湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出每個(gè)集合，后求交集即可.
【詳解】令，解得，
令，解得，
所以.
故選：B.
2. “，”是（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分條件與必要條件的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】若，，則，充分性成立；
若，則或，，必要性不成立，
所以“，”是的充分不必要條件.
故選：A.
3. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】由角終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，
根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.
故選：B.
4. 如圖，在平行四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則、向量的數(shù)乘即可得解.
【詳解】由題意，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量數(shù)乘的應(yīng)用，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5. 若函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出a的值，可得的具體表達(dá)式，判斷其圖象性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】由于函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)，
故，
則，
該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
只有B中圖象符合該函數(shù)圖象特點(diǎn)，
故選：B
6. 已知，若命題“，或”為真命題，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分段討論x的取值范圍，結(jié)合命題的真假列出相應(yīng)不等式，最后綜合即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，無論取何值，均符合題意；
當(dāng)時(shí)，，只需，
解得或；
當(dāng)時(shí)，，由題中條件可得，只需對(duì)于恒成立，
當(dāng)時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，圖象為開口向上的拋物線，
不能滿足對(duì)恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，的2個(gè)根為，
需滿足，結(jié)合，可得，
綜合上述可知的取值范圍是，
故選：B.
7. 已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（）
A. B. C. 9D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用換元法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)，即，
因?yàn)?，可得，所以，解得?br>所以，令，可得，即，
解得.
故選：A.
8. 若且，則可以記；若且，則可以記.實(shí)數(shù)，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)信息，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，所以，即?br>所以，
所以，所以，
則.
故選：B.
二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知關(guān)于的不等式的解集為，或，則（）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是，或
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可確定，可判斷A；結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得的關(guān)系式，由此化簡(jiǎn)B，C，D選項(xiàng)中的不等式或進(jìn)而求解，即可判斷其正誤，即得答案.
【詳解】由關(guān)于的不等式解集為或，
知-3和2是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，故A正確；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知：，
，
選項(xiàng)B：不等式化簡(jiǎn)為，解得：，
即不等式的解集是，故B不正確；
選項(xiàng)C：由于，故，故C不正確；
選項(xiàng)D：不等式化簡(jiǎn)為：，
解得：或，故D正確；
故選：AD.
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式判斷各選項(xiàng)．
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)成立，故D正確．
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的有（）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 上單調(diào)遞增
D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
對(duì)于A中，當(dāng)，可得，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以B正確；
對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在上單調(diào)遞增，所以C正確；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，
根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，可得在上單調(diào)遞增，所以D不正確.
故選：ABC.
12. 定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，，函數(shù)滿足，若與恰有2023個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次為，，則下列說法正確的是（）
A. 為奇函數(shù)B. 2為的一個(gè)周期
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，推得，得到，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又由，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
則，可得.
對(duì)于A中，由，可得，
所以，所以為奇函數(shù)，所以A正確；
對(duì)于B中，由，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
可得，顯然，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
因此函數(shù)與的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，則，所以C正確；
對(duì)于D中，由函數(shù)與的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，可得，故D正確.
故選：ACD.
三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得.
【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，
所以，
又函數(shù)過點(diǎn)，
則，
故答案為：.
14. 已知向量滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】，則，
∴，
故答案為：．
15. 若，則的值為__________.
【答案】##0.2
【解析】
【分析】將化為，利用誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式，即可求得答案.
【詳解】由題意得
，
故答案為：
16. 已知分別是函數(shù)與的零點(diǎn)，若，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分別為與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線與直線垂直，從而可得，再得出的范圍后即可得結(jié)論．
【詳解】由題意，分別為與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線與直線垂直，
因此這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，如圖所示：
，
∵，∴，
.
故答案為：．
四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17. （1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值，即得答案；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值，即得答案.
【詳解】（1）
；
（2）
.
18. 解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將分式不等式化為且，求出解集；
（2）將絕對(duì)值不等式化為分段函數(shù)，零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式.
【小問1詳解】
不等式，移項(xiàng)得，通分得，
可轉(zhuǎn)化為且，
解得，不等式解集為.
【小問2詳解】
令
當(dāng)時(shí)，，解得，即；
當(dāng)時(shí)，，解得，即；
當(dāng)時(shí)，，解得，即；
綜上所述：不等式解集為.
19. 如圖，一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針方向每分轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為.
（1）求的值；
（2）盛水筒出水后至少經(jīng)過多少時(shí)間就可到達(dá)最高點(diǎn)？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意，令，即可求解.
【小問1詳解】
解：依題意，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，
水輪半徑為，所以振幅，
水輪每分鐘按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)1.5圈，故角速度為，
水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，所以，且，解得，
所以函數(shù)表達(dá)式為，故.
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意，令，可得.
所以盛水筒出水后至少約就可到達(dá)最高點(diǎn).
20. 已知函數(shù)的最小正周期為，
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)，求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，根據(jù)最小正周期得到，利用整體法求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，利用整體法解不等式，得到解集.
【小問1詳解】
由題意，函數(shù)，
因?yàn)椋淖钚≌芷?，所以?br>所以函數(shù)，
令，
解得，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
解得，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以原不等式的解集為或.
21. 已知函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，且.
（1）判斷的奇偶性和單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的解，求的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù)；是上的減函數(shù)
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.
（2）合理分析，作出圖象，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題求解即可.
【小問1詳解】
令，代入可得，
令，代入，可得，
所以，可得函數(shù)為奇函數(shù)；
任取，且，
因?yàn)椋矗?br>令，則，可得，
又因?yàn)闀r(shí)，，且，所以，
所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù).
【小問2詳解】
，即，
所以
，
令，即，
因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以，即，
令
則函數(shù)的圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象，可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)根？
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，列式求解，即得答案；
（2）分離參數(shù)，將不等式對(duì)任意的恒成立轉(zhuǎn)化為,利用換元，即，可得的最小值，即可求得答案；
（3）利用換元，即，將有實(shí)根轉(zhuǎn)化為的根的問題，繼而轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可求得答案.
【小問1詳解】
由函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，
則對(duì)于，都有，即，
即對(duì)于，都有，即，
由于不恒等于0，故，得.
【小問2詳解】
結(jié)合（1）可得，
則，
令，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，得，
則不等式對(duì)任意的恒成立等價(jià)于在上恒成立，
所以即可，
又，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以最小值為，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值2，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，
令，則，
則原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程的根的問題，
由于，令，則的圖象為開口向上的拋物線在y軸右側(cè)部分（含y軸），
，
①當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)對(duì)稱軸，
函數(shù)在有唯一零點(diǎn)；
②當(dāng)且在有唯一零點(diǎn)時(shí)，
，可得：或；
③當(dāng)在有兩個(gè)不相等零點(diǎn)時(shí)，設(shè)零點(diǎn)為，
則，可得：.
綜上：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的問題，綜合性較強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是（3）中要將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，然后分類討論，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，即可求解.

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