第03講二項式定理（十五大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc179368770" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc179368770 \h 2
\l "_Tc179368771" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc179368771 \h 3
\l "_Tc179368772" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc179368772 \h 4
\l "_Tc179368773" 知識點(diǎn)1：二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題 PAGEREF _Tc179368773 \h 4
\l "_Tc179368774" 知識點(diǎn)2：二項式展開式中的最值問題 PAGEREF _Tc179368774 \h 5
\l "_Tc179368775" 知識點(diǎn)3：二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題 PAGEREF _Tc179368775 \h 6
\l "_Tc179368776" 題型一：求二項展開式中的參數(shù) PAGEREF _Tc179368776 \h 7
\l "_Tc179368777" 題型二：求二項展開式中的常數(shù)項 PAGEREF _Tc179368777 \h 7
\l "_Tc179368778" 題型三：求二項展開式中的有理項 PAGEREF _Tc179368778 \h 8
\l "_Tc179368779" 題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù) PAGEREF _Tc179368779 \h 8
\l "_Tc179368780" 題型五：求三項展開式中的指定項 PAGEREF _Tc179368780 \h 9
\l "_Tc179368781" 題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù) PAGEREF _Tc179368781 \h 10
\l "_Tc179368782" 題型七：求二項式系數(shù)最值 PAGEREF _Tc179368782 \h 10
\l "_Tc179368783" 題型八：求項的系數(shù)最值 PAGEREF _Tc179368783 \h 11
\l "_Tc179368784" 題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和 PAGEREF _Tc179368784 \h 12
\l "_Tc179368785" 題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和 PAGEREF _Tc179368785 \h 13
\l "_Tc179368786" 題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題 PAGEREF _Tc179368786 \h 13
\l "_Tc179368787" 題型十二：近似計算問題 PAGEREF _Tc179368787 \h 14
\l "_Tc179368788" 題型十三：證明組合恒等式 PAGEREF _Tc179368788 \h 15
\l "_Tc179368789" 題型十四：二項式定理與數(shù)列求和 PAGEREF _Tc179368789 \h 17
\l "_Tc179368790" 題型十五：楊輝三角 PAGEREF _Tc179368790 \h 18
\l "_Tc179368791" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc179368791 \h 20
\l "_Tc179368792" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc179368792 \h 21
\l "_Tc179368793" 06易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc179368793 \h 22
\l "_Tc179368794" 易錯點(diǎn)：混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù) PAGEREF _Tc179368794 \h 22
\l "_Tc179368795" 答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數(shù) PAGEREF _Tc179368795 \h 23
知識點(diǎn)1：二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題
（1）二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，
（2）二項式的展開式的特點(diǎn)：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；
④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系
數(shù)）．
（3）兩個常用的二項展開式：
①（）
②
（4）二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點(diǎn)：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
【診斷自測】已知在的二項展開式中，各項系數(shù)和為，則展開式中，含項的系數(shù)為 .
知識點(diǎn)2：二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
（2）系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
【診斷自測】設(shè)為整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則．
知識點(diǎn)3：二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
（1）設(shè)，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
（2）若，則
①常數(shù)項：令，得．
②各項系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和
（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
【診斷自測】設(shè)，則 .

題型一：求二項展開式中的參數(shù)
【典例1-1】在展開式中的系數(shù)為，則的值為 .
【典例1-2】已知二項式的展開式中的常數(shù)項為，則 .
【方法技巧】
在形如的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求，則．
【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在的展開式中，常數(shù)項為90，則．
【變式1-2】在的展開式中，的系數(shù)為12，則的值為．
【變式1-3】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知二項式的展開式中存在常數(shù)項，正整數(shù)的最小值為．
【變式1-4】（2024·高三·山西呂梁·開學(xué)考試）已知展開式中的系數(shù)為80，則 .
題型二：求二項展開式中的常數(shù)項
【典例2-1】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）的展開式中，常數(shù)項為．
【典例2-2】（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）展開式中的常數(shù)項為 .
【方法技巧】
寫出通項，令指數(shù)為零，確定，代入．
【變式2-1】的展開式中的常數(shù)項為 .（請用數(shù)字作答）
【變式2-2】二項式的展開式中的常數(shù)項為．
【變式2-3】的二項展開式中的常數(shù)項為 .（結(jié)果用數(shù)值表示）
【變式2-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為．
題型三：求二項展開式中的有理項
【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，有理項是第項．
【典例3-2】（2024·山東煙臺·三模）已知的展開式中共有項，則有理項共項．（用數(shù)字表示）
【方法技巧】
先寫出通項，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項．
【變式3-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為．
【變式3-2】（2024·高三·上海·單元測試）二項式的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為．
【變式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展開式中，有理項的個數(shù)為．
【變式3-4】在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有項．
【變式3-5】已知的展開式中第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個有理項．
題型四：求二項展開式中的特定項系數(shù)
【典例4-1】二項式展開后的第三項是
【典例4-2】（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為 .
【方法技巧】
寫出通項，確定r，代入．
【變式4-1】（2024·陜西渭南·二模）展開式中的項是 .
【變式4-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）展開式中項的系數(shù)為 .
【變式4-3】二項式的展開式的中間項為
【變式4-4】（2024·高三·上海浦東新·期中）的展開式的第8項的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.
題型五：求三項展開式中的指定項
【典例5-1】（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）的的展開式中的系數(shù)為（）
A．30B．C．20D．
【典例5-2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）的展開式中，的系數(shù)為（）
A．60B．C．120D．
【方法技巧】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數(shù)．
【變式5-1】（2024·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）的展開式中的系數(shù)是（）
A．5B．10C．20D．60
【變式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（）
A．20B．30C．25D．40
【變式5-3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）的展開式中，項的系數(shù)為（）
A．10B．C．60D．
【變式5-4】（2024·河北滄州·二模）在的展開式中，項的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)
【典例6-1】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）的展開式中的系數(shù)為（）
A．B．C．7168D．
【典例6-2】（2024·北京大興·三模）在的展開式中，x的系數(shù)為（）
A．9B．15C．D．
【方法技巧】
分配系數(shù)法
【變式6-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測）在yx?2xyx+y6的展開式中，的系數(shù)為（）
A．B．4C．D．8
【變式6-2】已知展開式中的系數(shù)為28，則該展開式的各項系數(shù)和為（）
A．B．C．0D．
【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（）
A．B．C．3D．27
【變式6-4】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為（）
A．B．C．34D．74
題型七：求二項式系數(shù)最值
【典例7-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【典例7-2】已知的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為a，系數(shù)最大的項為b，則．
【方法技巧】
利用二項式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可．
【變式7-1】的展開式中所有二項式系數(shù)的最大值是（用數(shù)字作答）．
【變式7-2】已知的展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第8項，則．
【變式7-3】已知的展開式中，第四項的系數(shù)與倒數(shù)第四項的系數(shù)之比為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為 .
【變式7-4】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則 .
題型八：求項的系數(shù)最值
【典例8-1】已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例8-2】已知的展開式中僅第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項是第（）項
A．2B．3C．4D．5
【方法技巧】
有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)最值問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：，注意：系數(shù)比較大?。?br>【變式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（）
A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項
【變式8-2】已知為滿足能被整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中，系數(shù)最大的項為（）
A．第6項B．第7項C．第11項D．第6項和第7項
【變式8-3】的展開式中，系數(shù)最大的項是（）
A．第11項B．第12項C．第13項D．第14項
【變式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（）
A．第4項B．第5項C．第6項D．第7項
題型九：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和
【典例9-1】（2024·四川樂山·三模）設(shè)，則（）
A．1B．C．2024D．
【典例9-2】已知，則（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
二項展開式二項式系數(shù)和：；奇數(shù)項與偶數(shù)項二項式系數(shù)和相等：．
系數(shù)和：賦值法，二項展開式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．
【變式9-1】若，則（）
A．4048B．C．1D．
【變式9-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（）
A．32B．31C．16D．15
【變式9-3】已知，則下列描述正確的是（）
A．
B．除以5所得的余數(shù)是1
C．
D．
【變式9-4】已知，則（）
A．B．14C．D．7
【變式9-5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，若，且，則m的值為（）
A．B．C．D．
【變式9-6】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)是常數(shù)，對于，都有，則（）
A．2019B．2020C．2019!D．2020!
【變式9-7】若，則（）
A．B．
C．D．
題型十：求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和
【典例10-1】設(shè)，則．
【典例10-2】（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）若，則 .
【方法技巧】
，令得系數(shù)和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇數(shù)項系數(shù)和減去偶數(shù)項系數(shù)和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，聯(lián)立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和．
【變式10-1】（2024·廣東·一模）若，則 .
【變式10-2】已知多項式，則．
【變式10-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）當(dāng)，則．
【變式10-4】（2024·湖南邵陽·一模）已知，則 .
題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題
【典例11-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）被9除的余數(shù)為（）
A．1B．4C．5D．8
【典例11-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五
【變式11-1】中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)均為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為，如9和21被6除得的余數(shù)都是3，則記．若，且，則的值可以是（）
A．2010B．2021C．2019D．1997
【變式11-2】若能被25整除，則正整數(shù)的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【變式11-3】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)均為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為，如和被除得的余數(shù)都是，則記.若，且，則的值可以是（）
A．4021B．4022C．4023D．4024
【變式11-4】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（）
A．2021B．2022C．2023D．2024
題型十二：近似計算問題
【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
【典例12-2】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（）
A．1.31B．1.32C．1.33D．1.34
【變式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減，其初始質(zhì)量為，年后的質(zhì)量為，則下列各數(shù)中與最接近的是（）
A．B．
C．D．
【變式12-2】（2024·江西南昌·一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項式定理：
對于任意實(shí)數(shù)，
當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：
.
用這樣的方法，估計的近似值約為（）
A．2.922B．2.926C．2.928D．2.930
【變式12-3】二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為 .（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)）
【變式12-4】用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【變式12-5】（精確到0.01）
題型十三：證明組合恒等式
【典例13-1】求證：
【典例13-2】求證：
【變式13-1】求證：
【變式13-2】（2024·山東濟(jì)南·三模）高斯二項式定理廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理交叉領(lǐng)域.設(shè) ，記，并規(guī)定.記，并規(guī)定.定義.
(1)若，求和；
(2)求；
(3)證明：
【變式13-3】萊布尼茨（德國數(shù)學(xué)家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數(shù)學(xué)家）三角數(shù)陣（如圖2所示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)之和. 現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個數(shù)字為，第2行的第2個數(shù)字為，第行的第2個數(shù)字為.
(1)求的值；
(2)將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質(zhì)，也是二項式系數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)，請你類比這個性質(zhì)寫出萊布尼茨三角的性質(zhì)，并證明你的結(jié)論.
【變式13-4】（1）求證：；
（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.
（3）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).
題型十四：二項式定理與數(shù)列求和
【典例14-1】（）
A．B．C．D．
【典例14-2】已知，展開式中的系數(shù)為，則等于（）
A．B．C．D．
【變式14-1】已知，則（）
A．B．
C．D．
【變式14-2】（2024·河南洛陽·三模）若，則的值為（）
A．B．1C．0D．-1
【變式14-3】若，且，則實(shí)數(shù)的值為 .
【變式14-4】對于，將n表示為，當(dāng)時，.當(dāng)時，為0或1.記為上述表示中為0的個數(shù)，（例如，，故，）.若，則 .
【變式14-5】已知等差數(shù)列an，對任意都有成立，則數(shù)列的前項和．
【變式14-6】設(shè)是正整數(shù)，化簡 .
題型十五：楊輝三角
【典例15-1】如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則．
【典例15-2】如圖是我國古代著名數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》給出的一個用數(shù)排列起來的三角形陣，請通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律，并計算從第三行到第十五行中，每行的第三位數(shù)字的總和為 .
【變式15-1】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數(shù)列，則；若數(shù)列的前項和為Sn，則 .
【變式15-2】在“楊輝三角”中，每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.

【變式15-3】如圖所示的梯形數(shù)陣中，第行第個數(shù)的值為

【變式15-4】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就．在“楊輝三角”中，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記作數(shù)列an，若數(shù)列an的前n項和為，則．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
2．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若，則（）
A．40B．41C．D．
3．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）展開式中的系數(shù)為 .
4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為．
5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，常數(shù)項為．
1．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）
A．74B．121C．D．
2．在的展開式中，的系數(shù)是 .
3．證明：
（1）的展開式中常數(shù)項是；
（2）的展開式的中間一項是.
4．用二項式定理證明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
5．求證：.
6．如圖反映了二項式定理產(chǎn)生、完備和推廣所走過的漫長歷程：

(1)在上述發(fā)展過程中，無論是推廣還是證明，都是從特殊到一般，如今，數(shù)學(xué)研究的一個發(fā)展趨勢就是盡可能地一般化．請你試一試，從推廣到（m，）．
(2)請你查閱相關(guān)資料，細(xì)化上述歷程中的某段過程，例如從3次到n次，從二項到m項等，說說數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的．
易錯點(diǎn)：混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù)
易錯分析：項的系數(shù)與二項式系數(shù)雖然相關(guān)，但概念不同。項的系數(shù)是二項式系數(shù)與其他數(shù)字因數(shù)的積，而二項式系數(shù)僅與二項式的冪的指數(shù)和項數(shù)有關(guān)。在解題時，需仔細(xì)區(qū)分這兩者，避免出錯。
【易錯題1】的展開式中含的項的二項式系數(shù)是（用數(shù)字作答）.
【易錯題2】的展開式的二項式系數(shù)的和等于64，則展開式中含有項的系數(shù)為 .
答題模板：求二項展開式中的特定項或項的系數(shù)
1、模板解決思路
在求解二項展開式中的特定項或項的系數(shù)時，關(guān)鍵在于首先寫出二項展開式的通項公式。然后，根據(jù)題目給出的條件，我們可以設(shè)立一個方程來找到滿足條件的k值。這里，k代表二項展開式中項的序號，其取值范圍是0到n。一旦找到k，我們就可以將其代回通項公式，從而求解出所需的項或項的系數(shù)。
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)二項式定理寫出二項展開式的通項，并化簡.
第二步：根據(jù)已知條件，列出方程并求解.
第三步：代回二項展開式的通項，求出特定項或項的系數(shù).
【經(jīng)典例題1】若的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）
【經(jīng)典例題2】展開式中常數(shù)項為 .
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）二項式定理
（2）二項式系數(shù)的性質(zhì)
2024年北京卷第4題，4分
2024年甲卷（理）第13題，5分
2023年北京卷第5題，4分
2023年天津卷第11題，5分
2023年上海卷第10題，5分
2022年I卷第13題，5分
(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本運(yùn)算和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當(dāng).
(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會持續(xù)降低,但仍然是備考的重要內(nèi)容.
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）能用多項式運(yùn)算法則和計數(shù)原理證明二項式定理．
（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．

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