知識點(diǎn)一：兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．
知識點(diǎn)二：三種距離
1、兩點(diǎn)間的距離
平面上兩點(diǎn)的距離公式為．
特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離
2、點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．
（2）設(shè)，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．
4、雙根式
雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．
【解題方法總結(jié)】
1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有
可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．
3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱
法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．
4、直線關(guān)于直線對稱
求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)
第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
6、過定點(diǎn)直線系
過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．
10、過兩直線交點(diǎn)的直線系
過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．
題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
例1．（2023·高二課時練習(xí)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】易知直線的斜率為，
由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；
聯(lián)立，解得；
即交點(diǎn)為
故選：C.
例2．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)校考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，. 若，則的值為（ ）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，解得，又，所以?br>解得.所以.
故選：A.
例3．（2023·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)時，直線，，
此時，則，所以，故充分性成立；
當(dāng)時，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：C.
變式1．（2023·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）直線：與直線：平行， 則（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€：與直線：平行，
所以或，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
當(dāng)時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
故選：A.
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，則條件“”是“”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不必要也不充分條件
【答案】B
【解析】若，則，
解得或.
故是的充分不必要條件.
故選：B
變式3．（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江一中?？既＃┮阎本€，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)橹本€，且，則，
所以.
故選：B
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故選：D.
變式5．（2023·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】為的垂心 ，
又，
直線斜率存在且，
設(shè)，則，解得：
本題正確選項(xiàng)：
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線，直線，下列說法正確的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，與都相交D．，使得原點(diǎn)到的距離為3
【答案】B
【解析】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項(xiàng)A錯誤；
對B，要使，，，解之得，所以B正確；
對C，過定點(diǎn)，該定點(diǎn)在上，但是當(dāng)時，與重合，所以C錯誤；
對D，，化簡得，此方程，無實(shí)數(shù)解，所以D錯誤.
故選：B.
變式7．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)分別為中所對邊的邊長，則直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合
【答案】B
【解析】由題意可知直線與直線的斜率均存在且不為0，
直線的斜率，
直線的斜率，
由正弦定理可得，
所以兩直線垂直，
故選：B
【解題方法總結(jié)】
判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：
當(dāng)時，直線相交；
當(dāng)時，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；
當(dāng)時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，
所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，
設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.
法二：由題意，直線l過定點(diǎn)，
設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為.
如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運(yùn)動時，兩直線的交點(diǎn)在第一象限，易知，
∴的傾斜角為，的傾斜角為.
∴直線l的傾斜角的取值范圍是.
故選：D
例5．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┮阎龡l直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個B．2個C．個D．無數(shù)個
【答案】C
【解析】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時，可將平面分為六個部分，
聯(lián)立與，解得，
則將代入中，，解得，
當(dāng)與平行時，滿足要求，此時，
當(dāng)與平行時，滿足要求，此時，
綜上，滿足條件的的值共有3個.
故選：C
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A．個B．個
C．個D．個
【答案】C
【解析】三條直線不能構(gòu)成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點(diǎn)，
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.
故實(shí)數(shù)的取值最多有個.
故選:C
變式8．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)在直線上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】由題意可知，OP的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，
則.
故選：C
變式9．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎c(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】就是到原點(diǎn)距離，
到原點(diǎn)距離的最小值為
則的最小值為2，
故選：B.
變式10．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)、、，且，則 .
【答案】
【解析】已知點(diǎn)、、，且，
則，解得.
故答案為：.
變式11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則 ．
【答案】9或
【解析】由，
得，
即，解得或．
故答案為：9或.
變式12．（2023·全國·高二課堂例題）已知點(diǎn)，，，則的面積為 ．
【答案】5
【解析】設(shè)邊上的高為，則就是點(diǎn)C到AB所在直線的距離．
易知．
由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即．
點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積為．
故答案為：5
變式13．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則 .
【答案】/4.5
【解析】依題意，直線，而點(diǎn)，
所以.
故答案為：
變式14．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校c(diǎn)到直線的距離的最大值是 ．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，
記，直線為直線，
則當(dāng)時，此時點(diǎn)到直線的距離最大，
∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：
.
故答案為：.
變式15．（2023·高二課時練習(xí)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為 ．
【答案】或
【解析】解析：由解得
所以l1，l2的交點(diǎn)為.
顯然，直線滿足條件；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
即，
依題意有，解得.
所以所求直線方程為或．
故答案為：或．
變式16．（2023·江西新余·高二?？奸_學(xué)考試）若點(diǎn)到直線的距離為3，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，
可得，即，解得或，
又因?yàn)椋?
故答案為：.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
【答案】或或（填其中一個即可）
【解析】設(shè)，，連接MN，則.
以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，
所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.
當(dāng)公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.
當(dāng)公切線的斜率存在時，設(shè)公切線的方程為，則有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切線方程為或.
綜上，直線l的方程為或或.
故答案為：或或
變式18．（2023·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)校考開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是 .
【答案】/
【解析】兩條直線與平行,
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)時，,兩直線不重合；
所以，
則與間的距離,
故答案為：.
變式19．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行直線與之間的距離為 ．
【答案】/0.3
【解析】由題意得即
則平行直線與之間的距離為，
故答案為：
變式20．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為 ．
【答案】
【解析】直線不過原點(diǎn)且與平行，可設(shè)直線，
與之間的距離，解得：或（舍），
直線的一般式方程為：.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．
題型三：有關(guān)距離的最值問題
例7．（2023·北京·高三強(qiáng)基計劃）的最小值所屬區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．前三個答案都不對
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)．
根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式為M，則，
等號當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點(diǎn)時取得．
因此所求最小值為13．
故選：C.
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】依題意，方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心，2、3為半徑的圓，
令，即點(diǎn)分別在、上，如圖，
顯然，，即有，
，取線段中點(diǎn)，連接，則，
因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
而，
即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點(diǎn)，
于是，，
，原點(diǎn)到直線的距離，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時取等號，
所以.
故答案為：
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【解析】關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時直線為.過作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點(diǎn)共線時最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案為：.
變式21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，
直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，
故，且到直線的距離等于到的距離，
設(shè)，則，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，顯然，
故的最小值為．
故答案為：．
變式22．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線過定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，所以直線l過定點(diǎn)，
依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得．
故選:B.
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】,
可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，
最小值為間的距離.
故選：D.
變式24．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，則.
設(shè)，則有，解得，所以.
設(shè)，則，所以，
又，所以點(diǎn)到軸的距離為，
所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.
過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，和有最小值.
過點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時的位置.
因?yàn)?，所以的最小值?
故選：B．
變式25．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時等號成立，
所以的最小值是4，
故選：B.
變式26．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為,如圖所示，若點(diǎn)不在直線上則,
連接并延長交x軸于點(diǎn)P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
變式27．（2023·天津和平·高二天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使得：
(1)P到和的距離之差最大；
(2)P到和的距離之和最小.
【解析】（1）畫出直線和點(diǎn)和，如圖：在兩側(cè)，
作B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接,
則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，
設(shè)D為l上異于P的一點(diǎn)，則 ,
故,
故最大，即此時P到和的距離之差最大，
設(shè)，則 ，解得 ，
故直線方程為，聯(lián)立 ，解得 ，
即；
（2）如圖：在同側(cè)，
作C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接,
則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，
設(shè)E為l上異于P的一點(diǎn)，則 ,
故,
故最小，即此時P到和的距離之和最小.，
設(shè)，則 ，解得 ，
故直線方程為，聯(lián)立 ，解得 ，
即即；
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上的兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題可知A為(0，1)，且P、A、Q三點(diǎn)共線，
設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為E(x，y)，連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的軌跡方程為，
即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)直線l為，
則E到l的最小距離為．
過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，
則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點(diǎn)， 則ER是直角梯形的中位線，
∴，
即，
即．
故選：C．
變式29．（2023·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，
因?yàn)?，?br>，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，
因?yàn)?，所以，故，則，
故點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，
因?yàn)?，所以，同理得：，?br>，
故的最小值為.
故選：B
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，
由可看作與的距離和與的距離之和，
設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
故，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取等號，
所以的最小值為.
故選：C
變式31．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【解析】
顯然過定點(diǎn)，直線可化成，則經(jīng)過定點(diǎn)，
根據(jù)兩條直線垂直的一般式方程的條件，，
于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點(diǎn)，則，
又，由勾股定理和基本不等式，
，則，
當(dāng)時，的最大值是.
故選：C
變式32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】由題意知過定點(diǎn),
動直線即過定點(diǎn)，
對于直線和動直線滿足，
故兩直線垂直，
因此點(diǎn)M在以為直徑的圓上，，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最大值為，
故選：C
【解題方法總結(jié)】
數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
題型四：點(diǎn)點(diǎn)對稱
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.
故答案為：.
例11．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長度為 .
【答案】
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
例12．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于
【答案】
【解析】根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，
所以，
所以，
故答案為：
變式33．（2023·高一課時練習(xí)）已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則．由點(diǎn)Q在直線上，得，．故．
所以直線l的斜率為，所以
故答案為
【解題方法總結(jié)】
求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
題型五：點(diǎn)線對稱
例13．（2023·湖南長沙·高一周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)周長最小時，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
作關(guān)于的對稱點(diǎn)，
連接交軸于，交于，所以，
此時周長最小，即，
由，直線方程為，所以，解得，
所以，可得直線方程為，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故選：C.
例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點(diǎn)（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，
故直線恒過定點(diǎn).
故選：C
例15．（2023·全國·高二假期作業(yè)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】拋物線即，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則，解得，則，
故選：A．
變式34．（2023·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點(diǎn)，則總路徑長即總長為（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，
由光線反射知識可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，
故四點(diǎn)共線，
因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由對稱的性質(zhì)可得，
所以，
又，
所以.
故選：C.
變式35．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，
則，
即點(diǎn)A坐標(biāo)為.
故選：C
變式36．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，
故直線的方程為，
又由，，，則 的重心為，
設(shè)，其中，點(diǎn)關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)，則有，
解得，即，
易得關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)，
由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共成直線的斜率，
故直線的方程為，
由于直線過 的重心，代入化簡可得，
解得：或 舍，即，故，
故選：C．
【解題方法總結(jié)】
求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)
方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點(diǎn)
方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得
題型六：線點(diǎn)對稱
例16．（2023·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)對稱直線為，
則有，即
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中.
故答案為：.
例18．（2023·河北廊坊·高三?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為 .
【答案】
【解析】直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程可設(shè)為，其中
又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直線方程為：.
故答案為：.
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為 ．
【答案】
【解析】由得：，當(dāng)時，，；
設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為.
故答案為：.
變式38．（2023·遼寧營口·高三統(tǒng)考期末）若直線：與直線關(guān)于點(diǎn)對稱，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離為 .
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，
所以關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
此時和都在直線上，
由直線方程的兩點(diǎn)式可得，即，
所以點(diǎn)到直線的距離為．
故答案為：．
變式39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對稱解得b＝，計算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，
則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b
取直線l上的一點(diǎn) ，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對稱點(diǎn)為 ，
，解得b＝.
∴直線l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案為：6x－8y＋1＝0
【解題方法總結(jié)】
求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．
題型七：線線對稱
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為 ．
【答案】.
【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則， 解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點(diǎn)到直線l的距離即得解.依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，
則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．
設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，
根據(jù)平行線間的距離公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.
故選：A.
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故選：A.
變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】聯(lián)立，得，
取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)所求直線上的任意一點(diǎn)為
則關(guān)于直線對稱點(diǎn)為
點(diǎn)在直線上
滿足直線方程，即
直線關(guān)于直線對稱的直線為
故選：C
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上取一點(diǎn)，
則由題意可得其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，
所以，得，
在上取一點(diǎn)，
則其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，
所以，得，
綜上，
故選：A
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【解析】設(shè)對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B
變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€：與：，
所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得
即直線：，：，
設(shè)直線關(guān)于直線對稱的直線方程為，
則，解得，
故所求直線方程為，
故選：A
變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，
則，解出
點(diǎn)在直線上， 將式代入，得，
化簡得，即為關(guān)于對稱的直線方程．
故選：C
【解題方法總結(jié)】
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．
題型八：直線系方程
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為 .
【答案】
【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，
所以在直線上，
所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.
故答案為：
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】設(shè)直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.過兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因?yàn)樗c直線x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直線為x－y＝0.
故答案為：x－y＝0.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過點(diǎn)作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，直線，即，
則有，解可得，則直線恒過點(diǎn)．
設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，
則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，
所以；即的取值范圍是；
故答案為．
變式46．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求直線方程為，
點(diǎn)在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
變式47．（2023·全國·高二課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即 ①．
又直線l的斜率為，則，解得．
將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．
故答案為：.
變式48．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【答案】或
【解析】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
變式49．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】由題意可設(shè)所求直線方程為，即
令，得
令，得
∵所求直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
∴，即或
∴所求直線方程為或
故答案為或
【解題方法總結(jié)】
利用直線系方程求解．
【解題方法總結(jié)】
1．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）點(diǎn)到直線距離的最大值為
A．1B．C．D．2
【答案】
【解析】方法一：因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離；
要求距離的最大值，故需；
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
可得，當(dāng)時等號成立．
方法二：由可知，直線過定點(diǎn)，
記，則點(diǎn)到直線距離．
故選：．
2．（2018?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離．當(dāng)、變化時，的最大值為
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】由題意，
當(dāng)時，
．
的最大值為3．
故選：．
3．（2014?四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點(diǎn)，
動直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，
動直線和動直線的斜率之積為，始終垂直，
又是兩條直線的交點(diǎn)，，．
設(shè)，則，，
由且，可得，
，
，，，，
，，
，，
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．
（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
2022年上海卷第7題，5分
2020年III卷第8題，5分
2020年上海卷第7題，5分
高考對兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個考點(diǎn)．
兩直線方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一個為0，另一個不存在．

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