\l "_Tc174543425" 01 考情透視·目標導航 PAGEREF _Tc174543425 \h 2
\l "_Tc174543426" 02 知識導圖·思維引航 PAGEREF _Tc174543426 \h 3
\l "_Tc174543427" 03 考點突破·題型探究 PAGEREF _Tc174543427 \h 4
\l "_Tc174543428" 知識點1：四個公理 PAGEREF _Tc174543428 \h 4
\l "_Tc174543429" 知識點2：直線與直線的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc174543429 \h 4
\l "_Tc174543430" 知識點3：直線與平面的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc174543430 \h 5
\l "_Tc174543431" 知識點4：平面與平面的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc174543431 \h 6
\l "_Tc174543432" 知識點5：等角定理 PAGEREF _Tc174543432 \h 6
\l "_Tc174543433" 題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” PAGEREF _Tc174543433 \h 7
\l "_Tc174543434" 題型二：截面問題 PAGEREF _Tc174543434 \h 9
\l "_Tc174543435" 題型三：異面直線的判定 PAGEREF _Tc174543435 \h 10
\l "_Tc174543436" 題型四：異面直線所成的角 PAGEREF _Tc174543436 \h 11
\l "_Tc174543437" 題型五：平面的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc174543437 \h 13
\l "_Tc174543438" 題型六：等角定理 PAGEREF _Tc174543438 \h 14
\l "_Tc174543439" 04真題練習·命題洞見 PAGEREF _Tc174543439 \h 15
\l "_Tc174543440" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc174543440 \h 16
\l "_Tc174543441" 06易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc174543441 \h 18
\l "_Tc174543442" 易錯點：空間點、線、面間的位置關(guān)系判斷錯誤 PAGEREF _Tc174543442 \h 18
\l "_Tc174543443" 答題模板：異面直線所成的角 PAGEREF _Tc174543443 \h 18
知識點1：四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)
推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)
（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
【診斷自測】在長方體中，直線與平面的交點為，與交于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，，三點確定一個平面B．，，三點共線
C．，，，四點共面D．，，，四點共面
知識點2：直線與直線的位置關(guān)系
【診斷自測】兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（ ）
A．一定是異面直線B．一定是相交直線
C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線
知識點3：直線與平面的位置關(guān)系
【診斷自測】四棱錐如圖所示，則直線PC（ ）
A．與直線AD平行B．與直線AD相交
C．與直線BD平行D．與直線BD是異面直線
知識點4：平面與平面的位置關(guān)系
【診斷自測】下列說法正確的是（ ）
A．若直線兩兩相交，則直線共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個不共線的點到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個點到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個
知識點5：等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【診斷自測】已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．

題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
【典例1-1】如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
【典例1-2】空間四邊形中，點分別在上，且．求證：四點共面．
【方法技巧】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．
【變式1-1】在直三棱柱中，，側(cè)棱長為3，側(cè)面積為.

(1)求三棱錐的體積;
(2)若點D、E分別在三棱柱的棱上，且，線段的延長線與平面交于三點，證明：共線.
【變式1-2】已知在正方體中，E、F分別為、的中點，，．求證：
(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；
(2)若交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線；
(3)DE、BF、三線交于一點．
【變式1-3】如圖，在長方體中，、分別是和的中點．
(1)證明：、、、四點共面；
(2)對角線與平面交于點，交于點，求證：點共線；
(3)證明：、、三線共點．
題型二：截面問題
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點，則平面截球的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點，過A，B，P三點作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A．B．9C．D．
【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）設正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-4】已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-5】已知正方體的棱長為，為棱的中點，為側(cè)面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面周長為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-6】（2024·四川宜賓·三模）已知E，F(xiàn)分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則下列說法正確的是（ ）
A．截面多邊形不可能是平行四邊形B．截面多邊形的周長是定值
C．截面多邊形的周長的最小值是D．截面多邊形的面積的取值范圍是
題型三：異面直線的判定
【典例3-1】如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【方法技巧】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
【變式3-1】將下面的平面圖形（每個點都是正三角形的頂點或邊的中點）沿虛線折成一個四面體后，直線MN與PQ是異面直線的是（ ）
A．①④B．②③C．①②D．③④
【變式3-2】已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列說法不正確的是（ ）
A．存在點，使得；B．存在點，使得；
C．直線始終與直線異面；D．直線始終與直線異面.
題型四：異面直線所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條B．3條C．4條D．5條
【方法技巧】
（1）點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【變式4-1】（2024·高三·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱中，，，則直線與直線所成角的正切值為 ．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
【變式4-3】如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱長相等且為4，E為CD的中點，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式4-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）已知矩形中，是邊的中點．和交于點，將沿折起，在翻折過程中當與垂直時，異面直線和所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式4-5】四面體中，，，，求與所成角的余弦值的取值范圍 ．
題型五：平面的基本性質(zhì)
【典例5-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定1個平面B．三條直線最多可確定2個平面
C．三條直線最多可確定3個平面D．三條直線最多可確定4個平面
【典例5-2】（2024·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩個平面垂直
C．一塊蛋糕3刀可以切成6塊
D．一條直線上有兩個點到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)
【方法技巧】
平面具有三大基本性質(zhì)：一、任意三點不共線則確定一個唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個唯一平面；三、過不在同一直線上的三點，有且僅有一個平面。這些性質(zhì)揭示了平面作為二維空間的基本構(gòu)成單元，其存在與確定的唯一性。
【變式5-1】（2024·寧夏銀川·三模）是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式5-2】空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作的平面?zhèn)€數(shù)為（ ）
A．42B．56C．64D．81
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，若是弧BC的中點，是線段AB的中點，則（ ）
A．四點不共面B．四點共面
C．為直角三角形D．為直角三角形
題型六：等角定理
【典例6-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則 ， .
【典例6-2】設與的兩邊分別平行，若，則 .
【方法技巧】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【變式6-1】已知空間中兩個角，且，若，則 .
【變式6-2】過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
【變式6-3】如圖，已知直線，為異面直線，為直線上三點，，，為直線上三點，，，，，分別為，，，，的中點.若，則 .

1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
2．（2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（重慶卷））設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）數(shù)學）過正方體的頂點A作直線，使與棱AB，AD，所成的角都相等，這樣的直線可以作（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
4．（2007年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（上海卷））已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線在上的射影是直線.用與，與的位置關(guān)系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件： .
5．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅰ））已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，若在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
1．（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．一條直線和直線外一點確定一個平面
C．圓心和圓上兩點可確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
2．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在AB，CD，EF，GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？
3．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.
4．如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面？
5．正方體各面所在平面將空間分成幾部分？
易錯點：空間點、線、面間的位置關(guān)系判斷錯誤
易錯分析： 在空間幾何中，點、線、面間的位置關(guān)系判斷錯誤常源于對基本概念的模糊理解或忽視。
【易錯題1】若直線，，滿足，，異面，則與（ ）
A．一定是異面直線B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線
【易錯題2】在空間四邊形的邊、、、上分別取點E、F、G、H，若與相交于一點M，則M（ ）
A．一定在直線上；
B．一定在直線上；
C．可能在直線上，也可能在直線上；
D．不在直線上，也不在直線上．
答題模板：異面直線所成的角
1、模板解決思路
根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內(nèi)的異面直線轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實際上就是原本那兩條異面直線所成的角。一旦證明了這一點，我們就可以利用解三角形等數(shù)學方法，來求解這個角的具體大小。
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
第二步：證明作出的角是異面直線所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例題1】如圖所示，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，且，則直線與所成角的大小為 ．

【典型例題2】如圖，直線平面為正方形，，則直線與所成角的大小為 ．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）基本事實的應用
（2）空間位置關(guān)系的判斷
（3）異面直線所成的角
2023年上海卷第15題，5分
2022年上海卷第15題，5分
2022年I卷第9題，5分
2021年乙卷（文）第10題，5分
本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點，重點關(guān)注異面直線的判定和成角問題、空間點線面的位置關(guān)系問題．對于空間幾何體的點、線、面 的位置關(guān)系，除了題目難度逐步提升，還增加了截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有更強大的邏輯推理能力．
復習目標：
（1）借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義．
（2）了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．
位置關(guān)系
相交（共面）
平行（共面）
異面
圖形
符號
a∥b
公共點個數(shù)
1
0
0
特征
兩條相交直線確定一個平面
兩條平行直線確定一個平面
兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)
位置關(guān)系
包含（面內(nèi)線）
相交（面外線）
平行（面外線）
圖形
符號
∥
公共點個數(shù)
無數(shù)個
1
0
位置關(guān)系
平行
相交（但不垂直）
垂直
圖形
符號
∥
，
公共點個數(shù)
0
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上
無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上

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