時(shí)間：120 分鐘 滿分：150 分
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)
選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1. 若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， 滿足 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列，若 ， ，則 （
）
A 1 B. C. 2 D. 3
4. 下列四個(gè)選項(xiàng)中，使 成立的充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函數(shù) ，若 ，則 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
6. 若 ，則（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知雙曲線 與橢圓 有相同的左、右焦點(diǎn)，分別為 ， ，以
線段 為直徑的圓與雙曲線 及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于 ， 兩點(diǎn)，且線段 的中點(diǎn)在另
一條漸近線上，則 的面積為（ ）
第 1頁(yè)/共 5頁(yè)
（北京）股份有限公司A B. 3 C. 6 D. 9
8. 已知對(duì)于 都有 ，則 的最小值為（ ）
A. 1 B. C. D.
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求．全部選對(duì)得 6 分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 已知事件 相互獨(dú)立， ， ，則
B. 已知隨機(jī)變量 ，若 ，則
C. 已知隨機(jī)變量 ，若 ，則
D. 已知 ， ， ，則
10. 已知正方體 的棱長(zhǎng)為 2， 為正方體 的內(nèi)切球 的直徑， 為
正方體 表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若 在線段 上運(yùn)動(dòng)，則
B. 若 在線段 上運(yùn)動(dòng)，則 的最小值為
C. 與 所成角的范圍為
D. 的取值范圍為
11. 橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．
現(xiàn)橢圓 的焦點(diǎn)在 軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為 ， ．一束光線從 射出，經(jīng)橢圓鏡面
反射至 ，若兩段光線總長(zhǎng)度為 4，且橢圓的離心率為 ，上頂點(diǎn)為 ，定點(diǎn) ，點(diǎn) 為橢圓
上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線 為橢圓 的切線，右焦點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
，下列說(shuō)法正確的是（ ）
第 2頁(yè)/共 5頁(yè)
（北京）股份有限公司A. 橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 B. 的最大值為
C. 的最小值為 3 D. 的取值范圍為
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 在 的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 256，則常數(shù)項(xiàng)等于________．
13. 足球世界杯小組賽中，同一小組的每支隊(duì)伍都必須和組內(nèi)其他隊(duì)伍各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比如 組中有 支
隊(duì)伍，則該組需要進(jìn)行 場(chǎng)比賽．按此規(guī)則，設(shè)一個(gè)含有 支球隊(duì)的小組中進(jìn)行的所有比賽場(chǎng)次為
場(chǎng)，則 ________．
14. 如圖，一點(diǎn)從正方形的頂點(diǎn) 處出發(fā)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)，每次移動(dòng)要么以 的概率沿平行于 方向（正、
反方向均可）移動(dòng)一步；要么以 的概率沿平行于 方向（正、反方向均可）移動(dòng)一步．設(shè)移動(dòng)
步后回到點(diǎn) 的概率為 ，到達(dá)點(diǎn) 的概率為 ，則 ________， ________．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖，在四面體 中， 平面 ， ， 為 重心，點(diǎn) 在線段
上， ．
（1）證明： ；
（2）若 ， ，求平面 與平面 的夾角的余弦值．
16. 已知函數(shù) ，其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為 ，若將其圖象向右平移 個(gè)單位得
第 3頁(yè)/共 5頁(yè)
（北京）股份有限公司到函數(shù) 的圖象．
（1）求函數(shù) 在 上的值域；
（2）在銳角 中，角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，若 ，且
①求 ；
②求 最小值．
17. 高中生堅(jiān)持跑操有利于增強(qiáng)體質(zhì)．某高中實(shí)踐活動(dòng)小組經(jīng)過(guò)調(diào)查所在學(xué)校學(xué)生堅(jiān)持跑操的次數(shù)與綜合體
測(cè)成績(jī)等信息，得到如下數(shù)據(jù)：該學(xué)校有 的學(xué)生每月平均堅(jiān)持跑操的次數(shù)超過(guò) 40 次，這些學(xué)生中，綜合
體測(cè)成績(jī)達(dá)到“及格”等級(jí)的概率為 ，而每月平均堅(jiān)持跑操的次數(shù)不超過(guò) 40 次的學(xué)生的綜合體測(cè)成績(jī)達(dá)
到“及格”等級(jí)的概率為 ．
（1）若從該學(xué)校任意抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生綜合體測(cè)成績(jī)達(dá)到“及格”等級(jí)的概率；
（2）已知該實(shí)踐活動(dòng)小組的 6 名學(xué)生中有 4 名學(xué)生綜合體測(cè)成績(jī)達(dá)到“及格”等級(jí)，從這 6 名學(xué)生中抽取
2 名學(xué)生，記 為抽取的這 2 名學(xué)生中綜合體測(cè)成績(jī)達(dá)到“及格”等級(jí)的人數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)：該校學(xué)生綜合體測(cè)得分 近似服從正態(tài)分布 ，若得分 ，則綜合體測(cè)成績(jī)
達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)，假設(shè)學(xué)生之間綜合體測(cè)成績(jī)相互獨(dú)立．現(xiàn)從該校所有學(xué)生中抽取 40 名學(xué)生，記 為這
40 名學(xué)生中綜合體測(cè)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)，求 的數(shù)學(xué)期望．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，則 ，
，
18. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 .拋物線 上一點(diǎn) 滿足 ， 為直線
上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) 作曲線 的兩條切線 ， ，其中 為切點(diǎn)．
（1）求拋物線 方程；
（2）求證：直線 恒過(guò)定點(diǎn)；
（3）求 面積的最小值．
19. 已知函數(shù) （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
第 4頁(yè)/共 5頁(yè)
（北京）股份有限公司（1）若 ，求實(shí)數(shù) 的值；
（2）證明： ；
（3）對(duì) 恒成立，求 取值范圍.
第 5頁(yè)/共 5頁(yè)
（北京）股份有限公司

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