命題人：陳家煩?譚澤陽 審題人：毛水 審核人：陳家煩
時量：120分鐘 滿分：150分
得分__________
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）
1.已知，若集合，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是（ ）
A. B.菱形的兩條對角線相等
C. D.一次函數(shù)的圖象是直線
3.設(shè)全集，集合，則下圖中的陰影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
4.若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A. B.或
C. D.
6.已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A.1 B. C.2 D.
7.17世紀(jì)初，約翰?納皮爾為了簡化計(jì)算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)系?納皮爾的對數(shù)?牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明.我們知道，任何一個正實(shí)數(shù)可以表示成的形式，這便是科學(xué)記數(shù)法，若兩邊取常用對數(shù)，則有.現(xiàn)給出部分常用對數(shù)值（如下表），則可以估計(jì)的最高位的數(shù)值為（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9.已知，且，函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.的定義域?yàn)?br>B.在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
C.的最大值為
D.的圖象關(guān)于直線對稱
11.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)可以為（ ）
A.1 B. C.2 D.3
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.若冪函數(shù)滿足，則的值為__________.
13.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過最初含量的.已知在過濾過程中廢氣中的污染物含量（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為（均為正常數(shù)）.如果在前5個小時的過濾過程中污染物被排除了，那么排放前至少還需要過濾的時間是__________小時.
14.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，對任意的，當(dāng)時，，則關(guān)于的不等式的解集為__________.（用區(qū)間表示）
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分13分）
（1）計(jì)算；
（2）若，求的值.
16.（本小題滿分15分）
已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；
（3）解不等式.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）若，求證：，并求的值；
（3）令，則，已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）
我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).如果一個數(shù)列的項(xiàng)是有限個，那么稱這樣的數(shù)列為有窮數(shù)列.
已知有窮數(shù)列.若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列，定義如下操作過程：從中任取兩項(xiàng)，將的值添在的最后，然后刪除，這樣得到一個項(xiàng)的新數(shù)列（約定：一個數(shù)也視作數(shù)列）.若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程，得到的新數(shù)列記作，如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.
（1）設(shè)數(shù)列，請寫出的所有可能的結(jié)果；
（2）求證：對于一個項(xiàng)的數(shù)列實(shí)施操作過程，總共可以實(shí)施次；
（3）設(shè)數(shù)列，求的可能結(jié)果，并說明理由.
長郡中學(xué)2024年下學(xué)期高一期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）
7.D 【解析】設(shè)，因?yàn)?，所?.98369.由表格可知，，所以的最高位的數(shù)值為9.故選D.
8.A 【解析】函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，
當(dāng)時，則，
又，即
又
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
的圖象如圖所示，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
即，
.
故選A.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
10.AD 【解析】，定義域?yàn)?令，
則.因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的對稱軸為直線，又的定義域?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，有最大值，所以.故選AD.
11.ACD 【解析】根據(jù)題意，，則，
兩式相加可得，
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，所以，
若對于任意，都有，則變形可得，
即，
令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
若，則在上單調(diào)遞減，不滿足題意；
若，則是對稱軸為的二次函數(shù)，
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則只需解得，
所以的取值范圍為，則可以取.故選ACD.
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12.16
13.5 【解析】依題意，過濾5小時，污染物數(shù)量，于是得，解得，
排放污染物時，，即，解得，
所以排放前至少還需要過濾的時間是5小時.故答案為5.
14. 【解析】為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，關(guān)于對稱，
又當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
故不等式可等價為，即，
當(dāng)時，不等式為，即，無解，
當(dāng)時，不等式為，即，
即，解得.故答案為.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.【解析】（1）原式
.
（2）由題意得，得，
同理，故.
16.【解析】（1）或，當(dāng)時，或，.
（2）當(dāng)時，滿足條件，
此時有，無解，故；
由得解得.
所以的取值范圍是.
17.【解析】（1）由題意可知.得，經(jīng)檢驗(yàn)成立.
（2）由（1）可知，設(shè)，
則，
，
，即，
在上單調(diào)遞減.
（3）由題易知，又，
由（2）可知在上單調(diào)遞減，
解得，
不等式的解集為.
18.【解析】（1），
易知當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為函數(shù)的值域?yàn)?
（2）若，則，
，
設(shè)，
則，
兩式相加得，即，則，
故.
（3），設(shè)，當(dāng)時，，
則函數(shù)等價于，
若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則等價于在上有零點(diǎn)，
即在區(qū)間上有解，
在區(qū)間上有解，1
，
設(shè)，則，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，即.
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19.【解析】（1）有如下的三種可能結(jié)果：.
（2）因?yàn)?，有且，所以，即每次操作后新?shù)列仍是數(shù)列.
又因?yàn)槊看尾僮髦卸际窃黾右豁?xiàng)，刪除兩項(xiàng)，所以對數(shù)列每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少一項(xiàng)，所以對項(xiàng)的數(shù)列總共可進(jìn)行次操作（最后只剩下一項(xiàng)）.
（3）由（2）可知中僅有一項(xiàng).
對于滿足的實(shí)數(shù)定義運(yùn)算：，下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律：因?yàn)?，且，所以，即該運(yùn)算滿足交換律；
又因?yàn)椋?br>且，
所以，即該運(yùn)算滿足結(jié)合律.
所以中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過程無關(guān).
選擇如下操作過程求：
由（1）可知；
易知
所以的其中一種結(jié)果為；
易知經(jīng)過4次操作后剩下一項(xiàng)為.
綜上可知：.真數(shù)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.30103
0.47712
0.60206
0.69897
0.77815
0.84510
0.90309
0.95424
1.000
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
C
B
D
A
題號
9
10
11
答案
BC
AD
ACD

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