知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)
推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)
（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關(guān)系
知識點三．直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
知識點四．平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況．
知識點五．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
例1．（2023·山西大同·高一?？计谥校┤鐖D所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；
(2)與的交點在直線上．
【解析】（1）：：：，，
，分別為，的中點，，，
，，，四點共面．
（2）、不是、的中點，
，且，
與必相交，設(shè)交點為，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
與的交點在直線上．
例2．（2023·陜西西安·高一?？计谥校?）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

【解析】（1）證明：設(shè)直線與，分別交于點，
如圖1，

因為，所以確定一個平面，記為平面，
因為點直線，點直線，所以，，
所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個平面；
（2）在空間四邊形中，連接，
因為分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設(shè)與交于點，如圖2，

由于平面，點在平面內(nèi)，同理點在平面內(nèi)，
又因為平面平面，
所以點在直線上，
故直線相交于一點.
例3．（2023·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設(shè)，證明：A，O，D三點共線.
【解析】（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，
又，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
，所以四點共面；
（2）證明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三點共線.
變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：
(1)E?F?G?H四點共面；
(2)EG與HF的交點在直線AC上.
【解析】（1）∵，∴.
∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴，且，
∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.
（2）∵G，H不是BC，CD的中點，∴，∴，
由（1）知，故EFHG為梯形.
∴EG與FH必相交，設(shè)交點為M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE與HF的交點在直線AC上.
變式2．（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點．

(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)證明GE，F(xiàn)H，相交于一點．
【解析】（1）證明：連接AC，，如圖所示，

因為為正四棱臺，所以，
又E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點，所以，，
則，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．
（2）因為，所以，所以EFHG為梯形，則EG與FH必相交．
設(shè)，因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面，
又平面平面，所以，
則GE，F(xiàn)H，交于一點．
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點．
(1)求證：三線交于點P；
(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．
【解析】（1）證明：連接，，
正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC與相交，設(shè)交點為P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P為兩平面的公共點，
∵平面平面，∴，
∴三線交于點P；
（2）
在（1）的結(jié)論中，G是上一點，F(xiàn)G交平面ABCD于點H，
則FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，
∴P，E，H三點共線．
【解題方法總結(jié)】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．
題型二：截面問題
例4．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體的棱長為，動點P在對角線上，過點P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】

如圖，連接， ，平面，平面，則，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，平面，平面，所以平面，
因此平面與平面重合或平行，
取的中點，連接，則，，
同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，
與平面的交點是的中心，
正方體棱長為，則，，
所以，所以，
由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時，，即，
，，顯然，


平面過平面再平移至平面時，如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，
如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，
因此此種情形下，截面的周長與截面的周長相等，平移平面，一直到平面位置處，
由正方體的對稱性，接著平移時，截面周長逐漸減少到，
綜上，的值域是．
故選：A.
例5．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動點（不含端點），

①異面直線與AF所成角可以為
②當(dāng)G為中點時，存在點E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行
③當(dāng)E，F(xiàn)為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為
④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等
則上述結(jié)論正確的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
【答案】C
【解析】對①：因為//，故與的夾角即為與的夾角，
又當(dāng)與重合時，取得最大值，為；
當(dāng)與點重合時，取得最小值，設(shè)其為，則，故；
又點不能與重合，故，故①錯誤；
對②：當(dāng)為中點時，存在分別為的中點，滿足//面，證明如下：
取的中點為，連接，如下所示：

顯然//，又面面，故//面；
又易得//，面面，故//面；
又面，故面//面，
又面，故//面，故②正確；
對③：連接，如下所示：

因為////，故面即為平面截正方體所得截面；
又，故該截面為等腰梯形，又，，
故截面面積，故③正確；
對④：連接，取其中點為，如下所示：

要使得點到平面的距離等于點到平面的距離，只需經(jīng)過的中點，
顯然當(dāng)點分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點滿足要求，故④錯誤.
故選：C.
例6．（2023·河南·模擬預(yù)測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
【答案】B
【解析】
在上取點，且，取中點為，連接.
在上取點，且，連結(jié).
因為，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因為分別為的中點，所以，且.
根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，且，
所以，，且，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五邊形即為所求正方體的截面.
故選：B.
變式4．（2023·河南·模擬預(yù)測）在正方體中，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
①平面 ；②；③直線與所成角的余弦值為
④過三點的平面截正方體所得的截面為梯形
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】連接，交于點，則是的中點，連接，由于是中點，可得，
所以四邊形是平行四邊形，所以,
又平面，平面，所以平面，即①正確；
連接，則，在正方體中，平面，又平面，所以,
又，平面，平面，所以平面，若，則平面或平面，而與平面相交，所以與不垂直，即②錯誤；
由于，所以為直線與所成角（或補角），
設(shè)正方體棱長為2，
則,所以由余弦定理得，即③正確；
因為平面與平面平行，則過三點的截面與這兩個平面的交線平行，由于其中一條交線是,另一交線過點，所以在平面內(nèi)作與平行（是靠近的四等分點），連接，同理作出與平行（是靠近的三等分點），從而得到截面，可知截面是五邊形，即④錯誤；
綜上，正確的個數(shù)是2個.
故選：B.
變式5．（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，對于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點P為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，DP的最小值為；③過點，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面周長為；④當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球O的表面上時，球O的體積為．則正確的命題個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】對于①，，
在中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故①錯誤；
對于②，取的中點的中點，取的中點，連接，，，
，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如圖，在中，．故②正確；
對于③，過點的平面截正方體，
平面平面，則過點的平面必與、各交于一點，
設(shè)過點的平面必與與分別交于、，
過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，
，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故③正確；
對于④，如圖所示，取的中點，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，則，
．故④正確，
故選：C．
變式6．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】連接，設(shè)平面與平面交于，
因為平面平面，平面與平面交于，
則，又，
則，又是棱的中點，則F是BC的中點.
，,
，
，故.
故選：A.
變式7．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解析：延長，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面.
在中，由，，得.
在中，由，，得.
因為為的中點，所以由平面幾何知識可知，.
所以，，即為AG的中點，所以.
又由，可得，
又，，所以.
在中，由，，得，所以.
所以在中，有，，，
即，所以.又注意到，
，
則四邊形AEDF的面積為.
故選：B．
變式8．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎?，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【解析】如圖所示，分別取，，的中點，，，連接 ，，，，，，則，.
，.
同理可得，.
由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，
所以平面截正方體所得的截面是六邊形.
故選：D.
變式9．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L為3的正方體中，點Р是側(cè)面上的點，且點Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過點Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（ ）
A．B．5C．D．8
【答案】C
【解析】
由題意可以作出與垂直的平面，
利用面面平行可作出過點P且平行于平面的平面GJKLNM，
則平面GJKLNM與垂直，
作出點M，N的投影O，Q，
平面AOQCKJ的面積S即為所求，
已知正方體棱長為3，點Р到棱與到棱AD的距離均為1，
所以點G，J，K，L，N，M均為各棱的三等分點
，
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
（1）作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
題型三：異面直線的判定
例7．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（ ）
A．一定是異面直線B．一定是相交直線
C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【解析】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，

根據(jù)題意可得當(dāng)點與點重合時，兩條直線相交，當(dāng)點與點不重合時，兩條直線異面，
所以直線的位置關(guān)系是異面或相交.
故選:D．
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．直線始終與直線異面
D．直線始終與直線異面
【答案】C
【解析】正方體中，易得平面，因為點在直線上，為線段的中點，
當(dāng)點和點重合時，平面，，故A正確；
連接、，當(dāng)點為線段的中點時，為三角形的中位線，即，故B正確；
平面，當(dāng)點和點重合時，平面，所以直線和在同一平面內(nèi)，故C錯誤；
平面，平面，，所以直線始終與直線不相交，且不平行，
所以直線與直線是異面直線，故D正確；
故選：C
例9．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【答案】D
【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點，則，
因為是的中點，又，則，
，，
，
在中，是的中點，是的中點，，
與是共面直線，
若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．
變式10．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對于選項A，面，面，面，所以直線與異面；
對于選項B，當(dāng)與重合時，因為，又，，分別是棱，，的中點，所以，所以，選項B錯誤；
對于選項C，連接，在正方體中，易得且，所以與相交，即當(dāng)與重合時，與相交，選項C錯誤；
對于選項D，取中點，連交于，連，因為且，所以且，故當(dāng)與重合時，與相交，選項D錯誤.
故選：A.
變式11．（2023·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當(dāng)點Q由點N出發(fā)向點M運動的過程中，以下結(jié)論中正確的是（ ）
A．直線與直線CP可能相交B．直線與直線CP始終異面
C．直線與直線CP可能垂直D．直線與直線BP不可能垂直
【答案】B
【解析】在正三棱柱中，
因為點M、N分別為棱AB、的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為平面，，，
所以四點不共面，
所以直線與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；
對于C，設(shè)，
則，
，
若直線與直線CP垂直，則，
即，
所以，
即，解得，
因為，所以不存在點使得直線與直線CP垂直，故C錯誤；
對于D，連接，
因為為的中點，所以，
又因平面，平面，
所以，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以當(dāng)點在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.
故選：B.
變式12．（2023·吉林長春·高三長春市第六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺中，、、、分別為棱，，，的中點，對空間任意兩點、，若線段與線段、都不相交，則稱點與點可視，下列選項中與點可視的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)棱臺的性質(zhì)可知，連接、、、、，
因為、分別為棱，的中點，
所以，又底面為正方形，所以，所以，所以四邊形為梯形，
所以與相交，與相交，故B、C錯誤；
因為，所以四邊形是梯形，所以與相交，故A錯誤；
因為為梯形，為的中點，即，則、、、四點不共面，所以與不相交，
若與相交，則、、、四點共面，
顯然、、、四點共面，平面，所以、、、四點不共面，即假設(shè)不成立，
所以與不相交，即點與點可視，故D正確．
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
題型四：異面直線所成的角
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖,在正方體中,點E,F分別是棱AD,的中點,則異面直線與BF所成角的大小為 ．
【答案】
【解析】取中點為,連接,記與交點為,如圖所示:
因為G,F分別是棱,的中點,
所以,且,故四邊形為平行四邊形,
所以,所以與BF所成角即為與所成角,
因為正方體,E,G是棱AD,的中點,
所以,
所以,即,
因為,所以,
所以,
故與所成角為,即與BF所成角為.
故答案為:
例11．（2023·高三課時練習(xí)）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的大小為 ．
【答案】
【解析】解:由題知,取中點為，連接如圖所示:
不妨設(shè)正四面體棱為6,
根據(jù)分別為中點得：，
因為與為等邊三角形,
所以，故，同理，
在中,由余弦定理可得:
，
故,
因為,
所以異面直線CE與BD所成角，即直線CE與所成角，即,
故異面直線CE與BD所成角為.
故答案為:
例12．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是 .
（1）直線與直線相交；
（2）直線與直線平行；
（3）直線與直線是異面直線；
（4）直線與直線成角.
【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】由正方體的平面展開圖可得正方體，
可得與為異面直線，故（1）錯誤；
與為異面直線，故（2）錯誤；
直線與直線是異面直線，故（3）正確；
連接，，由正方體的性質(zhì)可得，所以為異面直線與直線所成的角，因為為等邊三角形，所以，即直線與直線所成角為，故（4）正確；
故答案為：（3）（4）．
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一小塊，八個頂點共截去八小塊，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是
【答案】
【解析】如圖所示，由題可知，四邊形和均為正方形，為正三角形，
，，
或其補角為異面直線與所成角，
而為正三角形，
，
即異面直線與所成角的大小是.
故答案為：.
變式14．（2023·全國·高三對口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個面內(nèi)，且與這兩個面都成角，則直線與所成的角等于 ．
【答案】/
【解析】如圖：

過分別作棱的垂線，垂足設(shè)為連結(jié)，
由直線垂直于平面的性質(zhì)定理知，.
所以.
作且，則為直線與所成的角.
連結(jié)，可得，，所以，
所以三角形為直角三角形.
設(shè)，，所以，
所以.
直線與所成的角等于.
故答案為：.
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形沿對角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為 .（寫出一個值即可）
【答案】（答案在內(nèi)即可）
【解析】由題意，補全等腰梯形為正三角形，則直線與所成角的大小為直線與所成角，易得當(dāng)?shù)妊菪窝貙蔷€翻折時，的軌跡為以為頂點，為高的圓錐側(cè)面，設(shè)，在上取使得，則直線與所成角即，故，因為，，故，故，故只需寫出內(nèi)的角度即可，如

故答案為：（答案在內(nèi)即可）
【解題方法總結(jié)】
（1）點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
題型五：平面的基本性質(zhì)
例13．（多選題）（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點，，，則
C．若且，則直線
D．若直線，直線，則a與b為異面直線
【答案】ABC
【解析】對于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點，
又，由基本事實3（公理2）可得，故A正確；
對于B，由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，
又，且，則，故B正確；
對于C，由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故C正確；
對于D，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯誤.
故選：ABC.
例14．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：
①經(jīng)過三點確定一個平面；
②梯形可以確定一個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
其中正確命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【解析】對于①，經(jīng)過不共線的三點確定一個平面，故①不正確；
對于②，因為梯形的兩底邊平行，經(jīng)過兩條平行直線確定一個平面，故②正確；
對于③，當(dāng)三條直線交于不同的三點時，三條直線只確定一個平面；當(dāng)三條直線交于一點時，三條直線最多確定三個平面，故③正確；
對于④，當(dāng)兩個平面的三個公共點在一條直線上時，這兩個平面相交于這條直線，不一定重合，故④不正確.
故選：BC
例15．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
【答案】AC
【解析】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；
空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；
根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；
如圖，且，
則但和的關(guān)系不確定，
故D錯誤.
故選：AC
變式16．（多選題）（2023·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯誤的是（ ）
A．空間三點可以確定一個平面
B．三角形一定是平面圖形
C．若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合
D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形
【答案】ACD
【解析】對于A：若空間中三點共線，則無法確定平面，故A錯誤；
對于B：三角形一定是平面圖形，故B正確；
對于C：若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則此四點可能在平面與平面的交線上，無法確定平面和平面是否重合，故C錯誤；
對于D：四條邊都相等的四邊形可能是空間四邊形，故D錯誤；
故選：ACD
變式17．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，點，，，分別是正方體中棱，，，的中點，則（ ）
A．B．
C．直線，是異面直線D．直線，是相交直線
【答案】BD
【解析】如圖，取棱的中點，的中點，連接，，，，，，，
在正方體中，∵，
∴，，，四點共面，同理可得，，，四點共面，，，，四點共面，
∴，，，，，六點共面，均在平面內(nèi)，
∵，，
，，平面，
∴與是相交直線．由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得，
∴，即．
故選：BD．
變式18．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．線段上存在點E、F使得B．平面ABCD
C．的面積與的面積相等D．三棱錐A-BEF的體積為定值
【答案】BD
【解析】如圖所示，AB與為異面直線，故AE與BF也為異面直線，A錯誤；
，故平面ABCD，故B正確；
由圖可知，點A和點B到EF的距離是不相等的，C錯誤；
連結(jié)BD交AC于O，則AO為三棱錐A-BEF的高，
，
三棱錐A-BEF的體積為為定值，D正確；
故選：BD.
題型六：等角定理
例16．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在棱長均相等的四面體中，為棱不含端點上的動點，過點A的平面與平面平行若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為 ．
【答案】/
【解析】連接,
由題意知過點A的平面與平面平行，平面與平面，平面的交線分別為，，
由于平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
所以或其補角即為，所成的平面角，
設(shè)正四棱錐的棱長為，，，則，
在中，
由余弦定理得，
同理求得，
故在中，，
，
由于，則，進(jìn)而，
當(dāng)時取等號，
故的最小值為，進(jìn)而，
故的最大值為，
故答案為：．
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
【答案】2
【解析】在正方體中，與平面垂直，再根據(jù)等角定理，問題可以轉(zhuǎn)化為過點A與、都成的直線有幾條．
考慮到，夾角為，所以同一平面的角平分線與，的夾角大小為，
因為，從而存在兩條直線滿足條件．而，的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足條件．
綜上，滿足條件的直線共2條．
故答案為：2.
例18．（2023·高三課時練習(xí)）若空間兩個角與的兩邊對應(yīng)平行，當(dāng)時，則 ．
【答案】60°或120°
【解析】當(dāng)空間兩個角與的兩邊對應(yīng)平行，且兩邊的方向完全一致時，；
當(dāng)空間兩個角與的兩邊對應(yīng)平行，且兩邊方向不完全一致時，.
故答案為：60°或120°
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為 .
【答案】45°或135°/135°或45°
【解析】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.
故答案為：45°或135°.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是 .
【答案】正方形
【解析】連接、，
、、、分別為各邊的中點，
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，且，
，且，
四邊形是正方形；
故答案為：正方形．
變式21．（2023·江西吉安·高一校聯(lián)考期末）已知空間中兩個角，且，若，則 .
【答案】或
【解析】因為兩個角，且，
則的兩邊分別平行，
所以相等或互補，
又，所以或
故答案為：或
變式22．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．
【答案】或
【解析】根據(jù)等角定理知：或，
若，則或.
故答案為：或
【解題方法總結(jié)】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．
1．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，聯(lián)結(jié)，．空間任意兩點、，若線段上不存在點在線段、上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為
A．點B．點C．點D．點
【答案】
【解析】線段上不存在點在線段、上，即直線與線段、不相交，
因此所求與可視的點，即求哪條線段不與線段、相交，
對選項，如圖，連接、、，因為、分別為、的中點，
易證，故、、、四點共面，與相交，錯誤；
對、選項，如圖，連接、，易證、、、四點共面，
故、都與相交，、錯誤；
對選項，連接，由選項分析知、、、四點共面記為平面，
平面，平面，且平面，點，
與為異面直線，
同理由，選項的分析知、、、四點共面記為平面，
平面，平面，且平面，點，
與為異面直線，
故與，都沒有公共點，選項正確．
故選：．
2．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對于，當(dāng)是的中點時，與是相交直線；
對于，根據(jù)異面直線的定義知，與是異面直線；
對于，當(dāng)點與重合時，與是平行直線；
對于，當(dāng)點與重合時，與是相交直線．
故選：．
3．（2021?乙卷）在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：，是直線與所成的角（或所成角的補角），
設(shè)正方體的棱長為2，
則，，，
，
，
直線與所成的角為．
解法二：，直線與所成角為，
在正△中，是的平分線，
．
直線與所成的角為．
故選：．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義．
（2）了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題．
2023年上海卷第15題，5分
2022年上海卷第15題，5分
2022年I卷第9題，5分
2021年乙卷（文）第10題，5分
本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點，重點關(guān)注異面直線的判定和成角問題、空間點線面的位置關(guān)系問題．對于空間幾何體的點、線、面的位置關(guān)系，除了題目難度逐步提升，還增加了截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有更強大的邏輯推理能力．
位置關(guān)系
相交（共面）
平行（共面）
異面
圖形
符號
a∥b
公共點個數(shù)
1
0
0
特征
兩條相交直線確定一個平面
兩條平行直線確定一個平面
兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)
位置關(guān)系
包含（面內(nèi)線）
相交（面外線）
平行（面外線）
圖形
符號
∥
公共點個數(shù)
無數(shù)個
1
0
位置關(guān)系
平行
相交（但不垂直）
垂直
圖形
符號
∥
，
公共點個數(shù)
0
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上

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