注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題（本題共有8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)條件，結(jié)合復數(shù)的除法運算，求出復數(shù)，，再求即可.
【詳解】由，得，所以，
所以.
故選：C
2. 若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化為橢圓標準方程，再根據(jù)橢圓方程性質(zhì)列不等式組計算即可求參.
【詳解】因為方程表示橢圓，
所以且與不相等，
所以.
故選：C.
3. 若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.
【詳解】由于點在圓的外部，故
，解得，
故選：C
4. 若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)小于零并結(jié)合定義域得出結(jié)果.
【詳解】函數(shù)，定義域為，
由，令，解得，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：C.
5. 在等比數(shù)列中，記其前項和為，已知，則的值為（ ）
A. 2B. 17C. 2或8D. 2或17
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得或，再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的通項公式可得，
整理得，
解得或．
當時，；
當時，．
所以的值為2或17．
故選：D．
6. 設圓和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離均為2，則實數(shù)（ ）
A. B. 1C. 21D. 31
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離，結(jié)合直線在軸的截距，即可求解.
【詳解】的圓心為，半徑為
若圓上恰有三點到直線距離均為2，則圓心到直線的距離為
解得或，
由于直線不經(jīng)過第三象限，則直線與軸的交點，
故，
故選：D
7. 如圖，將繪有函數(shù)（，）部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為，此時A，B之間的距離為，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過分別作軸的垂線，垂足分別為，過分別作軸、軸的垂線相交于點，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根據(jù)圖象過點即可得解.
【詳解】過分別作軸的垂線，垂足分別為，過分別作軸、軸的垂線相交于點，

連接，則，
由余弦定理得，
由上可知，軸垂直于，又平面，
所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，
因為平面，所以，
因為的周期，所以，
由勾股定理得，解得，
由圖知，的圖象過點，且在遞減區(qū)間內(nèi)，
所以，即，
因為，點在遞減區(qū)間內(nèi)，所以.
故選：C
8. 設橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當時，橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理計算，根據(jù)余弦定理計算，根據(jù)等面積法列方程得出，的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率．
【詳解】橢圓的焦點為，，，
根據(jù)正弦定理可得，
，．
設，，則，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故選：B．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 直線恒過定點
B. 若兩直線與平行，則實數(shù)的值為1
C. 若，，則直線不經(jīng)過第二象限
D. 點，，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項，將直線變形為點斜式，求出所過定點；B選項，根據(jù)兩直線平行，得到方程，求出實數(shù)的值，檢驗后得到答案；C選項，直線變形為斜截式，得到斜率與與軸截距，得到C正確；D選項，求出過定點，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)的取值范圍.
【詳解】A選項，，
故直線恒過定點，A正確；
B選項，兩直線與平行，則，
解得或，
當時，兩直線與滿足要求，
當時，兩直線與滿足要求，
綜上，或，B錯誤；
C選項，若，則直線變形為，
直線斜率，與軸截距為
直線經(jīng)過一，三，四象限，不經(jīng)過第二象限，C正確；
D選項，直線，直線經(jīng)過定點，
畫出坐標系，如下：

其中，，
則要想直線與線段相交，則直線斜率或，
解得或，D錯誤.
故選：AC.
10. 已知圓與圓，下列說法正確的是（ ）
A. 過點作圓的切線有且只有一條
B. 圓和圓共有4條公切線
C. 若M，N分別為兩圓上的點，則M，N兩點間的最大距離為
D. 若E，F(xiàn)為圓上的兩個動點，且，則線段的中點的軌跡方程為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，利用點圓位置關(guān)系即可判斷；B選項，將兩圓的一般方程化為標準方程，得到圓心和半徑，判斷兩圓位置關(guān)系即可判斷；C選項，數(shù)形結(jié)合得到；D選項，由垂徑
定理得到，從而得到線段的中點的軌跡方程.
【詳解】對于A，對于圓，有，
所以點在圓上，則點作圓的切線有且只有一條，故A正確；
對于B，圓化為標準方程得，
則圓的圓心為，半徑為2，
圓的方程化為，
則圓的圓心為圓心，半徑為3，
因此，
因為，所以，
所以兩圓相交，則圓和圓共有2條公切線，故B錯誤；
對于C，根據(jù)圓的圖象可知，故C正確；
對于D，不妨設中點為，則，圓的半徑為3，
由垂徑定理可知，即，
設點的坐標為，又點的坐標為，
所以的軌跡方程為，故D正確.
故選：ACD.
11. （多選）如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，半圓面平面ABCD，點P為半圓弧AD上一動點（點P與點A，D不重合），下列說法正確的是（ ）
A. 三棱錐的四個面都是直角三角形
B. 三棱錐的體積最大值為
C. 在點P變化過程中，直線PA與BD始終不垂直
D. 當直線PB與平面ABCD所成角最大時，點P不是半圓弧AD的中點
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理證明即可；
對于B，三棱錐底面面積固定，當高最大時，體積最大，可通過計算進行判斷；
對于C，假設垂直，利用空間中直線、平面垂直的有關(guān)定理即可推出矛盾；
對于D，首先利用空間向量解決當直線PB與平面ABCD所成角最大時，點P的位置，進而作出判斷即可.
【詳解】對于A，因為四邊形ABCD是正方形，所以為直角三角形，
又因為為直徑，所以，為直角三角形，
又因為半圓面平面ABCD，平面平面，，
所以平面，因為平面，所以，所以為直角三角形，
因平面，平面，所以，
又因為，，平面，平面，
所以平面，因為平面，所以，所以為直角三角形，
因此三棱錐的四個面都是直角三角形，故選項A正確；
對于B，
過點在平面內(nèi)作于點，
因為平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，為三棱錐的高，所以三棱錐的體積，
因為的面積為定值，
所以當最大時，三棱錐的體積最大，此時點為半圓弧AD的中點，，
所以三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；
對于C，若點P變化過程中，直線PA與BD垂直，由圓的性質(zhì)，，
所以平面，平面，所以，
又由A知：，在同一平面內(nèi)，一條直線不可能同時垂直于兩條相交直線，
所以點P變化過程中，直線PA與BD始終不垂直，故選項C正確；
對于D，由選項B解析可知：平面ABCD，為在平面內(nèi)的投影，
所以直線PB與平面ABCD所成角，當直線PB與平面ABCD所成角最大時，取最小值，
以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設，，則，
直角三角形內(nèi)，，即，
所以，所以，，
，
因為，所以，
所以，
當且僅當，即時，
取最小值，直線PB與平面ABCD所成角最大，
此時點P不是半圓弧AD的中點，故選項D正確，
故選：.
II卷非選擇題
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 已知向量，滿足，，，則_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)模長公式即可求解.
【詳解】由 可得，
，解得，
故答案為：6
13. 在中，，已知點，，則點到直線的最大距離為_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理及橢圓的定義可得動點的軌跡，運用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.
【詳解】由已知，，則6，
因為，
則由正弦定理可知，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為12的橢圓，不含左、右頂點，
所以當且僅當點在橢圓的上、下頂點時，點到直線的距離最大為.
故答案為：.
14. 在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點、、、都在球的表面上，則球的表面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】過點在平面內(nèi)作，垂足點為，取線段的中點，連接、，分析可知，三棱錐的外接球的球心為中點，設球的半徑為，利用錐體的體積公式可求出的值，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】過點在平面內(nèi)作作，垂足點為，
取線段的中點，連接、，如下圖所示：
因為，，則，
所以，三棱錐的外接球的球心為中點，
因為平面平面，平面平面，，
平面，則平面，
設球的半徑為，則，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱錐的體積為，
解得，因此，球的表面積為.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知點，，點A關(guān)于直線的對稱點為C.
（1）求的外接圓的標準方程；
（2）若過點的直線被圓E截得的弦長為2，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先利用點關(guān)于直線對稱求得點的坐標，再利用待定系數(shù)法求得圓的一般方程，從而配方得解；
（2）利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，再分類討論直線斜率存在與否，利用點線距離公式列式即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設點，
因為點與點關(guān)于直線對稱，
所以，解得，故，
設的外接圓的一般方程為，
則，解得，
則圓的一般方程為，
所以圓的標準方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，圓的圓心為，半徑為，
因為直線被圓截得的弦長為2，
所以圓心到直線的距離為，
當直線斜率不存在時，直線方程為，易知滿足題意；
當直線斜率存在時，設直線的方程為，即，
則，解得，
此時的方程為，即
綜上，所求直線的方程為或.
16. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得，即可求得；
（2）由，可得，利用三角形的面積公式可求得，再利用余
弦定理即可求得.
【小問1詳解】
由及正弦定理得，
整理得，
又由余弦定理的推論得，，
因為，所以．
【小問2詳解】
由，，得，
即，可得，
由余弦定理可得，
，即．
17. 已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設求數(shù)列前項和為；
（3）設求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，求出首項和公差，得到通項公式；
（2）變形得到，裂項相消法求和；
（3）利用錯位相減法求和即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，因為，，，成等比數(shù)列，
所以，又，
解得，，
故；
【小問2詳解】
因為
，
所以
；
【小問3詳解】
∵
∴①，
②，
∴①-②得
∴.
18. 已知矩形中， ，，是的中點，如圖所示，沿將翻折至
，使得平面平面.

（1）證明：；
（2）已知在線段上存在點（點與點，均不重合），使得與平面所成的角的正弦值是.
①求的值；
②求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）應用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直進而得出線線垂直；
（2）①先建立空間直角坐標系由線面角的正弦值即可求出比值；
②由空間向量法計算點到平面距離公式計算即可.
【小問1詳解】
因為矩形，，，是中點，所以，
又，所以，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
【小問2詳解】
（1）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，，，
設是的中點，因為，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，所以，
設，則，
所以則，
則.
設平面的一個法向量為，
則，
令，可得，，
即為平面的一個法向量，
設與平面所成的角為，
所以，
解得（舍去），
所以的值為.
②由①得，
所以點到平面的距離.
19. 已知函數(shù)，．
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）若恒成立，求的范圍；
（3）若在內(nèi)有兩個不同零點，求證：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導，即可求解斜率，根據(jù)點斜式求解切線方程，
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導，根據(jù)單調(diào)性可得，進而，構(gòu)造函數(shù)，求導判斷單調(diào)性，即可求解最值得解.
（3）根據(jù)在單調(diào)遞減.證明，即可求證，構(gòu)造函數(shù)以及，利用導數(shù)求解單調(diào)性，即可求證.
小問1詳解】
，
則，，
故切線方程為，即，
【小問2詳解】
，
令，
令，
當在單調(diào)遞增，且，
當時，，
解集為，
故，進而即，
令，，
當單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減，
當時，，
，因此，
故
小問3詳解】
在內(nèi)有兩個不同零點，
則有兩個根，即，
由（2）知，當 在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
故，
欲證，即證，
由于，在單調(diào)遞減.即，即，
即證，即，
即證即證顯然成立，
欲證 即證，即證
即證，即證，即證
令，則，
令，
故在單調(diào)遞增，且，
在單調(diào)遞增，，得證
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求單調(diào)性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.

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