若該同學(xué)在上學(xué)路上每遇到1個紅燈，到校打卡時間就會比規(guī)定打卡時間晚48秒，記該同學(xué)某天到校打卡時間比規(guī)定時間晚秒，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
變式17．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．
(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．
(2)以（1）中確定的作為p的值．
（?。┣笮±钸@項資格考試過關(guān)的概率；
（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．
變式18．（2023·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．
(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；
(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式19．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運動興趣，增強學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．
(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．
(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．
變式20．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起體育運動和文化項目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．
(1)記第一天需要進行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；
(2)記一共進行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．
題型五：離散型隨機變量的方差
例13．（2023·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）設(shè)隨機變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則方差 .
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）離散型隨機變量X的分布為：
若離散型隨機變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為．
①；②；③；④．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量的分布如下表：
若隨機變量的期望值，則．
變式22．（2023·全國·高三對口高考）隨機變量的分布列如下表：
其中a，b，c成等差數(shù)列，則的最大值為 .
變式23．（2023·全國·高三對口高考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
變式24．（2023·北京西城·高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．
變式25．（2023·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.
(1)求這場比賽甲獲勝的概率；
(2)這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；
(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計算這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.
變式26．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X的分布列為
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
變式27．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）巴蜀中學(xué)進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.
(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.
變式28．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．
(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．
變式29．（2023·福建寧德·高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markv）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設(shè)為一個非負隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有
(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．
【解題方法總結(jié)】
均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
題型六：決策問題
例16．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團體賽分預(yù)賽和決賽兩個階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.
方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.
(1)郭靖同學(xué)參加了個人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；
(2)在團體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請說明理由.
例17．（2023·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨立解題.
(2)對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
例18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：
假設(shè)草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？
變式31．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．
(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
(2)招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．
變式32．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）．若將這100臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．
(1)求的分布；
(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與18之中選其一，應(yīng)選用哪個？并說明理由．
變式33．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計如下試驗?zāi)Ｐ?；有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結(jié)束.假設(shè)首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.
(1)求首次試驗結(jié)束的概率；
(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調(diào)整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.
變式34．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）強基計劃校考由試點高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為；該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．
(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，求m的取值范圍．
變式35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）.若將這100臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).求X的期望；
變式36．（2023·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為貫徹落實黨的二十大精神，促進群眾體育全面發(fā)展.奮進中學(xué)舉行了趣味運動會，有一個項目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機地擲向前方的三個箱子中的任意一個，每名選手?jǐn)S5個大小形狀質(zhì)量相同?編號不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進1號?2號?3號箱分別可得3分?4分?5分，沒有投中計0分.每名選手將累計得分作為最終成績.
(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進入不同箱子的方法數(shù)；
(2)賽前參賽選手經(jīng)過一段時間的練習(xí)，選手每次投中1號?2號?3號箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨立，且投擲時不會出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.
（i）若以比賽結(jié)束時累計得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號箱？
（ii）假設(shè)選手得了23分，請你幫設(shè)計一種可能贏的投擲方案，并計算該方案獲勝的概率.
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產(chǎn)設(shè)備提出了甲?乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產(chǎn)設(shè)備，需一次性投資1900萬元，年生產(chǎn)能力為30萬件；乙方案是將原來的設(shè)備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備，設(shè)備的使用年限均為6年，該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設(shè)備改進投資費用）.
(1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值，并假設(shè)每年的銷售量相互獨立.
①根據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率；
②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù)，試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進投資費用）
【解題方法總結(jié)】
均值與方差在決策中的應(yīng)用
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應(yīng)用策略
= 1 \* GB3 ①當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
= 2 \* GB3 ②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.
1．（2019?浙江）設(shè)．隨機變量的分布列是
則當(dāng)在內(nèi)增大時，
A．增大B．減小
C．先增大后減小D．先減小后增大
2．（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．
3．（2021?浙江）袋中有4個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念．
（2）理解并會求離散型隨機變量的數(shù)字特征．
2023年I卷第21題，12分
2023年甲卷（理）第19題，12分
2023年上海卷第19題，14分
2023年北京卷第18題，13分
從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．隨著計算機技術(shù)和人工智能的發(fā)展，概率統(tǒng)計逐步成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一．這部分內(nèi)容作為高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，會越來越受到重視．主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟、生活實際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題．
0
1
2
1
2
3
4
5
6
7
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P
0.2
m
n
0.3
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X
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P
0.2
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b
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P
0.3
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0.5
8
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P
0.2
0.4
0.4
0
2
P
a
b
n
n＋1
n＋2
P
a
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c
X
－1
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1
P
a
b
X
0
1
x
P
p
日銷售量/十盒
7
8
9
10
天數(shù)
8
12
16
4
0
1

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