（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
一.單項(xiàng)選擇題（每題5分，共40分）
1. 已知的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.
【詳解】根據(jù)題意，，
.
故選：A.
2. （ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)和角正弦公式化簡求值即可.
【詳解】由和角正弦公式知.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】.
故選：D.
4. 下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>即函數(shù)為偶函數(shù)，
且，即函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上不單調(diào)，A不滿足要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>函數(shù)在定義域上不單調(diào)，B不滿足要求；
對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>所以，函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，C滿足要求；
對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在定義域上不單調(diào)，D不滿足要求.
故選：C.
5. 如圖，平行四邊形中，是邊上的一點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算化簡求解即可.
【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.
故選：B
6. 要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）
A 向右平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位
C. 向右平移個(gè)單位D. 向左平移個(gè)單位
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)平移性質(zhì)判定即可.
【詳解】向右平移個(gè)單位，
將函數(shù)的圖像得到函數(shù)的圖象
故選：C.
7. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求得的值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
所以，，
因此，
.
故選：C.
8. 方程的根的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系中，畫出和的函數(shù)圖象求解.
【詳解】畫出和的函數(shù)圖象，
因?yàn)椋?br>結(jié)合圖象可得函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是5個(gè).
故選：A
二．多項(xiàng)選擇題（每題6分，共18分）
9. 下面的命題正確的有（ ）
A. 方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線
B. 單位向量都相等
C. 若，滿足且與同向，則
D. “若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】對(duì)于A，由相反向量概念可知A正確；
對(duì)于B，任意兩個(gè)單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，
可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；
若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，
此時(shí)A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，且，故D正確.
故選：AD.
10. 已知函數(shù)．下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱
B. 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
D. 將圖象上各點(diǎn)先橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位得到正弦曲線
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷ABC 的真假，根據(jù)函數(shù)的圖象變換判斷D的真假.
【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，是函?shù)的最大值，所以是函數(shù)的對(duì)稱軸，故A正確；
對(duì)B：由，，可得：，.
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：因?yàn)椋允呛瘮?shù)的對(duì)稱中心，故C正確；
對(duì)D：將圖象上各點(diǎn)先橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，可得的圖象，
再向右平移個(gè)單位得到的圖象為正弦型曲線，不是正弦曲線，故D錯(cuò).
故選：AC
11. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車半徑為，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)3圈.若規(guī)定：盛水筒對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)盛水筒從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間為（單位：），且此時(shí)點(diǎn)距離水面的高度為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），則與的關(guān)系為.下列說法正確的是（ ）

A
B. 點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為
C. 在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)在水中的時(shí)間是
D. 若在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)基本量求解方法，結(jié)合題意即可判斷A；根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度即可判斷B和C；根據(jù)三角函數(shù)圖像，結(jié)合整體代換的方法即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橥曹嚢霃綖?，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，
則依題意，滿足，所以，
因?yàn)橥曹嚸糠昼?0s沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)3圈，所以，，
則，由可得，
又因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B，由已知得，與軸正方向的夾角為，
所以點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要轉(zhuǎn)動(dòng)，則所需時(shí)間為，故B正確；
對(duì)于C，在轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)在水中轉(zhuǎn)動(dòng)，
則所需要的時(shí)間是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若在上的值域?yàn)椋?br>則在上的值域?yàn)椋?br>因?yàn)椋裕?br>作出函數(shù)的圖象，依題意需使
即，解得，故D正確.

故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題.關(guān)鍵點(diǎn)在于研究圖形特點(diǎn)，通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式的基本量，進(jìn)而求解三角函數(shù)解析式，從而求解答案.
三.填空題（每題5分，共15分）
12. 若，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角的正切公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)椋?
故答案為：
13. 函數(shù)，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】把作為一個(gè)整體，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最小值．
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，
故答案為：．
14. 已知，，函數(shù)的圖象如圖所示，是的圖象與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，與軸交于相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)為，若在區(qū)間上有2027個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用圖象過原點(diǎn)得，結(jié)合對(duì)稱軸及圖象確定，再利用三角函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算即可.
【詳解】將原點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
則，又，所以，
故，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故，
又對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為軸左側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)，所以，
解得，解得，
所以，
令得，
則或，
解得或，
所以相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離有兩種，可能為，
在上，有2027個(gè)零點(diǎn)，要求的最大值，
則當(dāng)為個(gè)和1014個(gè)時(shí)，取得最大值，
最大值為.
故答案為：.
四.解答題（共5小題，77分）
15. 已知函數(shù) .
（1）請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象；


（2）求使此函數(shù)取得最大值，最小值的自變量的集合，并分列寫出最大值、最小值.
【答案】（1）圖象見解析
（2），此時(shí)；，此時(shí)
【解析】
【分析】（1）由周期計(jì)算公式，即可求出周期，把當(dāng)作一個(gè)整體，求出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即可求解；
（2）把當(dāng)作一個(gè)整體，利用的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù) 的周期為，列表
描點(diǎn)、連線得到圖象如下，
【小問2詳解】
易知，此時(shí)，解得，
所以取最大值時(shí)，的取值集合為，
，此時(shí)，解得，
所以取最小值時(shí)，的取值集合為.
16. 已知為銳角，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)和正弦的兩角差公式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)闉殇J角，，從而，
所以.
【小問2詳解】
由及，，解得，，
又，所以，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
17. 已知為銳角，．
（1）求證：；
（2）的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩角和的正弦公式展開求解出，然后證明即可；
（2）由（1）求出的值，然后利用平方和關(guān)系結(jié)合角的范圍求解即可.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)椋?br>所以，又，
所以，
所以，即
所以
【小問2詳解】
，
所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，所以，
所以，所以.
18. 已知函數(shù)．
（1）求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求不等式的解集﹔
（3）若對(duì)任意的，恒成立，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先將函數(shù)化為，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
（2）根據(jù)正弦函數(shù)值的分布性質(zhì)直接求解即可.
（3）先求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，從而得到，則恒成立等價(jià)于，從而得解.
【小問1詳解】
由題，
令，，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）即，
所以，
故不等式的解集為.
【小問3詳解】
由（1），
因?yàn)?，所以?br>所以，故，
所以若對(duì)任意的，恒成立，
則，，
故m的取值范圍為：.
19. “凸凹性”是函數(shù)的重要性質(zhì).若函數(shù)的圖像在定義域區(qū)間上連續(xù)不斷，且對(duì)任意，恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的上凸函數(shù)；若恒有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的下凸函數(shù)（也稱凹函數(shù)）.將上述定義進(jìn)行推廣，即若是上凸函數(shù)，則對(duì)任意恒有，若是下凸函數(shù)，則對(duì)任意恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這個(gè)不等式即為著名的琴生不等式.
（1）判斷是上凸還是下凸函數(shù)？（直接寫出結(jié)論即可）；
（2）判斷在上是上凸還是下凸函數(shù)？并證明你的結(jié)論；
（3）已知銳角滿足，求的最大值.
【答案】（1）下凸函數(shù)
（2）上凸函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用下凸函數(shù)的定義判斷即可；
（2）利用上凸函數(shù)的定義判斷；
（3）利用（2）的結(jié)論，根據(jù)琴生不等式可得：，對(duì)原式進(jìn)行化簡，得到原式，結(jié)合基本不等式和琴生不等式得解.
【小問1詳解】
是下凸函數(shù).
，
故，所以函數(shù)是下凸函數(shù).
【小問2詳解】
在上是上凸函數(shù)，證明如下：
，
顯然，則
因此，
函數(shù)在上是上凸函數(shù).
【小問3詳解】
由（2）知，在上是上凸函數(shù)，
根據(jù)琴生不等式：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到最大值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作答.

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