第01講三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式（九大題型）（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別
1．與角終邊相同的角是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榕c角終邊相同的角是，，
所以當(dāng)時(shí)，與角終邊相同的角是，D選項(xiàng)符合，其他選項(xiàng)不滿足.
故選：D
2．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，
故選：C．
3．與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在同一個(gè)表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯(cuò)誤．
與終邊相同的角可以寫成的形式，
時(shí)，，315°換算成弧度制為，所以C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
4．把表示成的形式，則θ的值可以是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
故選：B．
題型二：等分角的象限問題
5．如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】∵α為第三象限角，∴，
∴，
令，，時(shí)，，，
可得的終邊在第一象限；
令，時(shí)，，，
可得的終邊在第三象限，
令，時(shí)，，，
∴可得的終邊在第四象限，
故選:B．
6．若角是第二象限角，則是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】由題意可知，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，終邊為第一象限角平分線，終邊為縱軸正半軸，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，終邊為第三象限角平分線，終邊為縱軸負(fù)半軸，
即的終邊落在直線及軸之間，即第一或第三象限.
故選：C.
7．已知θ為第二象限角，若，則在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】因?yàn)棣葹榈诙笙藿牵?br>所以，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，所以在第三象限，
故選:C
8．若是第一象限角，則是（）
A．第一象限角B．第一、四象限角
C．第二象限角D．第二、四象限角
【答案】D
【解析】由題意知，，，
則，所以，．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第四象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
故選：D.
題型三：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算
9．已知一個(gè)扇形圓心角，所對(duì)的弧長(zhǎng)，則該扇形面積為．
【答案】
【解析】因?yàn)樯刃螆A心角，且所對(duì)的弧長(zhǎng)，
設(shè)扇形所在圓的半徑為，可得，解得，
所以扇形的面積為.
故答案為：.
10．（2024·高三·浙江金華·期末）已知一圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為且半徑為1的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為．
【答案】/
【解析】圓錐的側(cè)面積即是側(cè)面展開圖對(duì)應(yīng)的扇形的面積，
所以側(cè)面積.
故答案為：.
11．已知扇形的周長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為．
【答案】或
【解析】設(shè)扇形半徑為，
由題意可知：扇形的弧長(zhǎng)為，
則扇形的面積為，解得或2，
可得扇形的弧長(zhǎng)為或3，所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為或.
故答案為：或.
12．（2024·寧夏·二模）最美數(shù)學(xué)老師手表上的時(shí)針長(zhǎng)度是1厘米，則時(shí)針（時(shí)）轉(zhuǎn)出的扇形面積是平方厘米．
【答案】/
【解析】時(shí)針長(zhǎng)度是1厘米，則時(shí)針（時(shí)）轉(zhuǎn)出的扇形面積（平方厘米）．
故答案為：
13．已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若扇形周長(zhǎng)為20，當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，則圓心角弧度．
【答案】.
【解析】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，且扇形周長(zhǎng)為20，
可得，即，
則扇形的面積，
當(dāng)時(shí)，扇形面積取得最大值，此時(shí).
故答案為：.
題型四：割圓術(shù)問題
14．劉徽（約公元225年年），魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的重要闡釋.割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，當(dāng)變得很大時(shí)，這些等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】將一個(gè)單位圓分成360個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為，
∵這360個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似于單位圓的面積，
∴，
∴.
故選：B.
15．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為，每條邊長(zhǎng)為，
所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，
單位圓的外切正邊形的每條邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，
，
則.
故選：A.
16．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）劉徽（約公元225年—295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一．他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時(shí)，這個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想得到的近似值為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)圓的半徑為，依題意小扇形的圓心角為，
依題意，小扇形的面積近似等于小等腰三角形的面積，
故，化簡(jiǎn)得.
故選：D
題型五：三角函數(shù)的定義
17．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角以為頂點(diǎn)，為始邊.將的終邊繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，
由，，得，
所以.
故選：D
18．已知角終邊上一點(diǎn)，若，則的值為（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】由角終邊上一點(diǎn)，得，因此，解得，
所以的值為.
故選：D
19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)、從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點(diǎn)在第4次相遇時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】相遇時(shí)間為秒，
故轉(zhuǎn)過的角度為，
其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，即.
故選：C
題型六：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值
20．如果是第一象限角，則（）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，則，，
所以，，
所以是第一或第三象限角，則或，，故排除B、D；
又，，
所以的終邊在第一、第二象限或在軸的非負(fù)半軸上，則，
當(dāng)?shù)慕K邊在軸的非負(fù)半軸上時(shí)，無(wú)意義，故排除A.
故選：C
21．（2024·高三·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】充分性：若是第二象限角，則，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即與異號(hào)，則為第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故選：A
22．已知點(diǎn)在第三象限，則角在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】∵點(diǎn)在第三象限，∴，∴在第四象限.
故選：D.
23．（多選題）若，則角的終邊可能在（）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限
【答案】BD
【解析】由題意可得：，即同號(hào)，
所以角的終邊可能在第一象限或第三象限.
故AC錯(cuò)誤，BD正確.
故選：BD.
題型七：弦切互化求值
24．若，則．
【答案】/
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
25．（多選題）已知，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，
，
，故A正確B錯(cuò)誤；
由，所以，，
又，
所以，故C錯(cuò)誤D正確.
故選：AD
26．（多選題）已知，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，平方可得?br>解得，
因?yàn)?，所以，所以，所以A正確；
又由，
所以，所以D正確；
聯(lián)立方程組，解得，所以B正確；
由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，所以C錯(cuò)誤.
故選：ABD
27．已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為．
【答案】/
【解析】因?yàn)?，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，
可得，平方可得，可得，
所以.
故答案為：
28．設(shè)，則
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故答案為：
29．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）已知，且，則．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
題型八：誘導(dǎo)求值與變形
30．已知是第三象限角，且，則， .
【答案】 /
【解析】由二倍角公式得：，
因?yàn)槭堑谌笙藿牵越獾茫?br>再由平方關(guān)系解得：，
所以，，
所以，
，
故答案為：.
31．已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
32．已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得.
故選：C.
33．已知，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又因，故，所以，，
因此.
故選：D.
題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
34．已知，且為第三象限角．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因?yàn)?，?br>所以，又為第三象限角，
所以，所以；
（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得：
．
35．已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，是角終邊上一點(diǎn).
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）由題意得，；
（2），
.
36．已知函數(shù)
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，求?的值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）
（2）因?yàn)?，所以為第三象限角或第四象限?
當(dāng)為第三象限角時(shí)，；
當(dāng)為第四象限角村，.
（3）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
故.
因此.
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來(lái)，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．由，，得，．
因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角為直角，所以，．
所以該梅花磚雕的側(cè)面積，
扇環(huán)的面積為，
則該梅花磚雕的表面積．
故選：C．
2．古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖，設(shè)弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為.
因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角的弧度數(shù)為2.5，
所以，，
即，.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?br>聯(lián)立可得，
解得，所以該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為.
故選：A
3．已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為，為圓心，如下圖，
取的中點(diǎn)，連接，則，則，
則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，
.
故選：D.
4．（2024·山東濟(jì)南·二模）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)；的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與射線的交點(diǎn).則當(dāng)與第2024次重合時(shí)，的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為，
則，解得，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
當(dāng)與第2024次重合時(shí)，，則，
則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，即.
故選：B.
5．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
故選：B
6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三角函數(shù)的定義可得，
所以.
故選：B.
7．（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)，都是唯一確定的，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：
①把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫作的正弦函數(shù)，記作，即；
②把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫作的余弦函數(shù)，記作，即；
③把點(diǎn)的縱坐標(biāo)的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；
④把點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.
下列結(jié)論正確的有（）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．函數(shù)的定義域?yàn)?br>D．當(dāng)且時(shí)，
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A：，故A正確.
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，成立，故B正確.
選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)?，故C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D：當(dāng)且時(shí)，
，成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.
故選：ABD.
8．（2024·北京·三模）“為銳角三角形”是“，，”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】充分性：
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，即，
所以，
同理可得，，
故充分性得證；
必要性：
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>若，則，
若，則，所以，
綜上，，
同理，
所以為銳角三角形，
必要性得證，
綜上所述，為充分必要條件.
故選：C.
9．（多選題）（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）下列說(shuō)法正確的有（）
A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的半徑是
【答案】ABC
【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，為第一象限角，
所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，
所以角的集合是，故A選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以B選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以C選項(xiàng)正確；
設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長(zhǎng)為，
所以扇形周長(zhǎng)為，故，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：ABC
10．（多選題）（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．2
【答案】BD
【解析】由題意，所以或，
所以.
故選：BD.
11．（多選題）（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由得，，則，
因?yàn)?，?br>所以，所以，
由，解得，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，
，即，
解得或（舍去），故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，
故選：BC．
12．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則
【答案】/0.8
【解析】由所以
故答案為：.
13．已知，，則 .
【答案】/
【解析】由可得，故，
又，解得或，
由于，，故，
又，故，因此，
故，
故答案為：
14．（2024·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．
【答案】/
【解析】將兩邊平方，得，即，因?yàn)?，所以，所以，故?br>故答案為：.
15．（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）因?yàn)椤⑹欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理得，
由，
則，
所以；
（2）
；
（3）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，
所以，，，
所以.
16．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值
【解析】（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角終邊經(jīng)過點(diǎn)，

1．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
2．（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】終邊在軸正半軸上的角的集合是
故選：A
3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））若α為第四象限角，則（）
A．cs2α>0B．cs2α0D．sin2α

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