1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分
【備考策略】1.理解隨機事件的定義
2.能正確區(qū)分必然事件、不可能事件、互斥事件與對立事件
3.理解頻率與概率的意義
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般結合后面學的互斥事件、獨立事件及概率的相關計算一起考查，需強化概念理解
知識講解
1．事件的分類
2.事件的關系與運算
互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．
考點一、事件的判斷
1．從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3個都是男生B．至少有1個男生C．3個都是女生D．至少有1個女生
2．有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標準大氣壓下，水在結冰；④買了一注彩票就得了特等獎．
其中是隨機事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？
（1）拋擲一塊石子，下落；.
（2）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；
（3）某人射擊一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；
（6）拋擲兩枚骰子，點數(shù)之和為15；
（7）從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽；
（8）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；
（9）綠葉植物，不會光合作用；
（10）在常溫下，焊錫熔化；
（11）若為實數(shù)，則；
（12）某人開車通過十個路口，都遇到綠燈；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；隨機事件有
考點二、事件的關系和運算
1．（2024·重慶·模擬預測）對于兩個事件，則事件表示的含義是（ ）
A．A與B同時發(fā)生B．A與B有且僅有一個發(fā)生
C．A與B至少一個發(fā)生D．A與B不能同時發(fā)生
2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對立事件
3．（21-22高一下·河南安陽·期末）從一批產(chǎn)品中逐個不放回地隨機抽取三件產(chǎn)品，設事件A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，事件D為“第一件是次品”則下列結論正確的是（ ）
A．B與D相互獨立B．B與C相互對立
C．D．
4．（21-22高一下·全國·開學考試）（多選）在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3件產(chǎn)品，設事件“3件產(chǎn)品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，則下列結論正確的是（ ）
A．與為對立事件B．與不是互斥事件
C．D．
5．（2024·河北滄州·一模）（多選）某學校為了豐富同學們的課外活動，為同學們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與是對立事件
C．D．
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）不透明盒子中裝有除顏色外完全相同的2個紅球、2個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取2個球．記事件：至少一個紅球，事件：一個紅球一個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．與互斥D．與獨立
2．（2023·四川內(nèi)江·三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件
C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
3．（2023·廣西柳州·模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D．恰有1本政治與恰有2本政治
4．（2024·全國·模擬預測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（ ）
A．為不可能事件B．與為互斥事件
C．為必然事件D．與為對立事件
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多選）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（ ）
A．B．與是互斥事件
C．D．與是互斥事件，且是對立事件
考點三、頻率與概率
1．（2022·山東威海·三模）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·湖北武漢·期中）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
3．（2021·全國·模擬預測）某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
1．（23-24高二上·四川達州·階段練習）某人拋擲一枚硬幣80次，結果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為 ．
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為 .
3．（2023·陜西西安·模擬預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為 ．（小數(shù)點后保留一位小數(shù)）
1．（22-23高二下·湖北荊州·階段練習）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.56，0.56B．0.56，0.5
C．0.5，0.5D．0.5，0.56
2．（24-25高三上·重慶·開學考試）某池塘中飼養(yǎng)了A?B兩種不同品種的觀賞魚，假設魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東?南?西三個采樣點捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
3．（23-24高二上·廣東清遠·階段練習）下列說法：①必然事件的概率為．②如果某種彩票的中獎概率為，那么買張這種彩票一定能中獎．③某事件的概率為．④互斥事件一定是對立事件．其中正確的說法是（ ）
A．①②③④B．①C．③④D．①④
4．（23-24高二上·河南信陽·階段練習）同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有( )
A．B．C． D．與之間沒有關系
5．（2023·山東·模擬預測）已知事件滿足，，則（ ）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若與相互獨立，則
D．若，則與不相互獨立
6．（23-24高二下·上?！て谥校┏鼍砝蠋熃裉熨I了一張刮刮樂彩票，刮出500元的概率是，則這件事 發(fā)生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
7．（22-23高三上·河南鄭州·階段練習）有下列事件：
①在標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰；
②實數(shù)的絕對值不小于零；
③某彩票中獎的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎；
④連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點向上．
其中必然事件是 ．
8．（2020高三·全國·專題練習）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網(wǎng)絡上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有 人．
9．（2023·全國·模擬預測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個黑球和個白球，每個被調(diào)查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計概率） ．
10．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)是4或5或6”為事件A，“向上的點數(shù)是1或2”為事件B，“向上的點數(shù)是1或2或3或4”為事件C，“向上的點數(shù)大于3”為事件D，則下列結論正確的是 .（填序號）①A與B是互斥事件，但不是對立事件；②；③A與C是互斥事件；④.
1．某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間內(nèi)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則（ ）
A．100B．300C．400D．600
2．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數(shù)為”，其中；“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)大于4” 下列結論是判斷錯誤的是 （ ）
A．與互斥B．，
C．D．，為對立事件
4．（多選）某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·云南昆明·三模）（多選）在一個有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（ ）
A．B．A與相互獨立
C．D．
1．（重慶·高考真題）從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
2．（浙江·高考真題）從存放號碼分別為1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
3．（湖北·高考真題）我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
4．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
5．（全國·高考真題）從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為
5年考情
考題示例
考點分析
關聯(lián)考點
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分
抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算
分步乘法計數(shù)原理及簡單應用
實際問題中的組合計數(shù)問題
確定事件
必然事件
在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件
不可能事件
在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件
隨機事件
在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件
定義
符號表示
包含關系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
最高氣溫
天數(shù)
4
5
25
38
18
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
采樣點
品種A
品種B
東
20
9
南
7
3
西
17
8
最高氣溫
天數(shù)
3
6
25
38
18
投籃次數(shù)
投中兩分球的次數(shù)
投中三分球的次數(shù)
100
55
18
卡片號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次數(shù)
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
第04講 隨機事件、頻率與概率
（3類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分
【備考策略】1.理解隨機事件的定義
2.能正確區(qū)分必然事件、不可能事件、互斥事件與對立事件
3.理解頻率與概率的意義
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般結合后面學的互斥事件、獨立事件及概率的相關計算一起考查，需強化概念理解
知識講解
1．事件的分類
2.事件的關系與運算
互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
頻率與概率
(1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．
考點一、事件的判斷
1．從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3個都是男生B．至少有1個男生C．3個都是女生D．至少有1個女生
【答案】B
【分析】根據(jù)題意及必然事件的概念即可得解．
【詳解】從5個男生、2個女生中任選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個男生是必然事件，
故選：B．
2．有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標準大氣壓下，水在結冰；④買了一注彩票就得了特等獎．
其中是隨機事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)事件的知識求得正確答案.
【詳解】①④是隨機事件，②為必然事件，③為不可能事件.
故選：B
1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？
（1）拋擲一塊石子，下落；.
（2）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；
（3）某人射擊一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；
（6）拋擲兩枚骰子，點數(shù)之和為15；
（7）從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽；
（8）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；
（9）綠葉植物，不會光合作用；
（10）在常溫下，焊錫熔化；
（11）若為實數(shù)，則；
（12）某人開車通過十個路口，都遇到綠燈；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；隨機事件有
【答案】 （1）、（4）、（11） （2）、（6）、（9）、（10） （3）、（5）、（7）、（8）、（12）
【分析】由必然事件，不可能事件以及隨機事件的概念逐一判斷即可.
【詳解】（1）拋擲一塊石子，下落，是必然事件；
（2）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰不可能融化，是不可能事件；
（3）某人射擊一次，可能中靶，也可能不中靶，是隨機事件；
（4）如果，那么必然成立，是必然事件；
（5）擲兩枚硬幣，有四種情況，均出現(xiàn)反面可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是隨機事件；
（6）拋擲兩枚骰子，點數(shù)之和最大為12，所以點數(shù)之和為15不可能發(fā)生，是不可能事件；
（7）從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，有5種情況，得到4號簽是隨機事件；
（8）某電話機在1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定，所以收到2次呼叫是隨機事件；
（9）綠葉植物，都會光合作用，所以是不可能事件；
（10）焊錫熔點一般為183度，所以常溫不可能熔化，是不可能事件；
（11）若為實數(shù)，則必然成立，是必然事件；
（12）某人開車通過十個路口，紅綠燈都可能遇到，所以都遇到紅燈是隨機事件；
故答案為：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）
考點二、事件的關系和運算
1．（2024·重慶·模擬預測）對于兩個事件，則事件表示的含義是（ ）
A．A與B同時發(fā)生B．A與B有且僅有一個發(fā)生
C．A與B至少一個發(fā)生D．A與B不能同時發(fā)生
【答案】C
【分析】根據(jù)事件之間的和事件關系，可得答案.
【詳解】由表示的是與中至少一個發(fā)生.
故選：C.
2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對立事件
C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對立事件
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.
【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,
事件3可表示為：,事件4可表示為：,
因為，所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；
因為為不可能事件，為必然事件，
所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；
因為，所以事件2與事件3不互斥，C錯誤；
因為為不可能事件，不為必然事件，
所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；
故選：B.
3．（21-22高一下·河南安陽·期末）從一批產(chǎn)品中逐個不放回地隨機抽取三件產(chǎn)品，設事件A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，事件D為“第一件是次品”則下列結論正確的是（ ）
A．B與D相互獨立B．B與C相互對立
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨立事件的定義逐個判斷即可.
【詳解】為三件產(chǎn)品全部是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，
為三件全是次品，
為三件產(chǎn)品不全是次品，包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件，
為第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，兩件次品，三件次品三個事件.
由此可知與是互斥事件，與是包含，不是互斥，與對立
故選: B.
4．（21-22高一下·全國·開學考試）（多選）在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3件產(chǎn)品，設事件“3件產(chǎn)品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，則下列結論正確的是（ ）
A．與為對立事件B．與不是互斥事件
C．D．
【答案】ABC
【分析】通過分析事件，從而判斷事件的關系.
【詳解】從中任意抽出3件產(chǎn)品，共有4種情況：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品.
事件的可能情況有：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件的可能情況有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品.
與為對立事件，故A正確；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，則與不是互斥事件，故B正確；
，，故C正確；
由上知，故D錯誤.
故選：ABC
5．（2024·河北滄州·一模）（多選）某學校為了豐富同學們的課外活動，為同學們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與是對立事件
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.
【詳解】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動，
與事件：一種科普活動都不參加，二者不可能同時發(fā)生，交集為空集，故A正確；
對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個發(fā)生. 事件和事件滿足兩個特點，故B正確；
對C：表示：至多參加一種科普活動，即為事件，故C正確；
對D：表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯誤.
故選：ABC
1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）不透明盒子中裝有除顏色外完全相同的2個紅球、2個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取2個球．記事件：至少一個紅球，事件：一個紅球一個白球，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．與互斥D．與獨立
【答案】B
【分析】根據(jù)事件：至少一個紅球，則存在兩種情況，有一個紅球和一個白球，有兩個紅球；事件：一個紅球一個白球，根據(jù)事件的基本關系理解發(fā)生，一定發(fā)生，發(fā)生，不一定發(fā)生即可判斷和事件，積事件，互斥關系，獨立關系．
【詳解】解：現(xiàn)從盒子里隨機取2個球．記事件：至少一個紅球，則存在兩種情況，有一個紅球和一個白球，有兩個紅球；
A．，故選項錯誤，不符合題意；
B．，故選項正確，符合題意；
C．，故與不互斥，故選項錯誤，不符合題意；
D．，即發(fā)生，一定發(fā)生，發(fā)生，不一定發(fā)生，故與不獨立，故選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
2．（2023·四川內(nèi)江·三模）一個人連續(xù)射擊次，則下列各事件關系中，說法正確的是（ ）
A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件
C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件
D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件
【答案】D
【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案.
【詳解】一個人連續(xù)射擊次，其可能結果為擊中次，擊中次，擊中次，
其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，
事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯誤；
事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，
事件“第二次擊中” 包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；
事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時發(fā)生，故C錯誤；
事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；
故選：D
3．（2023·廣西柳州·模擬預測）從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D．恰有1本政治與恰有2本政治
【答案】D
【分析】總的可能的結果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.
【詳解】從裝有2本數(shù)學和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，
可能的結果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學一本政治”.
對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學”是對立事件，故A錯誤；
對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關系，不是互斥事件，故B錯誤；
對于C，事件“至少有一本數(shù)學”包含事件：“兩本數(shù)學”，“一本數(shù)學一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；
對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.
故選:D.
4．（2024·全國·模擬預測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（ ）
A．為不可能事件B．與為互斥事件
C．為必然事件D．與為對立事件
【答案】B
【分析】利用事件的基本關系判斷即可.
【詳解】同時拋擲兩顆骰子，有36個結果，
“點數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；
“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；
對于選項A: 表示“點數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”， 不是不可能事件.故A錯誤；
對于選項B：A與B不可能同時發(fā)生．故B正確；
對于選項C：表示“點數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯誤；
對于選項D：與不能包含全部基本事件，故D錯誤.
故選:B．
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多選）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（ ）
A．B．與是互斥事件
C．D．與是互斥事件，且是對立事件
【答案】AD
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項判斷即可.
【詳解】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“ 兩次都中靶” “ 兩次都沒有中靶”；
事件為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“ 兩次都中靶”；
事件為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“ 兩次都沒有中靶”；
事件為“兩次都沒中靶”；
故，與不是互斥事件，與是互斥事件，且是對立事件，.
故選:：AD.
考點三、頻率與概率
1．（2022·山東威?！と＃┘住⒁覂扇讼嗉s在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價，其中好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.
【詳解】由已知可得這家健身房的總好評率為.
故選：B.
2．（22-23高二上·湖北武漢·期中）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
【答案】B
【分析】根據(jù)頻率的計算公式可求得頻率，結合概率的含義可確定概率，即得答案.
【詳解】某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，
那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為 ,
由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是,
故出現(xiàn)正面朝上的概率為 ,
故選︰B．
3．（2021·全國·模擬預測）某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表確定概率
【詳解】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，
由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為，
所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.1.
故選：B．
1．（23-24高二上·四川達州·階段練習）某人拋擲一枚硬幣80次，結果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為 ．
【答案】/
【分析】由題意知硬幣正反面出現(xiàn)的機會是均等的，即可得答案.
【詳解】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為，而概率是大量試驗中，頻率趨于的一個穩(wěn)定值，
由于硬幣正反面出現(xiàn)的機會是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為，
故答案為：
2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為 .
【答案】
【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計出概率.
【詳解】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，
故估計甲獲得冠軍的概率為.
故答案為：
3．（2023·陜西西安·模擬預測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為 ．（小數(shù)點后保留一位小數(shù)）
【答案】0.7
【分析】以頻率估計概率，直接運算求解即可.
【詳解】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，
所以摸到紅球概率的估計值為.
故答案為：0.7
1．（22-23高二下·湖北荊州·階段練習）在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.56，0.56B．0.56，0.5
C．0.5，0.5D．0.5，0.56
【答案】B
【分析】根據(jù)頻率和概率的定義求解.
【詳解】某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，
那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為，
由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是，
故出現(xiàn)正面朝上的概率為．
故選:B．
2．（24-25高三上·重慶·開學考試）某池塘中飼養(yǎng)了A?B兩種不同品種的觀賞魚，假設魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東?南?西三個采樣點捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
【答案】C
【分析】根據(jù)魚群在池塘里是均勻分布的，利用頻率求解.
【詳解】解：因為魚群在池塘里是均勻分布的，
所以品種A約所占比為：，
所以在采樣點北捕撈到20尾魚，則品種A約有尾，
故選：C
3．（23-24高二上·廣東清遠·階段練習）下列說法：①必然事件的概率為．②如果某種彩票的中獎概率為，那么買張這種彩票一定能中獎．③某事件的概率為．④互斥事件一定是對立事件．其中正確的說法是（ ）
A．①②③④B．①C．③④D．①④
【答案】B
【分析】由必然事件的概念即可判斷①；根據(jù)互斥事件概率的計算公式即可判斷②；由隨機事件概率的性質(zhì)即可判斷③；根據(jù)互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系即可判斷④；
【詳解】根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故①正確；
根據(jù)隨機事件的概率可知，買10張這種彩票也會有的可能性不中獎，所以②錯誤；
根據(jù)隨機事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為，即③錯誤；
互斥事件和對立事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生其他情況，所以互斥事件不一定是對立事件，即④錯誤；
故選：B
4．（23-24高二上·河南信陽·階段練習）同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有( )
A．B．C． D．與之間沒有關系
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結合列舉法求得事件和事件，進而得到兩事件的關系，得到答案.
【詳解】由同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以.
故選：C.
5．（2023·山東·模擬預測）已知事件滿足，，則（ ）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若與相互獨立，則
D．若，則與不相互獨立
【答案】B
【分析】根據(jù)事件的包含關系，互斥事件的概率加法，以及獨立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤；
對于B，若與互斥，則，所以B正確；
對于C，若與相互獨立，可得與相互獨立，
所以，所以C錯誤；
對于D，由，可得，
所以，所以，所以與相互獨立，所以D錯誤.
故選：B.
6．（23-24高二下·上海·期中）出卷老師今天買了一張刮刮樂彩票，刮出500元的概率是，則這件事 發(fā)生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
【答案】可能
【分析】根據(jù)題意，由隨機事件的定義即可得到結果.
【詳解】根據(jù)概率的意義，刮出500元的概率是，
表示刮出500元的可能性是，所以這件事可能發(fā)生.
故答案為：可能
7．（22-23高三上·河南鄭州·階段練習）有下列事件：
①在標準大氣壓下，水加熱到時會沸騰；
②實數(shù)的絕對值不小于零；
③某彩票中獎的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎；
④連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點向上．
其中必然事件是 ．
【答案】②
【分析】根據(jù)必然事件一定會發(fā)生逐個判斷即可
【詳解】因為在標準大氣壓下，水加熱到 100℃才會沸騰，所以①不是必然事件；
因為實數(shù)的絕對值不小于零，所以②是必然事件；
因為某彩票中獎的概率為，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎，即③不是必然事件；
拋擲一枚骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機的，所以④是隨機事件
故答案為：②
8．（2020高三·全國·專題練習）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網(wǎng)絡上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有 人．
【答案】6912
【解析】計算出對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的頻率，由此計算出該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的人數(shù).
【詳解】在隨機抽取的50人中，持反對態(tài)度的頻率為，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有9600×＝6912（人）．
故答案為：
【點睛】本小題主要考查利用頻率進行估計，屬于基礎題.
9．（2023·全國·模擬預測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個黑球和個白球，每個被調(diào)查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計概率） ．
【答案】/
【分析】計算出摸到黑球且回答“是”的人數(shù)，可求得摸到白球且回答“是”的人數(shù)，即可求得結果.
【詳解】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到個白球或黑球的概率均為，
所以，人中回答第一個問題的人數(shù)為，則另外人回答了第二個問題，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為，
則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為，
所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為.
故答案為：.
10．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)是4或5或6”為事件A，“向上的點數(shù)是1或2”為事件B，“向上的點數(shù)是1或2或3或4”為事件C，“向上的點數(shù)大于3”為事件D，則下列結論正確的是 .（填序號）①A與B是互斥事件，但不是對立事件；②；③A與C是互斥事件；④.
【答案】①②④
【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，事件的包含關系，事件相等的定義判斷各命題即可.
【詳解】試驗的樣本空間，
根據(jù)題意，，，，.
因為，，所以A與B是互斥事件，但不是對立事件，故①正確；
因為，，所以，故②正確；
因為，所以A與C不是互斥事件，故③錯誤；
因為，，所以，故④正確.
故答案為：①②④.
1．某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間內(nèi)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【詳解】命題意圖 本題考查用樣本頻率估計總體的概率．
解析 由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于的頻率為，所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.1．
2．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，則，，可判斷A,C; 事件B與D是互斥事件,判斷B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判斷D.
【詳解】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，
故A，C正確；
事件B與D是互斥事件，故，故B正確，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D錯誤，
故選：D.
3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數(shù)為”，其中；“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)大于4” 下列結論是判斷錯誤的是 （ ）
A．與互斥B．，
C．D．，為對立事件
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷AD，由事件的運算判斷B，由事件間關系判斷C.
【詳解】由題意與不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；
中點數(shù)為1或2，中點數(shù)為3，4，5或6，因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此為不可能事件，B正確；
發(fā)生時，一定發(fā)生，但發(fā)生時，可能不發(fā)生，因此，C正確；
與不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤；
故選：D．
4．（多選）某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.
【詳解】依題意，，，
顯然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，則，
于是得選項A，B，C都正確，選項D不正確.
故選：ABC.
5．（2024·云南昆明·三模）（多選）在一個有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（ ）
A．B．A與相互獨立
C．D．
【答案】ABD
【分析】A選項，根據(jù)互斥得到，；B選項，根據(jù)求出，故，B正確；C選項，A與互斥，故與互斥，故C正確；D選項，根據(jù)求出D正確.
【詳解】A選項，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；
B選項，，
即，故，
故，A與相互獨立，B正確；
C選項，A與互斥，故與互斥，故，C錯誤；
D選項，
，
因為，故，D正確.
故選：ABD
一、單選題
1．（重慶·高考真題）從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【詳解】試題分析：從所給的十個數(shù)字中找出落在所要求的范圍中的數(shù)字，共有4個，利用這個頻數(shù)除以樣本容量，得到要求的頻率．
解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十個數(shù)字中，
樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的有116，120，120，122共有四個，
∴樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為=0.4，
故選C
點評：本題考查頻率分布表，頻數(shù)、頻率和樣本容量三者之間的關系是知二求一，這種問題會出現(xiàn)在選擇和填空中，有的省份也會以大題的形式出現(xiàn)，把它融于統(tǒng)計問題中．
2．（浙江·高考真題）從存放號碼分別為1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
【答案】A
【分析】有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼．這樣事件的總數(shù)是100，從表中可以看出取到的卡片上數(shù)字是奇數(shù)有53種情況，可直接算出頻率．
【詳解】由題意知，
∵有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，
∴總次數(shù)是100，
由表可以看出取到號碼為奇數(shù)有13＋5＋6＋18＋11＝53種結果，
所以頻率，
故選：A．
3．（湖北·高考真題）我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【詳解】設夾谷石，則，
所以，
所以這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.
考點：用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體.
4．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對立事件，那么
A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分但不必要條件
C．甲是乙的必要但不充分條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【答案】C
【詳解】分析:根據(jù)互斥事件和對立事件的概念，根據(jù)充分條件和必要條件的概念分析解答.
詳解：當、是互斥事件時，、不一定是對立事件，所以甲是乙的非充分條件.
當、是對立事件時，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.
所以甲是乙的必要非充分條件.
故選C.
點睛：本題主要考查互斥事件和對立事件的聯(lián)系和區(qū)別，考查充分條件和必要條件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定對立，甲乙對立，則甲乙一定互斥.
5．（全國·高考真題）從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為 ．
【答案】 /
【分析】首先從所給的 袋抽取的質(zhì)量中找出質(zhì)量在之間的質(zhì)量，進而確定幾袋，用所得袋數(shù)除以總袋數(shù)袋，進一步得到樣本中質(zhì)量在之間的概率，根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，將樣本中的頻率近似看作總體中的概率即可.
【詳解】解：通過統(tǒng)計，可知自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的共有 袋，
所以袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率為，
根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在之間的概率約為：
5年考情
考題示例
考點分析
關聯(lián)考點
2023年新Ⅱ卷，第3題,5分
抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算
分步乘法計數(shù)原理及簡單應用
實際問題中的組合計數(shù)問題
確定事件
必然事件
在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件
不可能事件
在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件
隨機事件
在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件
定義
符號表示
包含關系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關系
若B?A且A?B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
最高氣溫
天數(shù)
4
5
25
38
18
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
采樣點
品種A
品種B
東
20
9
南
7
3
西
17
8
最高氣溫
天數(shù)
3
6
25
38
18
投籃次數(shù)
投中兩分球的次數(shù)
投中三分球的次數(shù)
100
55
18
卡片號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次數(shù)
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9

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