題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
1．如圖所示，四邊形和四邊形都是梯形，，，分別為，的中點．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；
(2)，，，四點是否共面？為什么？
2．如圖，為空間四邊形，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且，．求證：
(1)、、、四點共面；
(2)、必相交且交點在直線上．
3．若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內(nèi)；
(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.
4．（2024·河南·模擬預測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．

(1)證明：；
(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內(nèi)的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．
題型二：截面問題
5．（2024·高三·福建·期中）已知正方體的體積為，點在線段上，點異于點，，點在線段上，且，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段長的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
6．已知圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則過該圓錐頂點做截面，截面三角形面積最大值為（ ）
A．B．C．2D．
7．（2024·四川·一模）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．M必為三角形B．M可以是四邊形
C．M的周長沒有最大值D．M的面積存在最大值
8．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·全國·模擬預測）如圖，在正四棱柱中，，過點作垂直于直線PC的截面，則以為頂點，截面為底面的棱錐的體積為（ ）
A．42B．48C．56D．63
10．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，過點，，的平面交于點，則（ ）
A．B．C．D．
題型三：異面直線的判定
11．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，是異面直線，B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直D．，是相交直線，與不垂直
12．（2024·上?！つM預測）如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．直線B．直線C．直線D．直線
13．已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．B．C．D．
題型四：異面直線所成的角
14．如圖，在直三棱柱 中，所有棱長都相等，分別是棱 的中點，則異面直線與 所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
15．在正方體中，分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·高三·陜西西安·期末）如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·上海楊浦·二模）正方體中，異面直線與所成角的大小為 .
題型五：平面的基本性質(zhì)
18．下列說法不正確的是（ ）
A．若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線
B．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線
C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈l
D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
19．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．過點B
B．不一定過點B
C．的延長線與的延長線的交點在上
D．的延長線與的延長線的交點在上
20．若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型六：等角定理
21．設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為 .
22．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是 .
23．已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 .
24．如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點，，則 .

25．已知空間兩個角和，若，，則 ．
1．（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．
若
則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)與l相交B．b與l相交C．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)與β相交
2．（2024·吉林·模擬預測）如圖，位于江城廣場某大廈樓頂?shù)乃拿骁娕c搖櫓人雕像相映成趣，一直以來是吉林市的重要地標之一.該時鐘整體呈正方體造型，在相鄰兩個時鐘正常運行的過程中，兩時針所在直線所成的角的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則正確的選項是（ ）
①截面多邊形可能是三角形或四邊形.
②截面多邊形周長的取值范圍是.
③截面多邊形面積的取值范圍是.
④當截面多邊形是一個面積為的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
6．（2024·上?！と＃┤鐖D，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（ ）
A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線
B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線
C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線
D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（ ）
①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①②B．③④C．①④D．①②④
8．（2024·重慶·模擬預測）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內(nèi)的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（ ）
A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面
B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面
D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面
10．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預測）如圖，長方體，過點作平面的垂線，垂足為點．則以下命題中，正確的是（ ）
A．點是的垂心B．垂直平面
C．的延長線經(jīng)過點D．直線和是異面直線
11．（多選題）（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．四點共面B．與異面
C．D．RS與所成角為
12．（多選題）（2024·浙江溫州·三模）已知空間兩條異面直線所成的角等于60°，過點與所成的角均為的直線有且只有一條，則的值可以等于（ ）
A．30°B．45°C．75°D．90°
13．（2024·全國·二模）已知長方體的底面ABCD為邊長是2的正方形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點，則過，E，F(xiàn)的平面截長方體的表面所得截面的面積為 .
14．（2024·遼寧大連·二模）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為 .
15．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長為 ．
16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在正方體中，點P是線段上的一個動點，記異面直線DP與所成角為，則的最小值為 ．
17．（2024·四川涼山·三模）如圖，在正四棱柱中，，，點，，，分別在棱，，，上，．

(1)證明：點在平面中；
(2)求多面體的體積．
18．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長均相等.，，分別為棱，，的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)求直線與所成角的正弦值.
19．（2024·貴州貴陽·二模）如圖.直四棱柱的底面為菱形，且分別是上，下底面的中心，是AB的中點，.
(1)當時，求直線與直線EC所成角的余弦值；
(2)是否存在實數(shù)k，使得在平面EBC內(nèi)的射影恰好為的重心.若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由.
1．（2002年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（新課標））已知，為異面直線，平面，平面，，則（ ）
A．與，都相交B．與，中至少一條相交
C．與，都不相交D．至多與，中的一條相交
2．（2006 年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（上海卷））已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2006 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（上海卷））若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件
4．（2002年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（大綱卷））正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個棱柱側(cè)面對角線與所成的角是（ ）
A．B．C．D．
5．（2001年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（京蒙皖））如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°；④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（ ）
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
6．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（大綱卷））已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學卷（湖南））如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（ ）
A．與垂直B．與垂直
C．與異面D．與異面
8．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅱ））已知正四棱柱中，，E為中點，則異面直線BE與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2011年浙江省普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學）若直線不平行于平面，且，則
A．內(nèi)的所有直線與異面B．內(nèi)不存在與平行的直線
C．內(nèi)存在唯一的直線與平行D．內(nèi)的直線與都相交
10．（2010年綏濱一中高一下學期期末考試數(shù)學卷）經(jīng)過同一條直線上的3個點的平面
A．有且只有一個B．有且只有3個
C．有無數(shù)多個D．不存在
11．（2002 年普通高等學校春季招生考試數(shù)學試題（上海卷））如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段??和在原正方體中相互異面的有 對
12．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：
（1）當時，；
（2）點在平面內(nèi)．
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc174542185" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc174542185 \h 2
\l "_Tc174542186" 題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” PAGEREF _Tc174542186 \h 2
\l "_Tc174542187" 題型二：截面問題 PAGEREF _Tc174542187 \h 4
\l "_Tc174542188" 題型三：異面直線的判定 PAGEREF _Tc174542188 \h 5
\l "_Tc174542189" 題型四：異面直線所成的角 PAGEREF _Tc174542189 \h 6
\l "_Tc174542190" 題型五：平面的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc174542190 \h 6
\l "_Tc174542191" 題型六：等角定理 PAGEREF _Tc174542191 \h 7
\l "_Tc174542192" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc174542192 \h 8
\l "_Tc174542193" 03 真題實戰(zhàn)練 PAGEREF _Tc174542193 \h 13

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