?重難點突破12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題
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導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值．方 法 之 一 是 轉(zhuǎn) 化 化 歸，將 動 點 間 的 距 離 問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．

題型一：曲線與直線的距離
例1．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為_________.
【答案】10
【解析】設(shè)，
則可看做圖象上任意一點與圖象上點的距離的平方，
設(shè)函數(shù)過點的切線平行于直線．
則，令，解得，∴切點．
點P到直線的距離，此時，
∴存在，使，
過點P且與直線垂直的直線方程為：.
聯(lián)立 ，解得．
即，時，存在使得為成立，此時.
故答案為：10
例2．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值______.
【答案】
【解析】由題意可得可以表示兩點與之間距離的平方
故，
可以看成是函數(shù)，
即函數(shù)在的切線與函數(shù)平行時求出最小值
則，解得
此時
故的最小值為
例3．（2023·遼寧錦州·高二校聯(lián)考期中）若實數(shù)滿足，則的最小值為_____．
【答案】8
【解析】實數(shù)、、、滿足：
，
，設(shè)，，則有：，且，設(shè)，，則有：，
就是曲線與直線之間的最小距離的平方值，
對曲線求導(dǎo)：，
與平行的切線斜率，解得：或（舍，
把代入，得：，即切點為，
切點到直線的距離：，
的最小值就是8．
故答案為： 8.
變式1．（2023·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為___．
【答案】
【解析】由，得，
所以表示直線上點到曲線上點距離的平方，
由，令，解得或（舍），
得，所以所求最小值為，
故答案為：.
變式2．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)校考階段練習(xí)）實數(shù)滿足：，則的最小值為________
【答案】/4.5
【解析】由題設(shè)可得，，
故，
設(shè)，，則，
即函數(shù)的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，
而，令，則，此時對應(yīng)的函數(shù)值為1，
故函數(shù)的圖象在處的切線為，
的最小值即為平行線，之間的距離，
此距離為，故的最小值為，
故答案為：
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值是，則的值是_______
【答案】/
【解析】函數(shù)

，
可得表示兩點，的距離的平方，
即有函數(shù)，圖象上的兩點距離的最小值的平方為，
設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切，
，
設(shè)切點為，可得，解得，則，
即有切點為，
則，
解得，
則的值為．
故答案為：．
變式4．（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，存在，使得成立，則實數(shù)=_______.
【答案】/
【解析】設(shè)，設(shè)，則，
而點P在曲線，點Q在直線上，
當(dāng)過曲線上的一點的切線與直線平行時，
點到直線的距離取得最小值
由，可得，所以，
到直線的距離，則，即恒成立，
由題意可知存在，使得，則
過點垂直于的直線為
由，可得，則，則
故答案為：
變式5．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，當(dāng)，變化時，則的最小值______．
【答案】
【解析】由可知，此式表示點與點間的距離，
而點在曲線上，點在直線上，
所以問題轉(zhuǎn)化為求直線與曲線間的最小距離，
將直線向下平移恰好與曲線相切時，所平移的距離為所求的距離，
設(shè)直線向下平移與曲線相切時的直線方程為，
設(shè)切點為，，則，得，
所以，切點為，
所以切線方程為，
此時直線與間的距離為，
故答案為：
題型二：曲線與點的距離
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先設(shè)切點B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實數(shù)的值.因為,所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點B,設(shè),則在B點處切線的斜率為，所以
，選D.
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)直線與曲線在點處的切線垂直，得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用兩點間的距離公式結(jié)合的最小值為，求出的值，即可得出實數(shù)的值.設(shè)點的坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，
由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，則，
得，
由兩點間的距離公式得，
由于的最小值為，即，，解得，因此，.
故選：C.
例6．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，記，
，易知是增函數(shù)，且的值域是，
∴的唯一解，且時，，時，，即，
由題意，而，，
∴，解得，．
∴．
故選：C．
題型三：曲線與圓的距離
例7．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．
【答案】
【解析】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心（0，）到圖象上一點的距離最小值
設(shè)圖象上的一點為
則
即有切線斜率為
可得
,
設(shè)
,
遞增
又
可得處點（e,1）到的距離最小，為
則線段長度的最小值為
例8．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）對于平面曲線S上任意一點P和曲線T上任意一點Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（????）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由題意得：
設(shè)
則



根據(jù)柯西不等式：
于是

于是


令，則
故
故
故選：A
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依題意，圓心為，設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，
設(shè)，
，
令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，故，
所以時，且，
所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，令，則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，
所以時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
故的最小值為，
則線段的長度的最小值為．
故選：B．
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)圖像上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，又圓的圓心為，
令，
，．
令，
，
令，
，時，，
在上單調(diào)遞增，，即
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，而．
，解得；，解得，
在遞減，在遞增，
，
，
則線段的長度的最小值為，
故選：A．
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（????）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】

由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．
設(shè)圖象上一點，令圖象上一點的切線為
由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，
當(dāng)時，圓心到函數(shù)圖象上一點的距離最小，
此時，即有，
由，可得，遞增，又，
所以，，
所以點到點的距離最小，且為，
則線段的長度的最小值為，
故選：A．
題型四：曲線與拋物線的距離
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當(dāng)a，b變化時，的最小值為_______.
【答案】.
【解析】，
函數(shù)表示點和的距離加上的縱坐標(biāo)，
畫出和的圖像，如圖所示：
故，當(dāng)共線時等號成立.
設(shè)，則，，
當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.
，故.
綜上所述：的最小值是.
故答案為：.

例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),其中，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由表示兩點與點的距離，而點在拋物線上，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當(dāng)三點共線時，可求得最小值.
由題意，，
由表示兩點與點的距離，
而點在拋物線上，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，
則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，
由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，
由圖象可知三點共線時，且為曲線的垂線，此時取得最小值，
即為切點，設(shè)，
由，可得，
設(shè)，則遞增，且，可得切點，
即有，則的最小值為，故選C.

例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè).，則的最小值為
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達(dá)式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為
題型五：曲線與曲線的距離
例13．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】由于曲線是由向右平移1個單位得到的，是由現(xiàn)右平移1個單位得到的，所以的最小值可以看成曲線上的點與上的點間的最小值，
因為與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，
所以所求的最小值為曲線上的點到直線的最小距離的2倍，
設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，
因為，由，得，
所以切點，
所以點到直線的最小距離為，
所以的最小值為，
故答案為：
例14．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.
函數(shù)上的點到直線的距離為.
設(shè)函數(shù)，則
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以當(dāng)時，
所以
所以最小值為.
故答案為：
例15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點曲線上，則的最小值為________．
【答案】
【解析】因為曲線與曲線互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于對稱，
所以可先求點到直線的距離的最小值，
設(shè)曲線上斜率為1的切線方程為，
由，可得，令，解得，所以切線的坐標(biāo)為，
所以切線到直線的距離為，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.
【答案】
【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關(guān)于對稱，
∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關(guān)于對稱，|PQ|有最小，對應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對稱即可，
∴令，則，
∴有，則，即，
∴到的距離，
∴.
故答案為：.
變式9．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】由,得：,.所以,與互為反函數(shù)．
它們的圖像關(guān)于對稱．
P在曲線上,點Q在曲線上，
設(shè)，
要使|PQ|的距離最小,則P應(yīng)在上，
又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．
以Q點為例，Q點到直線的最短距離

所以當(dāng),即時,d取得最小值，
則|PQ|的最小值等于.
變式10．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三校考階段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由函數(shù)和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，
可先求得點點到直線的距離為，
設(shè)曲線上斜率為1的切線方程為，
因為，令，可得，即，
即切線的坐標(biāo)為
又由切點到直線距離為，
因為，所以，即，即，
因為，可得，
所以，即，即，
令，則，
令，可得，
所以在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，所以不等式等價于，
則，即，所以，解得，
故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
變式11．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）分別是函數(shù)和圖象上的點，若與x軸平行，則的最小值是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為與x軸平行，設(shè)方程為，
由，可得，即，
由，可得，即，
所以，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
故，
故選：B
變式12．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，則，這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.
所以與的圖象可以看成是由，這兩個函數(shù)圖象向右平移一個單位得到的.
所以的最小值即為曲線與上兩點的最小值.
曲線上的點到直線的距離為
設(shè)，則.
由可得，由可得
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，函數(shù)，所以
由圖象關(guān)于對稱得：的最小值為.
故選：B
題型六：橫向距離
例16．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（????）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù) 的圖像與直線分別交于兩點，
所以，，其中，且，
所以，
令，
則，令得：；
所以易得：時，；時，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此，即的最小值為.
故答案為：B.
例17．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┲本€分別與直線，曲線交于A，B兩點，則的最小值為
A． B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】設(shè)，則，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時，函數(shù)的最小值為，故選A．
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：在點處的切線與曲線：相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

設(shè) 恒成立，故單調(diào)遞增，又故
故 ，令
，選D
變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于、兩點，則的最小值為（????）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】設(shè)，，則，，消去得．
所以，其中.
令，，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，．
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，所以的最小值為．
故選：A．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖像分別與直線交于，兩點，則的最小值為（????）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，， ，其中，且，

所以，令，，
則時，解得，
所以時，；時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
故選：C．
變式15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線分別交于，兩點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由可得，
由可得，
所以
設(shè)，，則，
記，則恒成立，
所以即在上單調(diào)遞增，
且，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以的最小值為，
故選：C.
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，
，，，其中，且，
，設(shè)函數(shù)，
，，
令，解得，
當(dāng)，即時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
故時，函數(shù)有最小值，最小值為，
故線段的長度的最小值為．
故選：D．
題型七：縱向距離
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可設(shè)，，即可表示出，構(gòu)造函數(shù)并求得，令求得極值點并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的最小值.直線分別與曲線和曲線交于，兩點，
設(shè)，，
且，，
，．
，，，
令解得，（舍），
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．
所以，
綜上可知的最小值為．
故選：D.
例20．（2023·高二課時練習(xí)）動直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點A，B，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時取得最小值，
所以的最小值為，
故選：A
例21．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若動直線與函數(shù)和的圖象分別交于，兩點，則的最大值為
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】f（x）＝sin（2x），g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），
所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|
＝|sin（2x）﹣sin（2x）|，
|cos2x|，
則cos2x＝±1時，
|MN|的最大值為：．
故選B．
變式17．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，
所以的最小值為，
故選：D.
變式18．（多選題）（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測）若直線與兩曲線、分別交于、兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結(jié)論正確的有（????）
A．存在，使 B．當(dāng)時，取得最小值
C．沒有最小值 D．
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由直線與兩曲線、分別交于、兩點可知．
曲線上點坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，
曲線上點坐標(biāo)，可求得導(dǎo)數(shù)，則切線斜率．
令，則，令，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，
由零點存在定理，使，即，使，即，故A正確；
對于BC選項，，令，其中，則，
由A選項可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
且，，
所以，存在使得，即，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取最小值，即當(dāng)時，取得最小值，故B正確，C錯；
對于D選項，由可得，則，
令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，
因為，，，且，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，
所以，，D對.
故選：ABD.
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線分別與直線，曲線交于、兩點，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】由已知得，，
則
設(shè)，，
則，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以
所以，
當(dāng)時，取最小值為，
故答案為：.

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