\l "_Tc178500282" 01 方法技巧與總結(jié) PAGEREF _Tc178500282 \h 2
\l "_Tc178500283" 02 題型歸納與總結(jié) PAGEREF _Tc178500283 \h 4
\l "_Tc178500284" 題型一：泰勒公式 PAGEREF _Tc178500284 \h 4
\l "_Tc178500285" 題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理 PAGEREF _Tc178500285 \h 6
\l "_Tc178500286" 題型三：帕德逼近 PAGEREF _Tc178500286 \h 8
\l "_Tc178500287" 題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 PAGEREF _Tc178500287 \h 9
\l "_Tc178500288" 題型五：伯努利、琴生不等式 PAGEREF _Tc178500288 \h 11
\l "_Tc178500289" 題型六：微積分、洛必達(dá) PAGEREF _Tc178500289 \h 14
\l "_Tc178500290" 03 過關(guān)測(cè)試 PAGEREF _Tc178500290 \h 17
1、泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．
2、【極值點(diǎn)第二充分條件】已知函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且
（1）若，則在處取得極小值；
（2）若，則在處取得極大值.
3、帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）.
4、拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.
5、羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．
6、微積分
知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.
知識(shí)卡片2：一般地；如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.
知識(shí)卡片3：在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
7、伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．
8、設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則稱為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
題型一：泰勒公式
【典例1-1】英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，，（解答本題時(shí)，這些不等式根據(jù)需要可以直接使用）．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足：當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱區(qū)間為的“和諧區(qū)間”．試問是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【典例1-2】（2024·安徽·一模）給出以下三個(gè)材料：
①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；
②若，定義；
③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開式.
例如在點(diǎn)處的泰勒展開式為
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點(diǎn)處的泰勒展開式；
(2)用在點(diǎn)處的泰勒展開式前三項(xiàng)計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；
(3)現(xiàn)已知，試求的值.
【變式1-1】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，以上公式成為泰勒公式．設(shè)，，根據(jù)以上信息，并結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題．
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式1-2】18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（Brk Taylr）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．其中，f″x表示的二階導(dǎo)數(shù)，即為f'x的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)．
(1)根據(jù)公式估計(jì)的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
(2)由公式可得：，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)比較與的大小，并給出證明；
(3)已知，證明：．
【變式1-3】英國數(shù)學(xué)家泰勒（B. Taylr，1685-1731）以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），其拉格朗日余項(xiàng)是可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)不超過時(shí)，正整數(shù)n的最小值是 .
【變式1-4】英國數(shù)學(xué)家布魯克泰勒，以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，其中，（此處介于和之間）.
若取，則，其中，（此處介于0和之間）稱作拉格朗日余項(xiàng).此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式，也稱作的階麥克勞林公式.
于是，我們可得（此處介于0和1之間）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，當(dāng)不超過時(shí)，正整數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
題型二：極大值點(diǎn)的第二充分條件定理
【典例2-1】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.
(1)若函數(shù)，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
(2)已知函數(shù)，其中.
（?。┣蟮墓拯c(diǎn)；
（ⅱ）若，求證：.
【典例2-2】（2024·高二·廣東東莞·階段練習(xí)）記，為的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)，，則稱函數(shù)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有極值，求a的取值范圍.
【變式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．
題型三：帕德逼近
【典例3-1】帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）.
(1)求函數(shù)在處的階帕德近似函數(shù)；
(2)在（1）的條件下，試比較與的大??；
(3)在（1）的條件下，若在上存在極值，求m的取值范圍.
【典例3-2】帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù).
【變式3-1】給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在x=0處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，.已知在x=0處的階帕德近似注：，，，，…
(1)求，，的值；
(2)比較的大小，并說明理由；
(3)求不等式的解集，其中
【變式3-2】帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，…，（注：，，，，…，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值，并估計(jì)的近似值（保留三位小數(shù)）；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
題型四：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個(gè)分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．羅爾定理描述如下：如果 上的函數(shù)滿足以下條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)，②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，③，則至少存在一個(gè)，使得．據(jù)此，解決以下問題：
(1)證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中；
(2)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．
【典例4-2】（2024·高三·陜西安康·開學(xué)考試）定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得這是以法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾的名字命名的一個(gè)重要定理，稱之為羅爾定理，其在數(shù)學(xué)和物理上有著廣泛的應(yīng)用．
(1)設(shè)，記的導(dǎo)數(shù)為，試用上述定理，說明方程根的個(gè)數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間；
(2)如果在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為，試用上述定理證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；
(3)利用（2）中的結(jié)論，證明：當(dāng)時(shí)，．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【變式4-1】利用拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家，1736-1813）插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式.
(1)若，，，，，把的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于f的函數(shù)，并求的值域（此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示）；
(2)若，，，，求證：.
【變式4-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
題型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·山東濰坊·三模）一個(gè)完美均勻且靈活的項(xiàng)鏈的兩端被懸掛， 并只受重力的影響，這個(gè)項(xiàng)鏈形成的曲 線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程 ，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù) ，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)類比三角函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：
①倍角公式 ；
②平方關(guān)系 ；
③求導(dǎo)公式
寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)正確的性質(zhì)并證明；
(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，證明：
【典例5-2】伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數(shù)學(xué)家伯努利發(fā)現(xiàn)并提出．伯努利不等式在證明數(shù)列極限、函數(shù)的單調(diào)性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．伯努利不等式的一種常見形式為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)．
(1)假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口萬，且人口的年平均增長(zhǎng)率為，以此增長(zhǎng)率為依據(jù)，試判斷年后該地區(qū)人口的估計(jì)值是否能超過萬？
(2)數(shù)學(xué)上常用表示，，，的乘積，．
①證明：；
②數(shù)列，滿足：，，證明：．
【變式5-1】自然常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是極為重要的常數(shù)，通常稱為歐拉數(shù).它的發(fā)現(xiàn)和研究跨越了多個(gè)世紀(jì)，涉及了眾多數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，從雅各布·伯努利的早期工作到萊昂哈德·歐拉的深入研究，再到現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對(duì)其性質(zhì)的進(jìn)一步探索，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和發(fā)展，以及數(shù)學(xué)精神的傳承.瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利于1683年通過研究復(fù)利首先發(fā)現(xiàn)，即是數(shù)列的極限.
(1)證明：；
(2)已知函數(shù).
①若，證明：；
②討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【變式5-2】臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設(shè)，求W=的最小值.
(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）
(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式5-3】設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則稱為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
(1)證明：在上為凹函數(shù)；
(2)設(shè)，且，求的最小值；
(3)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：.（提示：可設(shè)）
題型六：微積分、洛必達(dá)
【典例6-1】①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有一結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則；
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：
(1)證明不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)記，；求證：.
【典例6-2】英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家艾薩克?牛頓與德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家戈特弗里德?萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)明了微積分．其中牛頓在《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》（The Methd f Fluxins and Inifinite Series）一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．如圖，具體做法如下：先在x軸找初始點(diǎn)，然后作y=fx在點(diǎn)處切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作y=fx在點(diǎn)處切線，切線與x軸交于點(diǎn)，再作y=fx在點(diǎn)處切線，以此類推，直到求得滿足精度的零點(diǎn)近似解為止．
(1)設(shè)函數(shù)，初始點(diǎn)，若按上述算法，求出的一個(gè)近似值（精確到0.1）；
(2)如圖，設(shè)函數(shù)，初始點(diǎn)為，若按上述算法，求所得前n個(gè)三角形，，……，的面積和；
(3)設(shè)函數(shù)，令，且，若函數(shù)，，設(shè)曲線的一條切線方程為，證明：當(dāng)時(shí)，．
【變式6-1】（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【變式6-2】（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．
(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；
(2)已知函數(shù)，其中．
①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線y=fx在x1,fx1和x2,fx2處的切線均不重合；
②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”為（ ）
A．1B．eC．D．
2．兩個(gè)無窮小之比或兩個(gè)無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法，如，則（ ）
A．B．C．1D．2
3．兩個(gè)無窮小之比或兩個(gè)無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則，即在一定條件下通過對(duì)分子?分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法，如，則（ ）
A．B．C．1D．2
4．拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容為：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫作在上“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的拉格朗日中值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．
5．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：如果函數(shù)滿足如下兩個(gè)條件：（1）其圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個(gè)數(shù)，使得，其中稱為拉格朗日中值.函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值 .
6．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中給出一個(gè)定理：如果函數(shù)滿足如下條件：
（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；
（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).
則在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，其中稱為“拉格朗日中值”.函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值” .
7．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
8．丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號(hào)為 .
①函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；
②函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為；
③函數(shù)在為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.
9．（2024·云南紅河·三模）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號(hào)為 .
①函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；
②函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為；
③函數(shù)在為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.
10．年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
11．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，其中.這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.
(1)用前三項(xiàng)計(jì)算；
(2)已知，，，試比較，，的大小.
12．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．以上公式稱為泰勒公式．設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題．
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：：
(3)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)是0．
13．（2024·高三·遼寧沈陽·開學(xué)考試）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處及其附近可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的秦勒展開式．
(1)分別求在處的泰勒展開式；
(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：．（其中為虛數(shù)單位）；
(3)當(dāng)時(shí)，求證：．（參考數(shù)據(jù)）
14．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．以上公式稱為泰勒公式．設(shè)，，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題：
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．
15．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊形式，的麥克勞林展開式為：，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開式的第項(xiàng)．例如：．
(1)請(qǐng)寫出的麥克勞林展開式中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)；
(2)數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開式為，這意味著：當(dāng)時(shí)，，你能幫助數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組完成對(duì)此不等式的證明嗎？
(3)當(dāng)時(shí)，若，求整數(shù)的最大值．
16．帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，.（注：，，，，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為實(shí)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.
17．（2024·福建廈門·三模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)，證明：；
(3)已知是方程的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.
18．帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中，
19．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家帕德發(fā)明的用多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…已知在處的階帕德近似為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并證明；
(3)已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，求證：．
20．帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的階帕德近似.
(2)在（1）的條件下： ①求證：；
②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．羅爾 中值定理是微分學(xué)中的一條重要定理，根據(jù)它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它們被稱為微分學(xué)的三大中值定理. 羅爾中值定理的描述如下：如果函數(shù) 滿足三個(gè)條件①在閉區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的，②在開區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，③，那么在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得等式成立.
(1)設(shè)方程 有一個(gè)正根，證明：方程 必有一個(gè)小于的正根.
(2)設(shè)函數(shù)是定義在上的連續(xù)且可導(dǎo)函數(shù)，且.證明：對(duì)于，方程 在 內(nèi)至少有兩個(gè)不同的解.
(3)設(shè)函數(shù).證明：函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).
22．羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．
(1)運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在，使得．
(2)已知函數(shù)，若對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
23．已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的在點(diǎn)處的切線；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；若不是，說明理由.
24．函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”．試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．
28．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：
如果函數(shù)滿足如下條件：
①的圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；
②在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).
則在區(qū)間上至少存在一個(gè)數(shù)，使得.
這就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中稱為拉格朗日中值.
請(qǐng)閱讀以上內(nèi)容，回答以下問題:
⑴函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值為 ；
⑵下列函數(shù)，是否存在以0為拉格朗日中值的區(qū)間?若存在，請(qǐng)將函數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)全部填在橫線上 .
①； ②； ③； ④； ⑤
29．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:
如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；
(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；
(3)若，且，求證:.
30．變分法是研究變?cè)瘮?shù)達(dá)到極值的必要條件和充要條件，歐拉、拉格朗日等數(shù)學(xué)家為其奠定了理論基礎(chǔ)，其中“平緩函數(shù)”是變分法中的一個(gè)重要概念．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意的均成立，則稱是“平緩函數(shù)”．
(1)若．試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由；（參考公式：①時(shí)，恒成立；②．）
(2)若函數(shù)是周期為2的“平緩函數(shù)”，證明：對(duì)定義域內(nèi)任意的，均有；
(3)設(shè)為定義在上的函數(shù)，且存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”．現(xiàn)定義數(shù)列滿足：，試證明：對(duì)任意的正整數(shù)．
（參考公式：且時(shí)，．）
31．已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)伯努利不等式是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出的，是分析不等式中最常見的一種不等式．伯努利不等式的一般形式為：若且為正整數(shù)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立．
（?。┳C明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ⅱ）已知時(shí)，，證明：．
32．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)（計(jì)算時(shí)相當(dāng)于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).
(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個(gè)變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說明其為常數(shù).
(2)求值：對(duì)的偏導(dǎo)數(shù).
(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價(jià)值.在幾何學(xué)中，某個(gè)平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少有一點(diǎn)相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡(luò)線為.不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任何一個(gè)給定的的值，包絡(luò)線與原曲線的切點(diǎn)的總是對(duì)應(yīng)值在參數(shù)取遍后得到的極值.已知函數(shù)的包絡(luò)線為.
（i）求證：.
（ⅱ）設(shè)的極值點(diǎn)構(gòu)成曲線，求證：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
33．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓與德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)明了微積分，其中牛頓在《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.如圖，具體做法如下：一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)為，先在軸找初始點(diǎn)，然后作y=fx在點(diǎn)處切線，切線與軸交于點(diǎn)，再作y=fx在點(diǎn)處切線，切線與軸交于點(diǎn)，再作y=fx在點(diǎn)處切線，以此類推，直到求得滿足精度的零點(diǎn)近似解為止.
(1)設(shè)函數(shù)，初始點(diǎn)，精度，若按上述算法，求函數(shù)的零點(diǎn)近似解滿足精度時(shí)的最小值（參考數(shù)據(jù)：）；
(2)設(shè)函數(shù)，令，且，若函數(shù)，，證明：當(dāng)時(shí)，.
34．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列極限理論是數(shù)學(xué)中重要的理論之一，它研究的是數(shù)列中數(shù)值的變化趨勢(shì)和性質(zhì)．?dāng)?shù)列極限概念作為微積分的基礎(chǔ)概念，它的產(chǎn)生與建立對(duì)微積分理論的創(chuàng)立有著重要的意義．請(qǐng)認(rèn)真理解下述3個(gè)概念．
概念1：對(duì)無窮數(shù)列an，稱為數(shù)列an的各項(xiàng)和．
概念2：對(duì)一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，如果當(dāng)趨于正無窮大時(shí)，的值無限趨近于一個(gè)常數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，就說常數(shù)是的極限值，記為．如：，當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，即記為．當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，．
概念3：對(duì)無窮數(shù)列an，其各項(xiàng)和為，若當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），即，則稱該數(shù)列的和是收斂的，為其各項(xiàng)和的極限；若當(dāng)時(shí)，其各項(xiàng)和的極限不存在，則稱該數(shù)列的和是發(fā)散的，其各項(xiàng)和的極限不存在．
試根據(jù)以上概念，解決下列問題：
(1)在無窮數(shù)列an中，，求數(shù)列an的各項(xiàng)和的極限值；
(2)在數(shù)列bn中，，討論數(shù)列bn的和是收斂的還是發(fā)散的；
(3)在數(shù)列中，，求證：數(shù)列的和是發(fā)散的．

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專題04 高等數(shù)學(xué)定理背景命題（六大題型）-2024年新高考數(shù)學(xué)突破新定義壓軸題綜合講義：

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