湖北省部分省級示范高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

★?？荚図樌?br>注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
⒉選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答；用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式計算，得到答案.
【詳解】A選項，，A錯誤；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C正確；
D選項，，D錯誤.
故選：C
2. 已知為等差數(shù)列，，則等于（）
A. 21B. 17C. 23D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得和公差，然后計算出．
【詳解】設(shè)公差為，因為，
所以，解得，
所以，
故選：D．
3. 甲、乙兩人要在一排6個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有（）
A. 6種B. 3種C. 20種D. 12種
【答案】A
【解析】
【分析】采用插空法，在4個空座中間的3個空中插入甲、乙兩人的座位即可得答案.
【詳解】一排共有6個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有4個空座.
要求每人左右均有空座，即在4個空座的中間3個空中插入2個座位讓兩人就坐，
即有種坐法.
故選：A.
4. 設(shè)等比數(shù)列前項和為，若，則等于（）
A. －2B. －1C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式列方程組求解．
【詳解】由題意易知數(shù)列的公比，
則有，解得，
故選：B．
5. 學(xué)校將從4男4名女中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手．要求甲乙同時入選或同時不入選．不同組隊形式有（）種．
A. 480B. 360C. 570D. 540
【答案】C
【解析】
【分析】甲乙同時入選時，按甲擔(dān)任四辯手或擔(dān)任二、三辯手分類求解，甲乙同時不入選時，直接從6人中選4人排列即可得，結(jié)合分類加法原理計算．
【詳解】甲乙同時入選時，按甲擔(dān)任四辯手或擔(dān)任二、三辯手分類求解，甲乙同時不入選時，直接從6人中選4人排列即可得．
因此所求方法數(shù)為，
故選：C．
6. 如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，設(shè)，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. 是的極大值點(diǎn)D. 是的極小值點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，求得函數(shù)在處的切線方程，得到，通過對其求導(dǎo)分析，得出的單調(diào)性，極值和值域，即可一一判斷選項正誤.
【詳解】因函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，
即，則，
于是，，由圖知，當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時.
對于B項，由上分析，B項顯然錯誤；
對于C, D項，由上分析，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減,
即當(dāng)時，取得極大值，且，故C項正確，D項錯誤；
對于A項，由上分析時，取得極大值，也是最大值，
則有，故A項錯誤.
故選：C.
7. 函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，由條件不等式判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，將不等式轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性將問題簡化為在上恒成立，求出函數(shù)在上的最小值即得.
【詳解】由，，可設(shè)，，
則，即函數(shù)在上為減函數(shù),
因，則，由可得，即，
故得，即在上恒成立.
令，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
則時，取得最小值，故，又，故.
故選：B.
8. 數(shù)列，若存在常數(shù)，對任意的，恒有，則稱數(shù)列為數(shù)列．記是數(shù)列的前項和，下列說法錯誤的是（）
A. 首項為1，公比為的等比數(shù)列是數(shù)列
B. 存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得數(shù)列是數(shù)列
C. 若數(shù)列是數(shù)列，則數(shù)列是數(shù)列
D. 若數(shù)列是數(shù)列，則數(shù)列是數(shù)列
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)定一一檢測選項A,B,C,均可推理得到，通過舉反例可說明D項不是數(shù)列即得.
【詳解】對于A項，設(shè)首項為1，公比為的等比數(shù)列是，則，
因為，
則，
故該數(shù)列是數(shù)列，即A項正確；
對于B項，取，則，
因，
則
，
故該數(shù)列是數(shù)列，即B項正確；
對于C項，時，，當(dāng)時，，
因數(shù)列數(shù)列，
則存在常數(shù)，滿足,
則
,
而是另一個常數(shù)，故數(shù)列是數(shù)列，即C項正確；
對于D項，當(dāng)，則，
易得數(shù)列是數(shù)列，而此時，
于是，而，
具有任意性，故數(shù)列不是數(shù)列，即D項錯誤.
故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決數(shù)列新定義的問題時，應(yīng)充分理解數(shù)列的概念，善于觀察分析數(shù)列新定義的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用其性質(zhì)，善于把陌生的知識點(diǎn)化歸為熟悉的知識點(diǎn)或方法，達(dá)到解題的目的.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，存多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 等差數(shù)列前項和為，則（）
A. B.
C. D. 當(dāng)時，的最小值為16
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，利用等差數(shù)列通項公式求出，由此利用等差數(shù)列通項公式和求和公式即可求解判斷.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因為，所以，
即，
對于A，，故A正確；
對于B，，所以，故B錯誤；
對于C，，，所以,故C錯誤；
對于D，，
因為，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，的最小值為16，故D正確.
故選：AD.
10. 某中學(xué)A，B，C，D，E五名高一學(xué)生選擇甲、乙、丙、丁四個社團(tuán)進(jìn)行實(shí)踐活動，每名學(xué)生只能選一個社團(tuán)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 所有不同的分派方案共種
B. 若甲社團(tuán)沒人選，乙、丙、丁每個社團(tuán)至少有一個學(xué)生選，則所有不同的分派方案共300種
C. 若每個社團(tuán)至少派1名志愿者，且志愿者必須到甲社團(tuán)，則所有不同分派方穼共60種
D. 若每個社團(tuán)至少有1個學(xué)生選，且學(xué)生A，B不安排到同一社團(tuán)，則所有不同分派方案共216種
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計數(shù)可知A正確；對于B，C，按照先分組再分配的方法計數(shù)可知B不正確；C正確；對于D，由間接法求解可知D正確.
【詳解】對于A，每名學(xué)生都有4種安排方案，故共有種不同的分派方案，故A正確；
對于B，先將5個人分成3組，分兩類：第一類，一組3人，另2組各一人，有種；
第二類，一組2人，一組2人，一組1人，有種，故共有種分組方法，
再將分好的三組分配到三個社團(tuán)，共有種分派方案，故B不正確；
對于C，分兩類：第一類，甲社團(tuán)分1人，只能是A，另外4人有種，第二類，甲社團(tuán)分2人，共有種，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分派方案，故C正確；
對于D，若每個社團(tuán)至少派1名學(xué)生，則有種，其中學(xué)生A，B安排到同一社團(tuán)時，有種，
故若每個社團(tuán)至少派1名學(xué)生，且學(xué)生A，B不安排到同一社團(tuán)時，
共有種不同分派方案，故D正確.
故選：ACD
11. 已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，且，．設(shè)的零點(diǎn)個數(shù)為，方程的實(shí)根個數(shù)為，則（）
A. 當(dāng)時，B. 當(dāng)時，
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)得或，然后根據(jù)和分類確定的單調(diào)性，再根據(jù)的正負(fù)或為0分類討論方程根據(jù)的個數(shù)得值，從而判斷各選項．
【詳解】由題意得，由題意，為的兩根，
由題意或，
選項A，若，則在和上都有，相應(yīng)均遞增，
在上，即遞減，從而，
若，則，，因此，不合題意，所以，A正確；
選項B，時，同選項A討論可得在和上均遞減，在上遞增，
，又，因此，
以下分類討論中，可作出的示意圖，
若，則，此時有一根，有兩根，；
若，則，此時有兩根，有兩根，；
若，則，此時有三根，有兩根，，
均滿足，B正確；
選項C，由選項B的討論知C錯誤，如時，；
選項D，在選項B的討論中知，
下面討論的情形，單調(diào)性由選項A的討論知悉，，
以下討論中，作出的示意圖，
若，，此時有一根，有兩根，；
若，則，此時有一根，有兩根，；
若，則，此時有一根，有兩根，，
，
綜上的值為，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，單調(diào)性與極值的關(guān)系，方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)，因此分類討論時，作出函數(shù)的圖象可使得結(jié)論一目了然．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 關(guān)于的方程的解是______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用組合數(shù)和排列數(shù)公式求解.
【詳解】解：因為，，且，
所以，解得，
故答案為：7
13. 已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，依題可得，求得或，代入函數(shù)式，進(jìn)行檢驗，舍去，即得結(jié)論.
【詳解】由求導(dǎo)，，
依題意，，即，解得或.
當(dāng)，時，，，
，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
即時，函數(shù)取得極小值，符合題意，此時；
當(dāng)，時，，，
因，
即函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值，與題意不符，舍去.
故答案：.
14. 已知定義域為的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若將方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)記為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出函數(shù)的周期是2，引入函數(shù)，作出它們的圖象，觀察圖象交點(diǎn)得交點(diǎn)個數(shù)，從而得，然后用裂項相消法求和．
【詳解】由題意，所以是周期函數(shù)，且周期為2，
又，則是偶函數(shù)，又也是偶函數(shù)，
所以與的圖象關(guān)于軸對稱，它們的交點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)，
在時，，，
作出函數(shù)與的圖象，如圖，
因為，所以函數(shù)與的圖象的右側(cè)有個交點(diǎn)，
所以，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查方程根的個數(shù)問題，考查裂項相消法求和，對于函數(shù)方程根的個數(shù)，一般需要確定函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等）作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察得出交點(diǎn)個數(shù)，從而可得根的個數(shù)．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品．現(xiàn)需通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結(jié)束．
（1）一共抽取了4次檢測結(jié)束，有多少種不同的抽法?
（2）若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，檢測結(jié)束時有多少種不同的抽法?（要求：解答過程要有必要的說明和步驟）
【答案】（1）96種（2）120種
【解析】
【分析】（1）分兩種情形：第一種是4次抽到的全是正品，第二種前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分類加法原理計算；
（2）由題意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，檢測結(jié)束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不論正品還是次品）都可以結(jié)束，由此計算可得．
【小問1詳解】
有以下兩種情況：
4次均為正品，共有種；
前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共種；
則共有96種．
【小問2詳解】
由題意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結(jié)束，
當(dāng)抽取4次結(jié)束時，第4次抽到的必是次品，共有種抽法；
當(dāng)抽取5次結(jié)束時，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，則共有種抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有種抽法；
共120種抽法．
16. 在數(shù)列中，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由數(shù)列遞推公式，采用累加的方法可求得數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和，分別采用了錯位相減法和分組求和法即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為數(shù)列滿足，且，
當(dāng)時，可得，
即，
當(dāng)時，適合上式，
所以數(shù)列的通項公式為．
【小問2詳解】
由于，且，
則，
即，
設(shè)，
則，
兩式相減得：，
所以，
所以.
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，分類討論和，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)時，不滿足題意，則，將恒成立等價于，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可求出實(shí)數(shù)的取值.
【小問1詳解】
由題意得：定義域為，，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時，令，解得：；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述：時，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．
【小問2詳解】
當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，由（1）知；則；
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
實(shí)數(shù)的取值集合為．
18. 已知數(shù)列中，，且對任意正整數(shù)都有．若數(shù)列滿足：，
（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，若為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通過遞推關(guān)系式確定數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而確定通項公式，再由可得數(shù)列通項公式；
（2）先確定數(shù)列的通項公式，由得，分為奇數(shù)、偶數(shù)討論即可.
【小問1詳解】
根據(jù)已知，，則，且，
則數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故．
由，得，
兩式相減有：，，
當(dāng)時，也符合上式，；
【小問2詳解】
由（1）知，又為遞增數(shù)列，
所以
整理得
當(dāng)為偶數(shù)時，，而，所以．
當(dāng)為奇數(shù)時，，所以
綜上所述，的取值范圍是．
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到極值和最值情況；
（2）由（1）求出的函數(shù)單調(diào)性，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到最小值；
（3）參變分離，，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)，得到，并且，由同構(gòu)和函數(shù)單調(diào)性得到，從而得到，得到答案.
【小問1詳解】
因為，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，
所以的最小值為，無最大值．
【小問2詳解】
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，
；
當(dāng)時，即在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
．
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，
；
綜上所述；
【小問3詳解】
恒成立，即恒成立，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
又，所以在上存在唯一的使，
當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減．
故的最大值為，
又，故，
兩邊取對數(shù)得，
又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖象確定條件.

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