1．袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】從袋中任取個(gè)球，
共有如下情況.
其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，
此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.
故答案為：.(答案不唯一)
2．從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為 ．
【答案】
【解析】由分析可知取出的件產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)為，，，，，
所以樣本空間為，
故答案為：.
3．將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為 .
【答案】
【解析】因?yàn)閷⒁幻队矌艗伻?，其正面朝上的次?shù)可能為，
所以該試驗(yàn)樣本空間為.
故答案為：.
題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
4．拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（ ）
A．B．
C．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3
【答案】C
【解析】由題意可知，，，，，
所以，，2，，
則表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3，故ABD錯(cuò)誤，C正確．
故選：C．
5．已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生
B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生
C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生
D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生
【答案】D
【解析】由已知可得A?C，又因?yàn)锳?B，B?C，如圖事件A，B，C用集合表示：
則選項(xiàng)A，B正確，
事件，則C正確，D錯(cuò)誤
故選：D．
6．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，
顯然，，，C不含于A.
故選：D
題型三：頻率與概率
7．（2024·高三·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為 .
【答案】
【解析】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，
故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.
故答案為：
8．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：


據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為 .
【答案】/
【解析】組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是、、、、，
其頻率為，以此估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為.
故答案為：
9．一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是 ．
【答案】0.386/
【解析】由題意可得沒有明顯療效的人數(shù)為，
所以沒有明顯療效的頻率為，
故答案為：0.386
10．若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即 ．
【答案】
【解析】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會在隨機(jī)事件發(fā)生的概率
附近擺動并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的
頻率來估計(jì)事件A的概率，即.
故答案為：
題型四：生活中的概率
11．某地區(qū)?；寄撤N病的概率為0.25，且每頭牛患病與否是互不影響的，今研制一種新的預(yù)防藥，任選12頭牛做試驗(yàn)，結(jié)果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥 (填“有效”或“無效”)．
【答案】有效
【解析】若此藥無效，則頭牛都不患病的概率為，這個(gè)概率很小，
故該事件基本上不會發(fā)生，所以此藥有效．
故答案為：有效.
12．有以下說法：
①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；
②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎(jiǎng)；
③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為；
④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．
其中錯(cuò)誤說法的序號是 .
【答案】①②③
【解析】①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯(cuò)誤；
②中“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會中獎(jiǎng)，但不一定買100張彩票一定有1張會中獎(jiǎng)，故②錯(cuò)誤；
③中正面朝上的頻率為，概率仍為，故③錯(cuò)誤；
④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正確.
故答案為：①②③
13．在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1~12這12個(gè)數(shù)字，其中2，4，6，8，10，12這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽.游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù).例如：你轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，依此類推.請問：小明在玩這個(gè)游戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽的概率是 .
【答案】0
【解析】根據(jù)游戲規(guī)則,轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域,而得到隨身聽對應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù),即可求得 轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域,
又 得到隨身聽對應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù),
得到的獎(jiǎng)品為隨身聽的概率為.
故答案為:.
14．某射擊教練評價(jià)一名運(yùn)動員時(shí)說：“你射中的概率是90%．”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表教練的觀點(diǎn) （填序號）．
①該射擊運(yùn)動員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；
②該射擊運(yùn)動員射擊一次，中靶的機(jī)會是90%．
【答案】②
【解析】射中的概率是90%說明中靶的可能性大小，即中靶機(jī)會是90%，
所以①不正確，②正確.
故答案為：② .
題型五：互斥事件與對立事件
15．從裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子里摸出3個(gè)球，則以下哪個(gè)選項(xiàng)中的事件A與事件B互斥卻不互為對立（ ）
A．事件A：3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至少有1個(gè)白球
B．事件A：3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中恰有1個(gè)白球
C．事件A：3個(gè)球中至多有2個(gè)紅球：事件B：3個(gè)球中至少有2個(gè)白球
D．事件A：3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中至多有1個(gè)白球
【答案】B
【解析】對于A，事件與事件可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
對于B，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但不是一定有一個(gè)發(fā)生，還有可能是3個(gè)白球或3個(gè)紅球，所以事件與事件互斥卻不互為對立，故B正確；
對于C，事件與事件可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件與事件不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
對于D，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，所以事件與事件是互斥事件也是對立事件，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
16．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的事件（ ）
A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球
B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球
C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球
D．至少有一個(gè)黑球與都是白球
【答案】C
【解析】A選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球包括一個(gè)黑球一個(gè)白球和兩個(gè)黑球兩種情況，與都是黑球不互斥，故A錯(cuò)；
B選項(xiàng)，至少有一個(gè)白球包括一個(gè)白球一個(gè)黑球和兩個(gè)白球兩種情況，與至少有一個(gè)黑球不互斥，故B錯(cuò)；
C選項(xiàng)，恰好有一個(gè)黑球、恰好有兩個(gè)黑球還有恰好沒有黑球這種情況，所以互斥但不對立，故C正確；
D選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球和都是白球互斥且對立，故D錯(cuò).
故選：C.
17．王老師從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪．事件表示“抽中甲、乙兩位同學(xué)”，事件表示“抽中甲、丙兩位同學(xué)”，則（ ）
A．是必然事件B．是不可能事件
C．與是互斥事件D．與是對立事件
【答案】C
【解析】從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），（乙丙）}，
對于A，是不一定發(fā)生，故不是必然事件，
對于B，是可能發(fā)生，所以不是不可能事件，
對于C，與不能同時(shí)發(fā)生，故與是互斥事件，
對于D, 與不能同時(shí)發(fā)生，但不是全部事件，所以不是對立事件，
故選：C
18．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，，
又，所以，解得，
所以.
故選：D.
題型六：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率
19．甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.7，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為 .
【答案】0.245/
【解析】由題意知甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”，
設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.7，客場取勝的概率為0.5，
則甲隊(duì)前5場比賽，第一場負(fù)，另外四場全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場比賽，第二場負(fù)，另外四場全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場比賽，第三次場，另外四場全勝概率為
，
甲隊(duì)前5場比賽，第四次場，另外四場全勝概率為
所以甲隊(duì)以4：1獲勝的概率
.
故答案為：0.245
20．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來無數(shù)文人墨客都醉心于嵊州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩曰：剡溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千年唐詩路之謝靈運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為 .
【答案】
【解析】甲乙打卡相同景點(diǎn)的概率為，
所以甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為.
故答案為：
21．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機(jī)會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨(dú)立的，則李華最終通過面試的概率為 .
【答案】
【解析】依題意，李華3道題都沒有答對的概率為，
所以李華最終通過面試的概率為.
故答案為：.
22．甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲投中的概率為23，乙投中的概率為，甲、乙兩人各投籃1次，甲、乙之間互不影響，已知兩人至少有一人投中，則甲投中的概率 .
【答案】
【解析】“至少有一人命中的”的對立事件是“兩人都沒有命中”，兩人都沒有命中的概率，
所以“至少有一人命中的”概率.
所以兩人至少有一人投中，甲投中的概率為
故答案為：
23．已知事件和事件相互獨(dú)立，表示事件的對立事件，，，則 .
【答案】/0.125
【解析】由事件和事件相互獨(dú)立，則事件和事件也相互獨(dú)立.
所以.
故答案為：
24．有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，則恰好有一顆發(fā)芽的概率是 ．
【答案】0.26/
【解析】有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，
則恰好有一顆發(fā)芽的概率是.
故答案為：.
1．某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：．
故選：C.
2．從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則是（ ）
A．4個(gè)球不都是紅球的概率B．4個(gè)球都是紅球的概率
C．4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率D．4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率
【答案】C
【解析】4個(gè)球都是紅球的概率為，故B錯(cuò)誤；
4個(gè)球不都是紅球的概率為，故A錯(cuò)誤；
4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率為，故C正確；
4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（ ）
A．0.5B．0.6C．0.57D．0.575
【答案】D
【解析】由題意知，
一二局甲勝的概率為：，
一三局甲勝的概率為：，
二三局甲勝的概率為：，
因此最終甲勝的概率為，
故選：D.
4．有—個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非對立事件B．對立事件
C．非互斥事件D．以上都不對
【答案】A
【解析】因?yàn)榧住⒁?、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，
所以事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)都不發(fā)生，故事件“甲向南”與事件“乙向南”是互斥但非對立事件；
故選：A
5．投擲一枚均勻硬幣和一個(gè)均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的對立事件是事件，都不發(fā)生，
而事件不發(fā)生的概率為，事件不發(fā)生的概率為，
所以事件，都不發(fā)生的概率為，
故事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是，故D正確.
故選：D
6．甲袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，乙袋中裝有個(gè)白球，個(gè)黑球，現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球，“兩球同色”，“兩球異色”，則與的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．視，的大小而定
【答案】A
【解析】設(shè)“取出的都是白球”，“取出的都是黑球”，則，互斥且，
．
設(shè)“從甲袋取出白球，乙袋取出黑球”，
“從甲袋取出黑球，乙袋取出白球”，則，互斥且
．
由于，故．
故．
故選：A.
7．在如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲熔斷的概率，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．A，B兩個(gè)盒子并聯(lián)后FG 段暢通的概率為
B．D，E兩個(gè)盒子串聯(lián)后GH 段暢通的概率為
C．C，D，E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK 段暢通的概率為
D．當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率大于整個(gè)電路不通的概率
【答案】D
【解析】對于A，A，B兩個(gè)盒子并聯(lián)后FG 段暢通的概率為，A錯(cuò)誤；
對于B，D，E兩個(gè)盒子串聯(lián)后GH段暢通的概率為，B錯(cuò)誤；
對于C，由選項(xiàng)B知，GH 熔斷的概率為，
因此C，D，E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK 段暢通的概率為，C錯(cuò)誤；
對于D，由選項(xiàng)AC知，整個(gè)電路暢通的概率為不通的概率為，D正確.
故選：D
8．已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，丙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場上買到一個(gè)產(chǎn)品，此產(chǎn)品是次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題知，產(chǎn)品是次品的概率是，
故選：D.
9．（多選題）在某次英語四級考試中，若甲、乙、丙通過考試的概率分別為，且成等比數(shù)列，三人各自是否通過這次考試相互獨(dú)立，則（ ）
A．
B．甲、乙都通過這次考試的概率為0.24
C．甲、丙都不通過這次考試的概率為0.12
D．乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為0.96
【答案】BD
【解析】因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，
所以，解得，故A錯(cuò)誤；
所以甲、乙都通過這次考試的概率為，故B正確；
所以甲、丙都不通過這次考試的概率為，故C錯(cuò)誤；
所以乙、丙中至少有一人通過這次考試的概率為，故D正確.
故選：BD.
10．（多選題）已知事件兩兩互斥，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)槭录蓛苫コ?，所?因?yàn)椋?，所以，則正確.
因?yàn)椋?，所以，則正確.
因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，則錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以，則正確.
故選：ABD
11．（多選題）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說法正確的是（ ）
A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”是互斥而不對立的事件
B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件
C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而且是對立的事件
D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對立事件
【答案】BD
【解析】“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”與“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”，“至少有一個(gè)紅球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)紅球”，可以同時(shí)發(fā)生，故B正確；
“恰好有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球”，與“恰好有兩個(gè)黑球”，不同時(shí)發(fā)生，還有可能都是紅球，不是對立事件，故C錯(cuò)誤；
“至少有一個(gè)黑球”等價(jià)于“一個(gè)黑球和一個(gè)紅球或兩個(gè)黑球”，與“都是紅球”，不同時(shí)發(fā)生，但一定會有一個(gè)發(fā)生，是對立事件，故D正確．
故選：BD．
12．在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲?乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取?然后甲再取，…，每次取1個(gè)，取后不放回．直到2個(gè)白球都被取出來后就停止取球，則2個(gè)白球都被乙取出的概率為 ；將球全部取出才停止取球的概率為 ．
【答案】 / /
【解析】若2個(gè)白球都被乙取出，則第一次甲取出紅球，第二次乙取出白球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出白球，結(jié)束取球，其概率為．
若將球全部取出才停止取球，則最后一次即第5次取出的一定是白球．
四種情況：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，
其概率為；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，
其概率為；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，
其概率為；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，
其概率為；
故所求概率為．
故答案為：；.
13．小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的概率為
【答案】/0.56
【解析】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.
則小耿與小吳恰有1人會答的概率為.
故答案為：.
14．某校組織羽毛球比賽，每場比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．則打完4場結(jié)束比賽的概率為 ．
【答案】
【解析】令事件為一方在第i局獲勝，，
則連勝兩局的概率，解得，
若打完4場結(jié)束比賽，則需一方以獲勝，因此則第4場必須是勝，前3場勝2場即可，
其中一方在第1、2、4場獲勝的概率，
其中一方在第1、3、4場獲勝的概率，
其中一方在第2、3、4場獲勝的概率，
所以打完4場結(jié)束比賽的概率，
故答案為：.
15．下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果．
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)該植物的種子發(fā)芽的概率為 （精確到0.1）．
【答案】
【解析】在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)數(shù)，
在它附近擺動，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率；
觀察表格得到某種植物發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在附近，進(jìn)而求解即可.
故答案為：
1．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（浙江卷））從存放號碼分別為1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
【答案】A
【解析】由題意知，
∵有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，
∴總次數(shù)是100，
由表可以看出取到號碼為奇數(shù)有13＋5＋6＋18＋11＝53種結(jié)果，
所以頻率，
故選：A．
2．（2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué)）兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】記兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的事件為A，
即僅第一個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品(A1)與僅第二個(gè)實(shí)習(xí)生加工一等品(A2)兩種情況，
則P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=
故選B.
3．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷I））從某自動包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為 ．
【答案】 /
【解析】通過統(tǒng)計(jì)，可知自動包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的共有 袋，
所以袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率為，
根據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為： .
4．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為 ；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為 ．
【答案】
【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，
且兩球是否落入盒子互不影響，
所以甲、乙都落入盒子的概率為，
甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，
所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.
故答案為：；.
5．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（陜西卷））某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為，且各輪問題能否回答正確互不影響．
(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；
(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．
【解析】（1）記表示該選手能正確回答第個(gè)問題，則
．
該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰就是前三輪答題成功，第四輪沒有成功，
各輪問題能否回答正確互不影響，
所以所求概率是.
（2）該選手至多進(jìn)入第三輪考核，即可能第一輪被淘汰，可能第二輪被淘汰，
可能第三輪被淘汰，這三種情況又是互斥的，
所以所求概率為
．
6．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷Ⅱ））從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取件，假設(shè)事件：“取出的件產(chǎn)品中至多有件是二等品”的概率．
(1)求從該批產(chǎn)品中任取件是二等品的概率；
(2)若該批產(chǎn)品共有件，從中任意抽取件，求事件：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率．
【解析】（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”．
則，互斥，且，
故
所以，
解得或（舍去）．
（2）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，
則．
若該批產(chǎn)品共件，由（1）知其中二等品有件，
故，所以.
7．（2006 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（遼寧卷））甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，參賽同學(xué)成績及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績相互之間沒有影響．求：
(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率；
(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率．
【解析】（1）甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績及格的概率，
乙班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績及格的概率，
所以甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率.
（2）甲、乙兩班4名同學(xué)成績不及格的概率，
所以甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率.
8．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖南卷））某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須整改．若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)制關(guān)閉．設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：
(1)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
(2)某煤礦不被關(guān)閉的概率；
(3)至少關(guān)閉一家煤礦的概率．
【解析】（1）依題意，可知每家煤礦必須整改的概率為，且每家煤礦安檢是否必須整改是相互獨(dú)立的，
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率為.
（2）某煤礦被關(guān)閉的原因是，兩次安檢都不合格，
所以某煤礦被關(guān)閉的概率為，
故某煤礦不被關(guān)閉的概率為.
（3）由（2）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是，且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，
所以家煤礦都不被關(guān)閉的概率為，
故至少關(guān)閉一家煤礦的概率為.
9．（2003 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（天津卷））有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)．
(1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.001）
【解析】（1）由題意知，設(shè)恰好有一件產(chǎn)品不合格的概率為，則
，
所以恰好有一件產(chǎn)品不合格的概率為0.176；
（2）由題意知，設(shè)至少有兩件產(chǎn)品不合格的概率為，則
.
所以至少有兩件產(chǎn)品不合格的概率為0.012.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179382120" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc179382120 \h 2
\l "_Tc179382121" 題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 PAGEREF _Tc179382121 \h 2
\l "_Tc179382122" 題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 PAGEREF _Tc179382122 \h 2
\l "_Tc179382123" 題型三：頻率與概率 PAGEREF _Tc179382123 \h 3
\l "_Tc179382124" 題型四：生活中的概率 PAGEREF _Tc179382124 \h 5
\l "_Tc179382125" 題型五：互斥事件與對立事件 PAGEREF _Tc179382125 \h 6
\l "_Tc179382126" 題型六：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率 PAGEREF _Tc179382126 \h 8
\l "_Tc179382127" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc179382127 \h 10
\l "_Tc179382128" 03 真題實(shí)戰(zhàn)練 PAGEREF _Tc179382128 \h 17
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
種子個(gè)數(shù)n
100
400
900
1500
2500
4000
發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m
92
352
818
1336
2251
3601
發(fā)芽種子頻率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
卡片號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次數(shù)
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9

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