考試時(shí)間:120分鐘 分值：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
2. 從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會，我國獲得的夏季奧運(yùn)會金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 16B. 30C. 32 D. 51
3. 如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.
4. 《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時(shí)節(jié)的日影長為( )
A．2.5尺 B．3.5尺 C． 4.5尺 D．1.5尺
5. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對得 6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，則（ ）
A. 若，則B. 若，共線，則
C. 不可能是單位向量D. 若，則
10. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A. 的公比為B. 的公比為2
C. D. 數(shù)列遞增數(shù)列
11. 已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點(diǎn)，，與直線分別切于點(diǎn)C，D，且，相交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量滿足，且，則________.
13. 若，且，則__________.
14. 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).設(shè)A是直線BC外一點(diǎn)，P是直線BC上一點(diǎn)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.
16. （15分）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）證明：.
（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍.
17.（15分）8世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（Brk Taylr）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．其中，f″x表示的二階導(dǎo)數(shù)，即為f'x的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)．
(1)根據(jù)公式估計(jì)的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
(2)由公式可得：，當(dāng)時(shí)，請比較與的大小，并給出證明；
18. （17分）某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額Xn1≤n≤6的數(shù)學(xué)期望為EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)寫出EXn與EXn?1n≥2的遞推關(guān)系式，并證明EXn+50為等比數(shù)列；
(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：1.26≈2.986）
19.已知.
(1)求的定義域；
(2)若恒成立，求能夠取得的最大整數(shù)值；
(3)證明：.
數(shù)學(xué)試卷答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以．故選B．
2. 從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會，我國獲得的夏季奧運(yùn)會金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 16B. 30C. 32D. 51
【答案】C
【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.
【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)椋@11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.故選：.
3. 如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由，解得.
設(shè)，則.
4. 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. 147B. C. 63D.
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出展開式中項(xiàng)即可列式計(jì)算即得【詳解】二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)分別為，
所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：C
5. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的定義域計(jì)算求解.
【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，令單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減且恒為正，所以且，所以．故選：D．
6. 已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，，再利用兩角和的正切公式可求出的值.
【詳解】因?yàn)?，是一元二次方程的兩個(gè)根，
顯然，所以，，
所以，所以．故選：A．
7. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.
【詳解】令，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).由，得，即，從而，即故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化成，再求的取值范圍
8. 若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【分析】就、、分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.
【詳解】令，則或，
由，當(dāng)時(shí)，在0,4上沒有零點(diǎn)，
則在0,4上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)椋詍的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在0,4上有1個(gè)零點(diǎn)，
在0,4上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在0,4上有2個(gè)零點(diǎn)，故在0,4上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)椋缘娜≈狄来螢?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對得 6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，則（ ）
A. 若，則B. 若，共線，則
C. 不可能是單位向量D. 若，則
【答案】AD
【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.
【詳解】對于A，由，得，解得，A正確；
對于B，由，共線，得，解得，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，是單位向量，C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確．
故選：AD
10. 在等比數(shù)列中，，則（ ）
A. 的公比為B. 的公比為2
C. D. 數(shù)列遞增數(shù)列
【答案】BC【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，
依題意得解得所以故，故BC正確，A錯(cuò)誤；對于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：BC.
11. 已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點(diǎn)，，與直線分別切于點(diǎn)C，D，且，相交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根據(jù)公切線的有關(guān)概念判斷與的關(guān)系，可判斷A、B選項(xiàng)的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，可判斷公切線斜率的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點(diǎn)，判斷D的真假.
【詳解】由題意得，，所以，即，由，整理得，且，A錯(cuò)誤；
把，，代入，整理得，B正確；
分別作出與的圖象如下：
兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以圖象上的切點(diǎn)有2個(gè)，即與的公切線有2條．
因?yàn)椋膱D象關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，，，C正確；
因?yàn)橹本€，關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)就是直線與直線的交點(diǎn)，
直線的方程為，與聯(lián)立得，
所以，所以，
由且可得，
設(shè)，則，所以，所以，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，這一性質(zhì)的應(yīng)用在判斷D選項(xiàng)時(shí)很重要.（2）看到不等式，就要想到求代數(shù)式的最值，常見的最值的求法有：第一：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；第三：利用三角函數(shù)的有界性求最值.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量滿足，且，則________.
【答案】【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直的表示直接計(jì)算即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
所以.故答案為：.
13. 若，且，則__________.
【答案】【分析】化簡三角函數(shù)式，求出，根據(jù)即可求解.【詳解】由，得.
因?yàn)?，所以，則，則.
由，得，則，解得.故答案為：.
14. 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋2,4n＋5).設(shè)A是直線BC外一點(diǎn)，P是直線BC上一點(diǎn)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(a1＋a5,b3)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
答案 －eq \f(9,25)
解析 依題意，B，C，P三點(diǎn)共線，
∴eq \f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq \f(a3,b3)，
依題意，eq \f(a3,b3)＝eq \f(2a3,2b3)＝eq \f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq \f(?a1＋a5?×\f(5,2),?b1＋b5?×\f(5,2))＝eq \f(S5,T5)＝eq \f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq \f(17,25)，
∴λ＝1－2×eq \f(17,25)＝－eq \f(9,25).
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（13分）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.
【答案】(1);(2)，
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
根據(jù)題意可得，解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以.
16. （15分）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）證明：.（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍.
【答案】【分析】（1）化簡已知等式結(jié)合余弦定理可得，再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合正弦定理可得，根據(jù)銳角確定角C的范圍，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)?，所以，整理得又，所以，從而，整理得，則.
由，得，
即，結(jié)合銳角中，，
則，即.
【小問2詳解】
如圖，由，可得，則.
在中，由正弦定理得，
整理得.
因?yàn)?，且是銳角三角形，所以解得，
則，
從而，即的取值范圍為.
17.（15分）8世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（Brk Taylr）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．其中，f″x表示的二階導(dǎo)數(shù)，即為f'x的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)．
(1)根據(jù)公式估計(jì)的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
(2)由公式可得：，當(dāng)時(shí)，請比較與的大小，并給出證明；(3)已知，證明：．
【答案】(1)(2)，證明見解析(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)泰勒公式求得，賦值即可求得近似值；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可證明；
（3）根據(jù)（2）中所得結(jié)論，將目標(biāo)式放縮為 ，再裂項(xiàng)求和即可證明.
【詳解】（1）記，則，
，所以，
因?yàn)椋?br>所以且，，．
（2）令，則，
恒成立，在遞增，在遞增，
在遞增，，即.
（3）由題，，則，則，
令，
易得在上遞增，在上遞減，從而，
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），
，即，
，
，得證．
【點(diǎn)睛】本題第三問的處理關(guān)鍵是能夠利用第二問結(jié)論，將原式放縮為，再利用裂項(xiàng)求和法證明，對學(xué)生已知條件的利用能力以及綜合應(yīng)用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.
18. （17分）某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額Xn1≤n≤6的數(shù)學(xué)期望為EXn.
(1)求EX1及X2的分布列.
(2)寫出EXn與EXn?1n≥2的遞推關(guān)系式，并證明EXn+50為等比數(shù)列；
(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：1.26≈2.986）
【答案】(1)EX1=40，分布列見解析；
(2)EXn=1.2EXn?1+10(2≤n≤6)，證明見解析；
(3)所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望約為593.7元.
【分析】（1）利用古典概型求出抽到紅球、黑球的概率，求出EX1，再求出X2的可能值及對應(yīng)概率列出分布列.
（2）分析求出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法證明即可.
（3）由（2）的結(jié)論，利用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.
【詳解】（1）依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為610=0.6，抽到一個(gè)黑球的概率為0.4，
顯然X1的值為25，50，則PX1=25=0.4,PX1=50=0.6，
所以EX1=25×0.4+50×0.6=40，
又X2的值為25,50,100，
則PX2=25=0.4,PX2=50=0.4×0.6=0.24,PX2=100=0.6×0.6=0.36，
所以X2的分布列為：
（2）依題意，當(dāng)n≥2時(shí)，甲第n次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為2EXn?1，對應(yīng)概率為0.6，
抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對應(yīng)概率為0.4，
因此當(dāng)2≤n≤6時(shí)，EXn=2EXn?1×0.6+25×0.4=1.2EXn?1+10，
EXn+50=1.2EXn?1+60，即EXn+50=1.2EXn?1+50，又EX1+50=40+50=90，
數(shù)列EXn+50為等比數(shù)列，公比為1.2，首項(xiàng)為90.
（3）由（2）得，EXn+50=90×1.2n?11≤n≤6，即EXn=90×1.2n?1?50，
所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為i=16E(Xn)=90(1?1.26)1?1.2?50×6≈90×(1?2.986)?0.2?300=593.7（元）.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）.
18.已知.
(1)求的定義域；
(2)若恒成立，求能夠取得的最大整數(shù)值；
(3)證明：.
【答案】(1)(2)1(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義，得到不等式組，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)推出，即可得到函數(shù)的定義域；
（2）由題設(shè)不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為，恒成立，討論函數(shù)得，則須使，令得其當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式進(jìn)行放縮得到，取，推得再對進(jìn)行賦值相加即可得證.
【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，需滿足，令，
則，令解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴fx的定義域?yàn)?,+∞；
（2）由恒成立得，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
下面說明當(dāng)且為整數(shù)時(shí)不等式成立的情況.當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，此時(shí)恒成立，
令，則，令得，
當(dāng)即且為整數(shù)時(shí)，無解；
當(dāng)即且為整數(shù)時(shí)，
若，則，若，則，即?x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則要使不等式恒成立，須使恒成立，
令則故單調(diào)遞增，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)恰有原不等式恒成立，
綜上所述，能夠取得的最大整數(shù)值是1；
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
令，則有即
于是，
，得證..
X2
25
50
100
P
0.4
0.24
0.36

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