重難點(diǎn)突破09 函數(shù)零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用（八大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破09 函數(shù)零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用
目錄
1、函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).
2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).
4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：
（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；
（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
題型一：零點(diǎn)問題之一個(gè)零點(diǎn)
例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù),.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)，.
①求證：函數(shù)存在零點(diǎn)；
②設(shè)，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.問：是否存在，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立？如果存在，試確定的個(gè)數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
例2．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)證明：若，則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
變式1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，證明.
題型二：零點(diǎn)問題之二個(gè)零點(diǎn)
例4．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設(shè).
（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；
（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿足.
例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．
例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.
變式3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．
變式4．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．
(1)若，求證：
（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；
（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；
(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．
題型三：零點(diǎn)問題之三個(gè)零點(diǎn)
例7．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.
例8．（2023·廣東深圳·校考二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；
②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.
例9．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知．
（1）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為且，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）.
（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；
（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.
變式7．（2023·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求，并說明函數(shù)在（1，e）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.
題型四：零點(diǎn)問題之max，min問題
例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
例11．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
例12．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
變式8．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，.
(1)若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；
(2)用表示m，n中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若直線與曲線相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).
(1)若過點(diǎn)可作的兩條切線，求的值.
(2)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
題型五：零點(diǎn)問題之同構(gòu)法
例13．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍
例14．已知．
（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．
例15．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
題型六：零點(diǎn)問題之零點(diǎn)差問題
例16．已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．
（1）若，，，求的表達(dá)式；
（2）若，，，，求的取值范圍；
（3）若，，，，，，求證：．
例17．已知函數(shù)．
（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：．
例18．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．
題型七：零點(diǎn)問題之三角函數(shù)
例19．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)．
(1)若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；
(2)證明：；
(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說明理由．
例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.
例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；
②，其中且．
變式11．（2023·山東濟(jì)南·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？级＃┮阎?，（n為正整數(shù)，）．
(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
題型八：零點(diǎn)問題之取點(diǎn)技巧
例22．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
例23．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
例24．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
變式12．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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