\l "_Tc179382704" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc179382704 \h 2
\l "_Tc179382705" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc179382705 \h 3
\l "_Tc179382706" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc179382706 \h 4
\l "_Tc179382707" 知識點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件 PAGEREF _Tc179382707 \h 4
\l "_Tc179382708" 知識點(diǎn)2：兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算 PAGEREF _Tc179382708 \h 5
\l "_Tc179382709" 知識點(diǎn)3：概率與頻率 PAGEREF _Tc179382709 \h 6
\l "_Tc179382710" 題型一：隨機(jī)事件與樣本空間 PAGEREF _Tc179382710 \h 7
\l "_Tc179382711" 題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 PAGEREF _Tc179382711 \h 8
\l "_Tc179382712" 題型三：頻率與概率 PAGEREF _Tc179382712 \h 9
\l "_Tc179382713" 題型四：生活中的概率 PAGEREF _Tc179382713 \h 10
\l "_Tc179382714" 題型五：互斥事件與對立事件 PAGEREF _Tc179382714 \h 11
\l "_Tc179382715" 題型六：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率 PAGEREF _Tc179382715 \h 12
\l "_Tc179382716" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc179382716 \h 13
\l "_Tc179382717" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc179382717 \h 14
\l "_Tc179382718" 06易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc179382718 \h 15
\l "_Tc179382719" 易錯點(diǎn)：混淆頻率和概率 PAGEREF _Tc179382719 \h 15
\l "_Tc179382720" 答題模板：互斥、對立事件的辨析 PAGEREF _Tc179382720 \h 16
知識點(diǎn)1：樣本空間和隨機(jī)事件
1、隨機(jī)試驗(yàn)
我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母表示．
我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；
（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．
2、樣本空間
我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
3、隨機(jī)事件、確定事件
（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機(jī)事件的確定事件．
【診斷自測】下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（ ）
A．某路口每星期發(fā)生交通事故1次
B．冰水混合物的溫度是
C．三角形的內(nèi)角和為
D．一個射擊運(yùn)動員每次射擊都命中7環(huán)
知識點(diǎn)2：兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算
1、事件的關(guān)系與運(yùn)算
①包含關(guān)系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：
不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．
②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：
③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：
④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：
2、互斥事件與對立事件
（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：
如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．
（3）互斥事件與對立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．
②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．
【診斷自測】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則（ ）
A．
B．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5
C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3
D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5
知識點(diǎn)3：概率與頻率
（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關(guān)系：對于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
【診斷自測】在調(diào)查運(yùn)動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調(diào)查的運(yùn)動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（ ）
A．4.33%B．3.33%C．3.44%D．4.44%

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間
【典例1-1】若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，則下列說法不正確的是（ ）
A．事件是隨機(jī)事件B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件D．事件是隨機(jī)事件
【典例1-2】在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（ ）
A．3件都是正品B．至少有2件是次品
C．3件都是次品D．至少有1件是正品
【方法技巧】
確定樣本空間的方法
（1）必須明確事件發(fā)生的條件．
（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．
【變式1-1】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點(diǎn)各畫一條高線，這三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機(jī)事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【變式1-2】下列說法正確的是（ ）
A．“射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心”是必然事件
B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張?jiān)摲N彩票一定會中獎
D．任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是2的倍數(shù)的概率是
【變式1-3】 “某點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為3”這一事件是
A．隨機(jī)事件B．不可能事件C．必然事件D．以上都不對
【變式1-4】籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動物的腳數(shù).則該試驗(yàn)的樣本空間 .
題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
【典例2-1】同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有( )
A．B．C． D．與之間沒有關(guān)系
【典例2-2】對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
事件的關(guān)系運(yùn)算策略
（1）互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生．
（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．
【變式2-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）對于兩個事件，則事件表示的含義是（ ）
A．A與B同時發(fā)生B．A與B有且僅有一個發(fā)生
C．A與B至少一個發(fā)生D．A與B不能同時發(fā)生
【變式2-2】擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-3】從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個事件中具有隨機(jī)性的事件的個數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式2-4】如圖，甲、乙兩個元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-5】（2024·上海長寧·一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個事件的概率（ ）
A．兩個點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B．至多有一個點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
C．兩個點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)D．至多有一個點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)
題型三：頻率與概率
【典例3-1】某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為 ．
【典例3-2】（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有 人．
【方法技巧】
（1）概率與頻率的關(guān)系
（2）隨機(jī)事件概率的求法
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在一個口袋中放有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為 ．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）
【變式3-2】下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個事件發(fā)生的概率；其中正確的有 .
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個黑球和個白球，每個被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率） ．
【變式3-4】長時間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為 ．
題型四：生活中的概率
【典例4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計(jì)本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是 ．
【典例4-2】（2024·北京朝陽·一模）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機(jī)號只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（?。u號的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請 位好友參與到“好友助力”活動.
【方法技巧】
概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．
【變式4-1】（2024·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為 ；若,，則k的值為 ．
【變式4-2】為了了解學(xué)生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在某學(xué)校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查:向被調(diào)查者提出兩個問題:（1）你的學(xué)號是奇數(shù)嗎?（2）在過路口的時候你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對調(diào)查人拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第（1）個問題;否則就回答第（2）個問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題，只需要回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥斜徽{(diào)查本人知道回答了哪個問題，所以都如實(shí)做了回答.如果被調(diào)查的600人(學(xué)號從1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估計(jì)在這600人中闖過紅燈的人數(shù)是 .
【變式4-3】（2024·廣西·二模）今年由于豬肉漲價太多，更多市民選擇購買雞肉、鴨肉、魚肉等其它肉類.某天在市場中隨機(jī)抽出100名市民調(diào)查，其中不買豬肉的人有30位，買了肉的人有90位，買豬肉且買其它肉的人共30位，則這一天該市只買豬肉的人數(shù)與全市人數(shù)的比值的估計(jì)值為 .
題型五：互斥事件與對立事件
【典例5-1】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
【典例5-2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)小于2”，“點(diǎn)數(shù)為3”．則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．為對立事件B．為互斥不對立事件
C．不是互斥事件D．是互斥事件
【方法技巧】
1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個發(fā)生．
2、判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．
【變式5-1】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，則下列事件中互為對立事件的是（ ）
A．恰好兩件正品與恰好四件正品
B．至少三件正品與全部正品
C．至少一件正品與全部次品
D．至少一件正品與至少一件次品
【變式5-2】事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對立事件，則下列命題中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式5-3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件 “出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系為（ ）
A．相互獨(dú)立事件B．相互互斥事件
C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件
題型六：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率
【典例6-1】某人忘記了一位同學(xué)電話號碼的最后一個數(shù)字，但確定這個數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為（ ）
A．B．C．D．
【典例6-2】某同學(xué)參加社團(tuán)面試，已知其第一次通過面試的概率為，第二次面試通過的概率為，若第一次未通過，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學(xué)通過面試的概率為（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法
（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．
（2）間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡便．
【變式6-1】某商場在618大促銷活動中，活動規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機(jī)摸出一個球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機(jī)摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎品，問顧客中獎率為 ．
【變式6-2】體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為 .
【變式6-3】某電視臺舉辦知識競答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時需要回答三個問題.第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分.規(guī)定：每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各問題回答正確與否相互之間沒有影響，則該選手僅回答正確兩個問題的概率是 ；該選手闖關(guān)成功的概率是 .
【變式6-4】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是 ．
【變式6-5】設(shè)是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，且，則（ ）
A．B．C．D．
【變式6-6】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）已知事件與事件是互斥事件，則（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥B．事件與事件相互獨(dú)立
C．事件與事件互斥D．事件與事件相互獨(dú)立
2．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷））將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是（ ）．
A．B．C．D．
4．（2007 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價格相同的概率為（ ）．
A．B．C．D．
1．如圖，拋擲一藍(lán)、一黃兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，分別觀察底面上的數(shù)字.

（1）用表格表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；
（2）列舉下列事件包含的樣本點(diǎn)：A=“兩個數(shù)字相同”，B=“兩個數(shù)字之和等于5”，C=“藍(lán)色骰子的數(shù)字為2”.
2．在某屆世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負(fù)者比賽，決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結(jié)果記為acbd（表示a勝b，c勝d，然后a勝c，b勝d）.
（1）寫出比賽所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間；
（2）設(shè)事件A表示a隊(duì)獲得冠軍，寫出A包含的所有可能結(jié)果；
（3）設(shè)事件B表示a隊(duì)進(jìn)入冠亞軍決賽，寫出B包含的所有可能結(jié)果.
3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”.
（1）寫出樣本空間，并列舉A和B包含的樣本點(diǎn)；
（2）下列結(jié)論中正確的是（ ）.
A．A與B互為對立事件 B．A與B互斥 C．A與B相等 D．P（A）=P（B）
4．某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%，需要維修2次的占6%，需要維修3次的占4%.
（1）某人購買了一臺這個品牌的計(jì)算機(jī)，設(shè)=“一年內(nèi)需要維修k次”，k=0,1,2,3,請?zhí)顚懴卤恚?br>事件是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年內(nèi)需要維修”;
②B=“在1年內(nèi)不需要維修”；
③C=“在1年內(nèi)維修不超過1次”.
5．從1-20這20個整數(shù)中隨機(jī)選擇一個數(shù)，設(shè)事件A表示選到的數(shù)能被2整除，事件B表示選到的數(shù)能被3整除，求下列事件的概率；
（1）這個數(shù)既能被2整除也能被3整除；
（2）這個數(shù)能被2整除或能被3整除；
（3）這個數(shù)既不能被2整除也不能被3整除.
6．如圖是某班級50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語文、英語學(xué)習(xí)資料的情況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，B表示訂閱語文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語學(xué)習(xí)資料的學(xué)生
（1）從這個班任意選擇一名學(xué)生，用自然語言描述1，4，5，8各區(qū)域所代表的事件；
（2）用A，B，C表示下列事件：
①恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；
②沒有訂閱任何學(xué)習(xí)資料.
7．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲3次，求下列事件的概率：
（1）沒有出現(xiàn)6點(diǎn)；
（2）至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)；
（3）三個點(diǎn)數(shù)之和為9.
易錯點(diǎn)：混淆頻率和概率
易錯分析：（1）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率可能不同。(2) 概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān).
【易錯題1】眾所周知，長時間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過2 h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過2 h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（ ）
A．B．C．D．
【易錯題2】拋一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（ ）
A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5.
B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5
C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5
D．試驗(yàn)次數(shù)每增加一次，下一次出現(xiàn)正面的頻率一定比它前一次更接近于0.5
答題模板：互斥、對立事件的辨析
1、模板解決思路
判斷互斥事件、對立事件時，首先要明確兩個事件包含的樣本點(diǎn)，再判斷兩個事件的交事件是否是空集，是空集則兩個事件是互斥事件；若這兩個互斥事件的并事件是樣本空間，則兩個事件是對立事件. 注意事件對立的前提是互斥.
2、模板解決步驟
第一步：明確兩個事件包含的樣本點(diǎn)，判斷交事件是否為空集，并事件是否為樣本空間。
第二步：得出結(jié)論.
【經(jīng)典例題1】一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個，不放回地逐個取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A．2個小球恰有一個紅球B．2個小球至多有1個紅球
C．2個小球中沒有綠球D．2個小球至少有1個紅球
【經(jīng)典例題2】某小組有名男生和名女生，從中任選名學(xué)生參加比賽，事件“至少有名男生”與事件“至少有名女生” （ ）
A．是對立事件B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是對立事件D．不是互斥事件
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）樣本空間和隨機(jī)事件
（2）兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算
（3）頻率與概率
2024年上海卷第15題，4分
2023年上海卷第5題，4分
本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．出題多會集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以對應(yīng)的概率求解．整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于偏易．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．
（2）理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算．
事件
概率

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