?人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布同步精練（原卷版）
【題組一 二項(xiàng)分布】
1．（2021·北京房山區(qū)·高二期末）已知某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有位患有該病的患者服用了這種藥物，位患者是否會(huì)被治愈是相互獨(dú)立的，則恰有位患者被治愈的概率為（ ）
A． B． C． D．

2．（2020·北京高二期末）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，

3．（2020·山西晉中市）某同學(xué)參加學(xué)?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個(gè)同學(xué)罰籃20次，每罰進(jìn)一球得5分，不進(jìn)記0分，已知該同學(xué)罰球命中率為60%，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120

4．（2020·營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）從裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，已知，則等于（ ）
A． B． C． D．

5.（多選）（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）若隨機(jī)變量ξ～B，則P(ξ＝k)最大時(shí)，k的值為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4

6．（2021·廣東東莞）為迎接8月8日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取16名男生參加1500米中長(zhǎng)跑測(cè)試，經(jīng)測(cè)試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉，如圖，若跑步時(shí)間不高于秒，則稱為“好體能”.

（1）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）要從這16人中隨機(jī)選取3人，求至少有2人是“好體能”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生人數(shù)眾多任取3人，記X表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列




7．（2021·山東德州市·高三期末）某研究院為了調(diào)查學(xué)生的身體發(fā)育情況，從某校隨機(jī)抽頻率組距測(cè)120名學(xué)生檢測(cè)他們的身高（單位：米），按數(shù)據(jù)分成這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高大于或等于1.59米的學(xué)生有20人，其身高分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120名學(xué)生身高在各組的身高的頻率估計(jì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生在各組身高的概率．

（1）求該校學(xué)生身高大于1.60米的頻率，并求頻率分布直方圖中m、n、t的值；
（2）若從該校中隨機(jī)選取3名學(xué)生（學(xué)生數(shù)量足夠大），記X為抽取學(xué)生的身高在的人數(shù)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

8．（2020·湖北隨州市·高二期末）疫情過(guò)后，為促進(jìn)居民消費(fèi)，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元?jiǎng)t可參加一輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球，攪拌均勻.
方案一：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
方案二：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；
（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎(jiǎng)方案更合適.


【題組二 超幾何分布】
1．（2020·遼寧沈陽(yáng)市）在箱子中有10個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球．從這10個(gè)球中任取3個(gè)．求：
（1）取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率．




2．（2021·山東德州市）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，某大型企業(yè)組織員工進(jìn)行愛心捐款活動(dòng)．原則上以自愿為基礎(chǔ)，每人捐款不超過(guò)300元，捐款活動(dòng)負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)全體員工數(shù)據(jù)后，隨機(jī)抽取的10名員工的捐款數(shù)額如下表：
員工編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
捐款數(shù)額
120
80
215
50
130
195
300
90
200
225
（1）若從這10名員工中隨機(jī)選取2人，則選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；
（2）若從這10名員工中任意選取4人，記選到的4人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
3．（2020·河北省鹽山中學(xué)高二期末）在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)庫(kù)中，隨機(jī)抽取30天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，整理得如下表格：
空氣質(zhì)量指數(shù)
優(yōu)
良好
輕度污染
中度污染
重度污染
天數(shù)
5

8
4


空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)或良好，規(guī)定為Ⅰ級(jí)，輕度或中度污染，規(guī)定為Ⅱ級(jí)，重度污染規(guī)定為Ⅲ級(jí).若按等級(jí)用分層抽樣的方法從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的恰好有5天.
（1）求，的值；
（2）若以這30天的空氣質(zhì)量指數(shù)來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，試問(wèn)一年（按366天計(jì)算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)？
（3）若從抽取的10天的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)進(jìn)行深入研究，記其中空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.


4．（2020·延安市第一中學(xué)）在一個(gè)袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.現(xiàn)從中任取2個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量為取得紅球的個(gè)數(shù).
（1）求的分布列；
（2）求的數(shù)學(xué)期望和方差.




5．（2020·西藏拉薩市）港珠澳大橋是一座具有劃時(shí)代意義的大橋.它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時(shí)空距離，盤活了珠江三角洲的經(jīng)濟(jì)，被譽(yù)為新的世界七大奇跡.截至2019年10月23日8點(diǎn)，珠海公路口岸共驗(yàn)放出入境旅客超過(guò)1400萬(wàn)人次，日均客流量已經(jīng)達(dá)到4萬(wàn)人次，驗(yàn)放出入境車輛超過(guò)70萬(wàn)輛次，2019年春節(jié)期間，客流再次大幅增長(zhǎng)，日均客流達(dá)8萬(wàn)人次，單日客流量更是創(chuàng)下11.3萬(wàn)人次的最高紀(jì)錄.
2019年從五月一日開始的連續(xù)100天客流量頻率分布直方圖如下

（1）①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，根據(jù)頻率分布直方圖.估計(jì)客流量的平均數(shù).
②求客流量的中位數(shù).
（2）設(shè)這100天中客流量超過(guò)5萬(wàn)人次的有天，從這天中任取兩天，設(shè)為這兩天中客流量超過(guò)7萬(wàn)人的天數(shù).求的分布列和期望．


6．（2021·福建莆田市）已知甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球．
（1）求取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率；
（2）設(shè)為取出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．



7．（2020·福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對(duì)其中的2道題才能晉級(jí).甲選手只能答對(duì)其中的4道題．
(1)求甲選手能晉級(jí)的概率；
(2)若乙選手每題能答對(duì)的概率都是，且每題答對(duì)與否互不影響，用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平．




8．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某大學(xué)在一次公益活動(dòng)中聘用了10名志愿者，他們分別來(lái)自于A、B、C三個(gè)不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個(gè)訪談節(jié)目．
（1）求3個(gè)人來(lái)自兩個(gè)不同專業(yè)的概率；
（2）設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列．




【題組三 二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合運(yùn)用】
1．（2020·甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)）是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2019年上半年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如下莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）.

（1）在這15天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以這15天的日均值來(lái)估計(jì)該市下一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).
2．（2020·山東高二期末）1933年7月11日，中華蘇維埃共和國(guó)臨時(shí)中央政府根據(jù)中央革命軍事委員會(huì)6月30日的建議，決定8月1日為中國(guó)工農(nóng)紅軍成立紀(jì)念日.中華人民共和國(guó)成立后，將此紀(jì)念日改稱為中國(guó)人民解放軍建軍節(jié).為慶祝建軍節(jié)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽，該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在A，B兩名學(xué)生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)試方案：A，B兩名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生A能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生B能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為，A，B兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立、互不影響的.
（1）求A恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；
（2）求B恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；
（3）設(shè)A答對(duì)題數(shù)為X，B答對(duì)題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由.




3．（2021·湖南高二期末）一個(gè)袋中裝有大小形狀相同的標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回袋中）記下標(biāo)號(hào)，若拿出球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，則得1分，否則得0分.
（1）求拿2次得分不小于1分的概率；
（2）拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望



4．（2020·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）為有效預(yù)防新冠肺炎對(duì)老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，可知成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．

（Ⅰ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績(jī)是優(yōu)良的可能性最大，求的值．
人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布同步精練（解析版）
【題組一 二項(xiàng)分布】
1．（2021·北京房山區(qū)·高二期末）已知某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有位患有該病的患者服用了這種藥物，位患者是否會(huì)被治愈是相互獨(dú)立的，則恰有位患者被治愈的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知位患者被治愈是相互獨(dú)立的，每位患者被治愈的概率為，則不被治愈的概率為
所以位患者中恰有1為患者被治愈的概率為故選：B
2．（2020·北京高二期末）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即，且，，
可得，，解得，，故選：D.
3．（2020·山西晉中市）某同學(xué)參加學(xué)?；@球選修課的期末考試，老師規(guī)定每個(gè)同學(xué)罰籃20次，每罰進(jìn)一球得5分，不進(jìn)記0分，已知該同學(xué)罰球命中率為60%，則該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
【答案】D
【解析】設(shè)該同學(xué)次罰籃，命中次數(shù)為，則，
所以，，
所以該同學(xué)得分的期望為，
方差為.故選：D
4．（2020·營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）從裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可得出 ，即
所以故選C
5.（多選）（2020·全國(guó)高二單元測(cè)試）若隨機(jī)變量ξ～B，則P(ξ＝k)最大時(shí)，k的值為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】AB
【解析】依題意，k=0，1，2，3，4，5.
可以求得P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，P(ξ=4)=，P(ξ=5)=.故當(dāng)k=2或1時(shí)，P(ξ=k)最大.故選：AB.．
6．（2021·廣東東莞）為迎接8月8日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取16名男生參加1500米中長(zhǎng)跑測(cè)試，經(jīng)測(cè)試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉，如圖，若跑步時(shí)間不高于秒，則稱為“好體能”.

（1）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）要從這16人中隨機(jī)選取3人，求至少有2人是“好體能”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生人數(shù)眾多任取3人，記X表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列
【答案】（1）眾數(shù)和中位數(shù)分別是5.8，5.8；（2）；（3）分布列見解析；
【解析】（1）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是5.8，5.8；
（2）設(shè)至少有2人是“好體能”的事件為，則事件包含得基本事件個(gè)數(shù)為；總的基本事件個(gè)數(shù)為，

（3）的可能取值為0，1，2，3，
由于該校男生人數(shù)眾多，故近似服從二項(xiàng)分布
，
，
，

的分布列為：

0
1
2
3





7．（2021·山東德州市·高三期末）某研究院為了調(diào)查學(xué)生的身體發(fā)育情況，從某校隨機(jī)抽頻率組距測(cè)120名學(xué)生檢測(cè)他們的身高（單位：米），按數(shù)據(jù)分成這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高大于或等于1.59米的學(xué)生有20人，其身高分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120名學(xué)生身高在各組的身高的頻率估計(jì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生在各組身高的概率．

（1）求該校學(xué)生身高大于1.60米的頻率，并求頻率分布直方圖中m、n、t的值；
（2）若從該校中隨機(jī)選取3名學(xué)生（學(xué)生數(shù)量足夠大），記X為抽取學(xué)生的身高在的人數(shù)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1） ，，；（2）分布列見詳解；2.1.
【解析】（1）由題意可知120名學(xué)生中身高大于1.60米的有18人，所以該校學(xué)生身高大于1.60米的頻率為
記為學(xué)生身高，則



所以 ，，；
（2）由（1）知學(xué)生身高在 的概率
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布
則



所以的分布列為

0
1
2
3

0.027
0.189
0.441
0.343

8．（2020·湖北隨州市·高二期末）疫情過(guò)后，為促進(jìn)居民消費(fèi)，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元?jiǎng)t可參加一輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球，攪拌均勻.
方案一：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得50元的返金券，若抽到白球則獲得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
方案二：顧客從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則不獲得返金券，可以有放回地抽取3次，最終獲得的返金券金額累加.
（1）方案一中，設(shè)顧客抽取3次后最終可能獲得的返金券的金額為X，求X的分布列；
（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎(jiǎng)方案更合適.
【答案】（1）答案見解析；（2）方案一數(shù)學(xué)期望為（元），方案二數(shù)學(xué)期望為100（元）；方案一.
【解析】（1）由題意易知，方案一和方案二中單次抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，
依題意，X的取值可能為90，110，130，150.
且，
，
其分布列為
X
90
110
130
150
p




（2）由（1）知選擇方案一時(shí)最終獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為
（元），
選擇方案二時(shí)，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為Y，最終可能獲得返金券金額為Z元，
由題意可知，，得

由可知，該顧客應(yīng)該選擇方案一抽獎(jiǎng).
【題組二 超幾何分布】
1．（2020·遼寧沈陽(yáng)市）在箱子中有10個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球．從這10個(gè)球中任取3個(gè)．求：
（1）取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，可能取值為：0，1，2，3，
所以，
，
，
．
所以的數(shù)學(xué)期望.
（2）設(shè)“取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)”為事件，“恰好取出1個(gè)紅球和2個(gè)黑球”為事件，“恰好取出2個(gè)紅球”為事件，“恰好取出3個(gè)紅球”為事件，
而，
，
，
所以取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率為：
．
2．（2021·山東德州市）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，某大型企業(yè)組織員工進(jìn)行愛心捐款活動(dòng)．原則上以自愿為基礎(chǔ)，每人捐款不超過(guò)300元，捐款活動(dòng)負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)全體員工數(shù)據(jù)后，隨機(jī)抽取的10名員工的捐款數(shù)額如下表：
員工編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
捐款數(shù)額
120
80
215
50
130
195
300
90
200
225
（1）若從這10名員工中隨機(jī)選取2人，則選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；
（2）若從這10名員工中任意選取4人，記選到的4人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【解析】（1）10名員工中捐款數(shù)額大于200元的有3人，低于200元的有6人
故選取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率為：

（2）由題知，10名員工中捐款數(shù)額大于200元的有3人，
則隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3
，
，


則的分布列為

0
1
2
3





；
（用超幾何分布公式計(jì)算同樣得分）
3．（2020·河北省鹽山中學(xué)高二期末）在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)庫(kù)中，隨機(jī)抽取30天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，整理得如下表格：
空氣質(zhì)量指數(shù)
優(yōu)
良好
輕度污染
中度污染
重度污染
天數(shù)
5

8
4


空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)或良好，規(guī)定為Ⅰ級(jí)，輕度或中度污染，規(guī)定為Ⅱ級(jí)，重度污染規(guī)定為Ⅲ級(jí).若按等級(jí)用分層抽樣的方法從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的恰好有5天.
（1）求，的值；
（2）若以這30天的空氣質(zhì)量指數(shù)來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，試問(wèn)一年（按366天計(jì)算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)？
（3）若從抽取的10天的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)進(jìn)行深入研究，記其中空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1），.（2）61天（3）見解析
【解析】（1）由題意知從中抽取10天的數(shù)據(jù)，則空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的恰好有5天，所以空氣質(zhì)量為Ⅰ級(jí)的天數(shù)為總天數(shù)的，所以5+a=15，8+4+b=15，可得，.
（2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)的概率為，
則一年中空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)的天數(shù)約為.
（3）由題可知抽取的10天的數(shù)據(jù)中，Ⅰ級(jí)的天數(shù)為5，Ⅱ級(jí)和Ⅲ級(jí)的天數(shù)之和為5，
滿足超幾何分布，
所以的可能取值為0，1，2，3，4，
，，
，，
，
的分布列為

0
1
2
3
4






故.
4．（2020·延安市第一中學(xué)）在一個(gè)袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.現(xiàn)從中任取2個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量為取得紅球的個(gè)數(shù).
（1）求的分布列；
（2）求的數(shù)學(xué)期望和方差.
【答案】（1）詳見解析（2），
【解析】（1）的取值為0,1,2.
，
，
，
則的分布列為：

0
1
2




（2），
.
5．（2020·西藏拉薩市）港珠澳大橋是一座具有劃時(shí)代意義的大橋.它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時(shí)空距離，盤活了珠江三角洲的經(jīng)濟(jì)，被譽(yù)為新的世界七大奇跡.截至2019年10月23日8點(diǎn)，珠海公路口岸共驗(yàn)放出入境旅客超過(guò)1400萬(wàn)人次，日均客流量已經(jīng)達(dá)到4萬(wàn)人次，驗(yàn)放出入境車輛超過(guò)70萬(wàn)輛次，2019年春節(jié)期間，客流再次大幅增長(zhǎng)，日均客流達(dá)8萬(wàn)人次，單日客流量更是創(chuàng)下11.3萬(wàn)人次的最高紀(jì)錄.
2019年從五月一日開始的連續(xù)100天客流量頻率分布直方圖如下

（1）①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，根據(jù)頻率分布直方圖.估計(jì)客流量的平均數(shù).
②求客流量的中位數(shù).
（2）設(shè)這100天中客流量超過(guò)5萬(wàn)人次的有天，從這天中任取兩天，設(shè)為這兩天中客流量超過(guò)7萬(wàn)人的天數(shù).求的分布列和期望．
【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列見解析，
【解析】（1）①平均值為

②設(shè)中位數(shù)為，則
解得中位數(shù)為
（2）可知其中超過(guò)7萬(wàn)人次的有5天




0
1
2




所以
6．（2021·福建莆田市）已知甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球．
（1）求取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率；
（2）設(shè)為取出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】（1）記事件取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球，事件取出的個(gè)球中唯一的紅球取自于甲盒，事件取出的個(gè)球中唯一的紅球取自于乙盒，
則，且事件與互斥，
由互斥事件的概率公式可得，
因此，取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為；
（2）由題意知隨機(jī)變量的可能取值為、、、，，
，，.
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：










因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.
7．（2020·福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對(duì)其中的2道題才能晉級(jí).甲選手只能答對(duì)其中的4道題．
(1)求甲選手能晉級(jí)的概率；
(2)若乙選手每題能答對(duì)的概率都是，且每題答對(duì)與否互不影響，用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平．
【答案】（1）；（2）乙選手比甲選手的答題水平高
【解析】解法一：（1）記“甲選手答對(duì)道題”為事件，，“甲選手能晉級(jí)”為事件，則．
；
（2）設(shè)乙選手答對(duì)的題目數(shù)量為，則，故，
設(shè)甲選手答對(duì)的數(shù)量為，則的可能取值為，
，，，
故隨機(jī)變量的分布列為









所以，，則，
所以，乙選手比甲選手的答題水平高；
解法二：（1）記“甲選手能晉級(jí)”為事件，則；
（2）同解法二．
8．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某大學(xué)在一次公益活動(dòng)中聘用了10名志愿者，他們分別來(lái)自于A、B、C三個(gè)不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個(gè)訪談節(jié)目．
（1）求3個(gè)人來(lái)自兩個(gè)不同專業(yè)的概率；
（2）設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列．
【答案】（1）（2）見解析
【解析】令事件A表示“3個(gè)來(lái)自于兩個(gè)不同專業(yè)”，
表示“3個(gè)人來(lái)自于同一個(gè)專業(yè)”，
表示“3個(gè)人來(lái)自于三個(gè)不同專業(yè)”，
，
，
個(gè)人來(lái)自兩個(gè)不同專業(yè)的概率：．
隨機(jī)變量X有取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列為：
X
0
1
2
3
P




【題組三 二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合運(yùn)用】
1．（2020·甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)）是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2019年上半年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如下莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）.

（1）在這15天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以這15天的日均值來(lái)估計(jì)該市下一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).
【答案】（1）45；（2）分布列見解析，；（3）219.
【解析】（1）由莖葉圖可得中位數(shù)是45.
（2）依據(jù)條件，服從超幾何分布：
其中，，，的可能值為，
，，
，
所以的分布列為：

0
1
2
P





.
（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為，
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為，
則，，
∴一年中平均有219天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).
2．（2020·山東高二期末）1933年7月11日，中華蘇維埃共和國(guó)臨時(shí)中央政府根據(jù)中央革命軍事委員會(huì)6月30日的建議，決定8月1日為中國(guó)工農(nóng)紅軍成立紀(jì)念日.中華人民共和國(guó)成立后，將此紀(jì)念日改稱為中國(guó)人民解放軍建軍節(jié).為慶祝建軍節(jié)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽，該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在A，B兩名學(xué)生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)試方案：A，B兩名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生A能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生B能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為，A，B兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立、互不影響的.
（1）求A恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；
（2）求B恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率；
（3）設(shè)A答對(duì)題數(shù)為X，B答對(duì)題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) ;(2) ；(3)選擇A.
【解析】(1) A恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率為；
(2) B恰好答對(duì)兩個(gè)問(wèn)題的概率為；
(3) X所有可能的取值為1,2,3. ，，，所以，；
而，，，
所以，，
可見，A與B的平均水平相當(dāng)，但A比B的成績(jī)更穩(wěn)定.
所以選擇投票給學(xué)生A.
3．（2021·湖南高二期末）一個(gè)袋中裝有大小形狀相同的標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回袋中）記下標(biāo)號(hào)，若拿出球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，則得1分，否則得0分.
（1）求拿2次得分不小于1分的概率；
（2）拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為.
【解析】(1)一次拿到奇數(shù)的概率，
所以拿2次得分為0分的概率為
所以拿2次得分不小于1分的概率為
（2）可以取值：0，1，2，3，4
所以




分布列

0
1
2
3
4






滿足二項(xiàng)分布概率
4．（2020·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）為有效預(yù)防新冠肺炎對(duì)老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，可知成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．

（Ⅰ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績(jī)是優(yōu)良的可能性最大，求的值．
【答案】（Ⅰ）分布列見解析；；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由題意12人中有8人體質(zhì)優(yōu)良，可能的取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列為：

0
1
3




數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）由題意可知，抽取的10人中，成績(jī)是優(yōu)良的人數(shù)，
所以，，
令，解得，
又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，抽到人的成績(jī)是優(yōu)良的可能性最大.

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