類型Ⅰ 觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
類型Ⅱ 公式法：
若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式 構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
類型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
類型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型Ⅴ 構(gòu)造數(shù)列法：
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型Ⅵ 對數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類型Ⅶ 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．
類型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式
題型一：觀察法
例1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？级＃┠纤螖?shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（ ）個球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【解析】由題意知：
，
，
，
，
所以.
故選：C
例2．（2023·全國·高三專題練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（ ）
A．17B．37C．107D．128
【答案】C
【解析】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，
即是21的倍數(shù)，且，∴，
即，∴．
故選：C．
例3．（2023·全國·高三專題練習）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu).一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖中正六邊形的個數(shù)記為，所有正六邊形的周長之和?面積之和分別記為，其中圖中每個正六邊形的邊長是圖中每個正六邊形邊長的，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．存在正數(shù)，使得恒成立D．
【答案】D
【解析】A選項，圖1中正六邊形的個數(shù)為1，圖2中正六邊形的個數(shù)為7，
由題意得為公比為7的等比數(shù)列，所以，故，A錯誤；
B選項，由題意知，，，B錯誤；
C選項，為等比數(shù)列，公比為，首項為6，故，
因為，所以單調(diào)遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，C錯誤；
D選項，分析可得，圖n中的小正六邊形的個數(shù)為個，每個小正六邊形的邊長為，故每個小正六邊形的面積為，
則，D正確.
故選：D
變式1．（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學校聯(lián)考模擬預測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其各項規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【解析】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.
故，
故選：A
變式2．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【解析】設(shè)該數(shù)列為，
當為奇數(shù)時，
所以為奇數(shù)；
當為偶數(shù)時，
所以為偶數(shù)數(shù)；
所以，
故選:B.
變式3．（2023·全國·高三專題練習）若數(shù)列的前4項分別是，則該數(shù)列的一個通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為數(shù)列的前4項分別是，正負項交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，
所以對照四個選項，正確.
故選：D
變式4．（2023·全國·高三專題練習）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個數(shù)1，，，，構(gòu)成數(shù)列，其前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，
則，
所以其前n項和為：
，
則.
故選：B.
變式5．（2023·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前6項為，則數(shù)列的通項公式可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】通過觀察數(shù)列的前6項，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：
且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，故用表示各項的正負；
各項的絕對值為分數(shù)，分子等于各自的序號數(shù)，
而分母是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故第n項的絕對值是，
所以數(shù)列的通項可為，
故選：D
【解題方法總結(jié)】
觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律，求其通項．使用觀察法時要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察數(shù)列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考慮各項的變化規(guī)律與序號的關(guān)系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．
題型二：疊加法
例4．（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個通項公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意得，，，
所以依此類推得，
所以．
又也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是．
故選：C．
例5．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）若，則（ ）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【解析】由，
得，，
，，，
累加得，
，
當時，上式成立，
則，
所以.
故選：D
例6．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，故可得，，…，，及累加可得，
則，所以，
則．
故選：B．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，則當時，，
將個式子相加可得，
因為，則，當時，符合題意，
所以.
故選：D.
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當時，由累加法可得：，
所以（），
又因為，
所以（），
當時，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故選：A.
變式8．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列 滿足：，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
則，
所以.
故選：C．
【解題方法總結(jié)】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和
題型三：疊乘法
例7．（2023·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【解析】，
，
即，
可得，
.
故選：C.
例8．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，
故選：A
例9．（2023·天津濱海新·高三?？计谥校┮阎?， 則 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
【答案】D
【解析】，
，
，，
，，
顯然，當時，滿足，
∴，
.
故選：D.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【解析】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由①
②，
①②得：，
即：，
所以，
所以
故選：．
變式11．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】數(shù)列滿足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故選：D﹒
變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】數(shù)列滿足，，
整理得，，，，
所有的項相乘得：，
整理得：，
故選：．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，且，則它的前項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
因此，.
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式
題型四：待定系數(shù)法
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知：，時，，求的通項公式．
【解析】設(shè)，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3為首項， 為公比的等比數(shù)列，
∴ ，∴ ．
例11．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，，且對于時恒有，求數(shù)列的通項公式．
【解析】因為，所以，又因為，
所以數(shù)列是常數(shù)列0，所以，所以 ．
例12．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：求.
【解析】因為
所以兩邊同時加上得：，
所以，當時，
故，故，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
于是
變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項為.
(1)求通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），設(shè)，
即，即，解得，
，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.
，故.
（2），則
.
變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，a1=2，，求的通項．
【解析】因為的特征函數(shù)為：，
由，
∴
∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
∴．
變式16．（2023·江蘇南通·高三江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）因為，
所以，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以．
（2）因為，
所以
，
若對于恒成立，即，
可得即對于任意正整數(shù)恒成立，
所以，令，則，
所以，可得，所以，
所以的取值范圍為．
變式17．（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【解析】由得，又，
所以，即是等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：．
變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】因為，
設(shè)，即，
根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等則，解得，故，
所以是為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
故答案為：
變式19．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【解析】由，得，即
由所以，
于是數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
當時，,此式滿足，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．
題型五：同除以指數(shù)
例13．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】將兩邊除以，
得，則，
故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
則，
∴數(shù)列的通項公式為．
例14．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列{}中，求通項公式．
【解析】可化為：．
又
則數(shù)列是首項為，公比是2的等比數(shù)列．
∴，則．
所以數(shù)列{}通項公式為
例15．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【解析】由，可得
又，
則數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則，故．
則數(shù)列的通項公式為.
變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】解法一：因為，
設(shè)，
所以，
則，解得，
即，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：因為，兩邊同時除以得，
所以，，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，所以.
變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】解法一：設(shè)，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時除以得：，
整理得，且，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，
當時，則
，
故，
顯然當時，符合上式，故.
故答案為：.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【解析】兩邊除以，得
，則，故
，
，
則數(shù)列的通項公式為．
【解題方法總結(jié)】
形如 ，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．
題型六：取倒數(shù)法
例16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：求通項.
【解析】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項為，公差為2，
，
∴.
例17．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，求．
【解析】由已知關(guān)系式得,
所以數(shù)列是以為首項，公比為3得等比數(shù)列，故，
所以
例18．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】，，兩邊取倒數(shù)得到，
令，則，
當時，，，，
數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．
，，．
當時，，則，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，
，
，
，
，
變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．
【解析】，，則，
則，
，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
于是，．
變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【解析】為等差數(shù)列，
首項，公差為，
.
變式25．（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【解析】由，，可得，
所以，即(定值)，
故數(shù)列以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以．
故答案為：．
變式26．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）因為，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以為定值，
故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得.
（2）因為，
所以．
【解題方法總結(jié)】
對于，取倒數(shù)得．
當時，數(shù)列是等差數(shù)列；
當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．
題型七：取對數(shù)法
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和，求證：.
【解析】（1）因為，所以，
則，
又，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以；
（2）由，得，
則，
所以，
所以，
所以
，
因為，所以，
所以.
例20．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)正項數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】對任意的，，
因為，則，
所以，，且，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
例21．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．
【解析】恒成立，，則，
則，，
當時，，故，即，
取，滿足；
當且時，是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，即，
故，
故，取，得到恒成立.
綜上所述：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．
【解題方法總結(jié)】
形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
題型八：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題
例22．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是 ．
【答案】
【解析】，，且，
，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，．
時，，
且不滿足上式，所以．
故答案為：.
例23．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，，前n項和為.若，則數(shù)列的前2023項和為 .
【答案】
【解析】在數(shù)列中，又，且，
兩式相除得，，
∴數(shù)列 是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則，∴ ，
當，，
當時，，也滿足上式，
∴數(shù)列的通項公式為，
則，
數(shù)列的前2023項和為.
故答案為：
例24．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，且（），
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時，，
當時，，
故，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故；
（2）由（1）得，
故，
則，
故
，
則
變式27．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和滿足．
(1)寫出數(shù)列的前3項；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【解析】（1）由，得．
由，得，
，得．
（2）當時，有，即 ①
令，則，與①比較得，，
是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
，故．
變式28．（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）已知數(shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
【解析】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式兩邊同時除以，得．
又，所以，即，
所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
變式29．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）∵，∴
當時，，解得.
當時，，
即，
∵，∴，
∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴.
（2）因為，所以
∴當時， ，
∴
，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為.
變式30．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)已知，，求數(shù)列的前20項和.
【解析】（1）當時，可得，
當時，，
，
上述兩式作差可得，
因為滿足，所以的通項公式為.
（2），，
所以，
.
所以數(shù)列的前20項和為.
變式31．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，.證明：是等比數(shù)列.
【解析】由，當n?1時，可得??14；
當時，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，
即，即，
記，令，求出不動點，
故，又?1? ?15 ≠0，
∴數(shù)列{an?1}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
變式32．（2023·全國·高三專題練習）已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項和，且，，
(1)求數(shù)列的通項；
(2)證明：.
【解析】（1）法一：
因為，
所以當時，，
所以，，
兩式相減可得，又，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，即，
故當時，，
經(jīng)檢驗，當時，滿足上式，
所以.
法二：
因為，
所以當時，，
故，等號兩邊平方得，
設(shè)，則，又，，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故，即，則，
故，則，解得或，
當時，，則，而，矛盾，舍去，
當時，經(jīng)檢驗，滿足題意，故.
（2）由法一易知，
由法二易得，
故由（1）得，
，
所以，命題得證.
變式33．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，，在數(shù)列中，當時，成等差數(shù)列，所以，即，
所以時，，又由知時，成立，
即對任意正整數(shù)均有，
所以，從而，
即數(shù)列的通項公式為：.
（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，所以.
假設(shè)數(shù)列中存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
即，化簡得，
因為成等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，
又，所以，即，所以，所以，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以在數(shù)列中不存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
變式34．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知是數(shù)列的前項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時，，
∴，
當時，，
∴，
∴是以、公比為2的等比數(shù)列，
∴.
（2）由（1）知，，
當時，.
當時，，①
∴，②
①-②得，，
∴，當時，也適合，
∴.
變式35．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當時，，兩式相減．
整理得，
當時，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因為，
所以，
．
從而；
證法二：因為，
所以，
，證畢.
變式36．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），
當時，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數(shù)列為公差為2 的等差數(shù)列，
當時，，
所以，數(shù)列的通項公式為.
（2），
，
所以，數(shù)列的前項和.
變式37．（2023·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項的和．
【解析】（1），
兩式相減得：，
由于，則，
當時，，得，
，則，
所以是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
變式38．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和．已知．證明：是等差數(shù)列；
【解析】證明：因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
【解題方法總結(jié)】
對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時要合理選擇．一個方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨立的情況．
簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時加注的范圍．
題型九：周期數(shù)列
例25．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，故A錯誤；
，，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故B錯誤；
∵，，
∴，故C正確；
，故D錯誤．
故選：C．
例26．（2023·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，則，，，……，
故為周期為3的數(shù)列，
因為，所以.
故選：D
例27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，，則（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
即
又
是以為周期的周期數(shù)列.
故選：C
變式39．（2023·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，，，，，
數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列．
又，
．
故選：B．
變式40．（2023·江蘇淮安·高三?？茧A段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，
由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，
由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，
綜上：100年后的2122年為壬午年.
故選：A
變式41．（2023·云南昆明·昆明一中模擬預測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．1C．4043D．4044
【答案】A
【解析】由得，
兩式相加得，即，故，
所以.
故選：A．
變式42．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】由得
，
所以數(shù)列的周期為3，所以．
故選：B
【解題方法總結(jié)】
（1）周期數(shù)列型一：分式型
（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型
（3）周期數(shù)列型三：乘積型
（4）周期數(shù)列型四：反解型
題型十：前n項積型
例28．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）當時,,
∴,
當時,,
化簡得,
∵,∴,
∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,
∴.
當時,,
當時,，當時也滿足，
所以.
（2）,
設(shè)①,
則②,
①-②得,
∴.
例29．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為數(shù)列的前n項積．已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）依題意，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，
即，當時，有，兩式相除得，，
顯然，即，因此當時，，即，
所以數(shù)列的通項公式.
（2）設(shè)的前項和為，由（1）得，，于是，
因此，
則，
所以數(shù)列前項和為.
例30．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項公式．
【解析】（1）由，且，
當時，，得，
當時，，得；
（2）對于①，
當時，②，
①②得，
即，，
又，
數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；
（3）由（2）得，
，
當時，，
又時，，不符合，
.
變式43．（2023·福建廈門·高三廈門外國語學校?？计谀閿?shù)列的前n項積，且．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的通項公式．
【解析】（1）證明： 由已知條件知 ①,
于是． ②,
由①②得． ③ ，
又 ④，
由③④得，所以 ，
令，由，得，，
所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
，
法1：時，，
又符合上式，所以；
法2：將代回得：．
變式44．（2023·江蘇無錫·高三無錫市第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求的最大值．
【解析】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也滿足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，則，
記，
∴，
∴，
∴，即單調(diào)遞減，
∴的最大值為．
變式45．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項積.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，數(shù)列的前n項為，求的最小值.
【解析】（1）.
當時，；
當時，，也符合.
故的通項公式為.
（2），
，
是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，
，
當時，的最小值為.
變式46．（2023·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前n項的積，且，為數(shù)列的前n項的和，若（，）.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項公式.
【解析】（1）證明：，.
，
是等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，.
時，；
時，.
而，，，均不滿足上式.
（）.
變式47．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求的通項公式．
【解析】解析：（1）將代入，得，
整理得．
當時，得，所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
當時，；
當時，
所以．
【解題方法總結(jié)】
類比前項和求通項過程：
（1），得
（2）時，
題型十一：“和”型求通項
例31．（2023?河南月考）若數(shù)列滿足為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則 ．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案為：．
例32．（2023?南明區(qū)校級月考）若數(shù)列滿足，則 ．
【解析】解：，
則
．
故答案為：．
例33．（2023·青海西寧·二模（理））已知為數(shù)列的前項和，，，則（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【解析】當時， ，
當時，由得，
兩式相減可得
，即，
所以，可得，
所以.
故選：C.
變式48．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，，且其前項和為.若，則正整數(shù)（ ）
A．99B．103C．107D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴為等比數(shù)列，∴，
∴，，
∴，
①為奇數(shù)時，，；
②為偶數(shù)時，，，
∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時，無解，
綜上所述，.
故選：B.
變式49．（2023·黑龍江·哈師大附中高三階段練習（理））已知數(shù)列的前項和為，若，且，，則的值為
A．－8B．6C．－5D．4
【答案】C
【解析】對于，
當時有，即
，
，
兩式相減得：
，
由可得
即從第二項起是等比數(shù)列，
所以，
即，
則，故，
由可得，
故選C.
變式50．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，求通項.
【解析】因為，
所以當時，，
當時，，
兩式相減得：，
構(gòu)成以為首項，2為公差的等差數(shù)列；
構(gòu)成以為首項，2為公差的等差數(shù)列，
，
，
變式51．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，求通項.
【解析】由已知當時，可得，
當時，，
與已知式聯(lián)立，兩式相減，
得，
，
，
，
即奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是每項都等于的常數(shù)列，
偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是每項都等于的常數(shù)列，
.
【解題方法總結(jié)】
滿足，稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：
（1）“和”常數(shù)型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”換元型
題型十二：正負相間討論、奇偶討論型
例34．數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ．
【答案】
【解析】解：因為數(shù)列滿足，
當為奇數(shù)時，，
所以，，，，
則，
當為偶數(shù)時，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因為前16項和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
例35．（2023?夏津縣校級開學）數(shù)列滿足，前16項和為508，則 ．
【答案】3
【解析】解：由，
當為奇數(shù)時，有，
可得，
，
累加可得；
當為偶數(shù)時，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案為：3．
例36．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項公式.
【解析】在數(shù)列中，由，得，當時，，
兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，
所以數(shù)列的通項公式是.
變式52．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求的最小值．
【解析】（1）由題意知當時，．
設(shè)，則，所以，即．
又．
所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
所以．即．
（2）當為偶數(shù)時，，即
，
令．則可解得．即．
又因為
故的最小值為95．
變式53．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，且
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）因為
所以，，，所以．
又因為，所以，所以．
因為，所以，
又因為，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因為，所以，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，
，
所以是一個增數(shù)列，
因為，，
所以滿足題意的n的最小值是20．
變式54．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；
(2)若，且數(shù)列的前項積為，求和.
【解析】（1）由題意可得：，
是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以
是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由上可得：，
同理.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用n的奇偶分類討論，觀察正負相消的規(guī)律
（2）分段數(shù)列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列
題型十三：因式分解型求通項
例37．（2023?安徽月考）已知正項數(shù)列滿足：，，．
（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若，設(shè)．，求數(shù)列的前項和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又數(shù)列為正項數(shù)列，
，
①當時，數(shù)列不是等比數(shù)列；
②當時，，此時數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
例38．（2023?懷化模擬）已知正項數(shù)列滿足，設(shè)．
（1）求，；
（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（3）的通項公式，并求其前項和為．
【解析】解：（1），，，
可得，
則，
數(shù)列為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得；
，
，；
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，
則數(shù)列為首項為0，公差為1的等差數(shù)列；
（3），
前項和為．
例39．（2023?倉山區(qū)校級月考）已知正項數(shù)列滿足且
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若記，求數(shù)列的前項和．
【解析】證明：由，
變形得：，
由于為正項數(shù)列，，
利用累乘法得：從而得知：數(shù)列是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
從而．
變式55．已知正項數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列滿足，且．
（1）求的值及數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求．
【解析】解：（1），
當時，，，
解得．
又，，
，
當時，，
當時上式也成立，
．
（2）數(shù)列滿足，且．
．
，
當為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和為
．
當為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和為
．
當時也成立，
．
變式56．（2023?四川模擬）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足．
（1）求，及的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【解析】解：（1）當時，，
；
當時，，
；
由已知可得，且，
．
（2）設(shè)，
，
是公比為4的等比數(shù)列，
．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/7/10 10:14:40；用戶：18316341968；郵箱：18316341968；學號：32362679
【解題方法總結(jié)】
利用十字相乘進行因式分解
題型十四：其他幾類特殊數(shù)列求通項
例40．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的通項公式為 ．
【答案】
【解析】，①．②
由得．
又因為，所以是公比為，首項為的等比數(shù)列，從而，即．
故答案為：
例41．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡得，，
所以，從而，
故，
又，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，
從而，故．
故答案為：
例42．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡得：，
所以，從而，又，
所以是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故，
所以．
故答案為：
變式57．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項公式.
【解析】依題，
記，令，求出不動點；
由定理2知：
，
；
兩式相除得到，
∴是以為公比，為首項的等比數(shù)列，
∴，
從而．
變式58．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且，求其通項公式．
【解析】因為，
所以特征方程為，解得,
令，代入原遞推式得,
因為，所以，
故,
因此，，從而,
又因為，所以．
變式59．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．
【解析】令．先求出數(shù)列的不動點，解得．
將不動點代入遞推公式，得，
整理得，，
∴．
令，則，．
∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
∴的通項公式為．
將代入，得．
∴．
變式60．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，求的通項公式．
【解析】化為，即，
，可得或，（所得兩組數(shù)值代入上式等價），
不妨令，，
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則，
累加法可得：，
又符合上式，故.
變式61．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，且，，求數(shù)列的通項公式.
【解析】由于且，，故數(shù)列發(fā)生函數(shù)為
于是數(shù)列的通項為：，.
變式62．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，，求
【解析】法1：已知，所以，
則是首項為，公比為3的等比數(shù)列，
故，則，
得，
當n為奇數(shù)時，，，，，，
累加可得，，
所以，
當n為偶數(shù)時，，
綜上，；
法2：由特征根方程得，，，
所以，其中，解得，，
.
變式63．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
【解析】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，
∴存在，，兩個等比數(shù)列，， 使得成立．
變式64．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．
【解析】由題意，
，
所以，則，而，
故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．
于是．
變式65．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】令，整理得，故或，
由可得，令并將代入，可得，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，整理得.
【解題方法總結(jié)】
（1）二次型：形如
（2）三階遞推：形如型，多在大題中，有引導型證明要求
（3）“糾纏數(shù)列”：兩個數(shù)列，多為等差和等比數(shù)列，通項公式組成“方程組”
（4）數(shù)學歸納型：可以通過數(shù)學歸納法，猜想，證明（小題省略證的過程）
題型十五：雙數(shù)列問題
例43．（2023·河北秦皇島·三模）已知數(shù)列和滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；
(2)求的通項公式以及的前項和．
【解析】(1)證明：因為，
所以，即，
所以是公比為的等比數(shù)列．
將方程左右兩邊分別相減，
得，化簡得，
所以是公差為2的等差數(shù)列．
(2)由（1）知，
，
上式兩邊相加并化簡，得，
所以．
例44．（2023·全國·高三專題練習）兩個數(shù)列?滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.
【答案】
【解析】解：因為，，
所以，
所以，即，所以的特征方程為，解得特征根或，
所以可設(shè)數(shù)列的通項公式為，因為，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案為：
例45．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列和滿足，，，.則＝_______.
【答案】
【解析】，，且，，則，
由可得，代入可得，
，且，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
在等式兩邊同時除以可得，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，
所以，，，
則，
因此，.
故答案為：.
變式66．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列,滿足,且,.
(1)證明:為等比數(shù)列;
(2)求,的通項.
【解析】（1）證明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化為：，
，
為等比數(shù)列，首項為-14，公比為3.
（2）由（1）可得：，
化為：，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項為16，公比為2.
，
可得：，
.
變式67．（2023·吉林長春·模擬預測）已知數(shù)列和滿足，，，，則______，______．
【答案】
【解析】由題設(shè)，，則，而，
所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故，
，則，
令，則，
故，而，
所以是常數(shù)列，且，則.
故答案為：，.
【解題方法總結(jié)】
消元法
題型十六：通過遞推關(guān)系求通項
例46．（2023·全國·高三專題練習）某電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規(guī)律插播廣告，在第次播放了余下的x條．
(1)設(shè)第次播放后余下條，這里，，求與的遞推關(guān)系式．
(2)求這家電視臺這一天播放廣告的時段x與廣告的條數(shù)y．
【解析】（1）依題意，第次播放了，
因此，整理得．
（2）∵
，
又∵，
∴．
∴，
∴
∴．
∵當時，，與互質(zhì)，，
∴，則
即．
例47．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．
【解析】（1）由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，
所以，．
（2）由（1）知，，，
可得，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，
因為％，所以 ①，
又因為 ②．
聯(lián)立①②得，．
例48．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；
(2)求證：當n為偶數(shù)時，.
【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，
第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，
故，且
故，
，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，
由，得，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得；
（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，
則，
∵當n為偶數(shù)時，，
∴.
變式68．（2023·全國·高三專題練習）如圖，的在個頂點坐標分別為，，，設(shè)為線段BC的中點，為線段的中點，為線段的中點，對于每一個正整數(shù)，為線段的中點，令的坐標為，．

(1)求及；
(2)證明；
(3)若記，證明是等比數(shù)列．
【解析】（1）因為，
所以，，，
， ，
，
因為為線段的中點，所以，
所以，
所以為常數(shù)列，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3），
又，
所以是公比為，首項為的等比數(shù)列．
變式69．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，已知曲線及曲線．從上的點作直線平行于軸，交曲線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點，點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列．
(1)試求與之間的關(guān)系，并證明：；
(2)若，求的通項公式．
【解析】（1），從而有，在上，故，
故，
由及，知，下證：，
，故與異號，
，故，故，即；
（2），則，，
兩式相除得，，
故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則，解得．
變式70．（2023·江西·校聯(lián)考二模）小剛在閑暇之時設(shè)計了如下一個“數(shù)列”滿足：，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，有的幾率為，有的幾率為.
(1)求的分布列和數(shù)學期望.
(2)求的前n項和的數(shù)學期望.
【解析】（1）由題意，，
則有的幾率為2，有的幾率為3；
則有的幾率為1，有的幾率為4，有的幾率為5；
則有的幾率為2，有的幾率為3，有的幾率為1，有的幾率為6，有的幾率為7；
則有的幾率為1，有的幾率為2，有的幾率為3，有的幾率為4，有的幾率為5，有的幾率為8，有的幾率為9，；
所以的分布列為：
數(shù)學期望為.
（2）當時，；
當時，；
當時，由題意可得
，
則，
所以，
又成立，則，
所以 ，
令，則，
即，
令，則，
即，，
數(shù)列是以4為首項，公差為10的等差數(shù)列，
則，即，
所以，
則，
令，，，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
經(jīng)檢驗時均成立，
所以.
變式71．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）數(shù)學的發(fā)展推動著科技的進步，正是基于線性代數(shù)、群論等數(shù)學知識的極化碼原理的應(yīng)用，華為的5G技術(shù)領(lǐng)先世界．目前某區(qū)域市場中5G智能終端產(chǎn)品的制造由A公司及B公司提供技術(shù)支持．據(jù)市場調(diào)研預測，5G商用初期，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品分別占比及，假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢的體現(xiàn)每次技術(shù)更新后，上一周期采用B公司技術(shù)的產(chǎn)品中有20%轉(zhuǎn)而采用A公司技術(shù)，采用A公司技術(shù)的僅有5%轉(zhuǎn)而采用B公司技術(shù)，設(shè)第n次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為及，不考慮其它因素的影響．
(1)用表示，并求實數(shù)，使是等比數(shù)列；
(2)經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場采用A公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能否達到75%以上？若能，至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新；若不能，說明理由？（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由題意，可設(shè)5G商用初期，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比分別為．
易知經(jīng)過次技術(shù)更新后，
則，即，
由題意，可設(shè)，
所以，
又，
從而當時，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知，，
又，則，
所以經(jīng)過次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場采用A公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比．
由題意，令，得，
則，
故，即至少經(jīng)過6次技術(shù)更新，該區(qū)域市場采用A公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能達到75%以上．
【解題方法總結(jié)】
通過相鄰兩項的關(guān)系遞推
1．（2023?新課標Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項和為540，則 ．1
【答案】7
【解析】由，
當為奇數(shù)時，有，
可得，
，
累加可得
；
當為偶數(shù)時，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案為：7．
2．（2023?乙卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．求的通項公式；
【解析】在等差數(shù)列中，，．
，即，
得，，
則．
3．（2023?甲卷）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，．求的通項公式；
【解析】當時，，解得，
當時，，
，，
當時，可得，
，
當或時，，適合上式，
的通項公式為；
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）掌握數(shù)列通項的幾種常見方法．
2023年 乙卷（文）第18題，12分
2023年甲卷第17題，12分
2023年II卷第18題，12分
高考對數(shù)列通項的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．數(shù)列通項問題以解答題的形式為主，偶爾出現(xiàn)在選擇填空題當中，常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查.
1
2
3
4
5
8
9

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