湖南省長沙市長郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試題卷共4頁.時量120分鐘，滿分150分.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
2. 已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）
A B.
C. D.
3. 的展開式中的常數(shù)項是（）
A. 第673項B. 第674項
C. 第675項D. 第676項
4. 銅鼓是流行于中國古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂器使用的.如圖，用青銅打造的實心銅鼓可看作由兩個具有公共底面的相同圓臺構(gòu)成，上下底面的半徑均為25cm，公共底面的半徑為15cm，銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為，現(xiàn)有青銅材料1000kg，則最多可以打造這樣的實心銅鼓的個數(shù)為（）（注：）

A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知定義在上的函數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），且，則（）
A. B.
C. D.
6. 已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)，對于任意的，，都恒成立，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）
A. 3B. 9C. 3或9D.
8. 如圖，已知長方體中，，，為正方形的中心點(diǎn)，將長方體繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某機(jī)械制造裝備設(shè)計研究所為推進(jìn)對機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立兩個小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6臺進(jìn)行性能指標(biāo)測試（滿分：100分），測得組性能得分為：，組性能得分為：，則（）
A. 組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高
B. 組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小
C. 組性能得分的極差比組性能得分的極差大
D. 組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大
10. 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個部分長成一個完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個橢圓形截面，如圖所示，其中分別為兩個截面橢圓的長軸，且都位于圓柱的同一個軸截面上，是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上?下兩個截面橢圓的離心率分別為，則能夠保證的的值可以是（）
A. B.
C D.
11. 對于任意實數(shù)，定義運(yùn)算“”，則滿足條件的實數(shù)的值可能為（）
A. ，，
B. ，，
C ，，
D. ，，
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，則______．
13. 寫出一個同時滿足下列條件①②③的數(shù)列an的通項公式______.
①是常數(shù)，且；②；③an的前項和存在最小值.
14. 清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有__________種不同的走法.

四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知M為圓上一個動點(diǎn)，垂直x軸，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心為G.
（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）記（1）中的軌跡為曲線C，直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是的垂心，求直線的方程.
16. 如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為45°，母線長為，是的中點(diǎn)．
（1）已知圓內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面，作出點(diǎn)的軌跡（寫出解題過程）；
（2）點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不同于，），，求平面與平面所成角的正弦值．
17. 素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義．為推進(jìn)音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，某校開設(shè)了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個聲樂班和一個器樂班，已知聲樂班的學(xué)生有24名，器樂班的學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個班分別舉行音樂素養(yǎng)過關(guān)測試，且每人是否通過測試是相互獨(dú)立的．
（1）聲樂班的學(xué)生全部進(jìn)行測試．若聲樂班每名學(xué)生通過測試的概率都為（），設(shè)聲樂班的學(xué)生中恰有3名通過測試的概率為，求的極大值點(diǎn)．
（2）器樂班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測試．若器樂班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂班的學(xué)生中抽取7人，再從抽取的7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
18. 已知數(shù)列an為等比數(shù)列，bn為等差數(shù)列，且，，.
（1）求an，bn的通項公式；
（2）數(shù)列的前項和為，集合共有5個元素，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若數(shù)列中，，，求證：.
19. 設(shè)有維向量，，稱為向量和內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對應(yīng)的向量的集合．
（1）若，寫出一個向量，使得．
（2）令．若，證明：為偶數(shù)．

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