第04講 解題技巧專題：巧用冪的運(yùn)算法則(3類熱點(diǎn)題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27053" 【考點(diǎn)一 逆用冪的相關(guān)公式求值】  PAGEREF _Toc27053 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3308" 【考點(diǎn)二 先化為同底數(shù)，再靈活運(yùn)用冪的公式計(jì)算】  PAGEREF _Toc3308 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc13081" 【考點(diǎn)三 利用冪的運(yùn)算比較大小】  PAGEREF _Toc13081 \h 8  【考點(diǎn)一 逆用冪的相關(guān)公式求值】 例題：（2023下·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期中）已知：，，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則及有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即可解答； （2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算法則：即可解答． 【詳解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，掌握同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023下·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期中）已知，，求 (1)； (2) 【答案】(1)150 (2) 【分析】（1）先求出，再根據(jù)進(jìn)行求解即可； （2）先求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可． 【詳解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ∴，，即，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方計(jì)算，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵． 2．（2023上·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】（1）的指數(shù)是，用同底數(shù)冪相乘的形式表示是； （2）的指數(shù)是，用同底數(shù)冪運(yùn)算的形式表示是． 【詳解】（1）解：， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 3．（2023上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）1025 【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算和積的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算法則得到，據(jù)此代值計(jì)算即可； （2）先根據(jù)積的乘方將所求式子變形為，再根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算法則進(jìn)一步變形為，據(jù)此代值計(jì)算即可． 【詳解】解：（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴ ． 4．（2023上·八年級課時練習(xí)）計(jì)算：． 【答案】 【分析】先對式子進(jìn)行變形，再逆用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算． 【詳解】解：原式 ． 【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，熟練掌握逆用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 5．（2023上·湖南永州·七年級統(tǒng)考期中）回答下列問題． (1)填空： ① ， ② ， (2)比一比，（1）中每組中的兩個算式的結(jié)果是否相等？猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時， ． (3)試一試，計(jì)算：的值． 【答案】(1)①，；②， (2)相等， (3) 【分析】（1）①第1個先計(jì)算括號內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算乘方運(yùn)算，第2個先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算；②第1個先計(jì)算括號內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算乘方運(yùn)算，第2個先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算； （2）由（1）歸納可得：； （3）由，可得，再利用規(guī)律進(jìn)行簡便運(yùn)算即可． 【詳解】（1）解：①；； ②，； （2）（n為正整數(shù)） （3）． 【點(diǎn)睛】本題考查的是乘方運(yùn)算的含義，積的乘法運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，歸納總結(jié)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵． 6．（2023下·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）小紅學(xué)習(xí)了七年級下冊“第八章冪的運(yùn)算”后，發(fā)現(xiàn)冪的運(yùn)算法則如果反過來寫，式子可以表達(dá)為：；；，可以起到簡化計(jì)算的作用． (1)在括號里填空：；； (2)已知：，． ①求的值．????②求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值為： 【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運(yùn)算即可求解； （2）①根據(jù)同底數(shù)冪的乘的逆運(yùn)算即可求解；②根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運(yùn)算即可求解； （3）根據(jù)乘方的運(yùn)算，將等式左邊化成底數(shù)相同的數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則列式解方程即可求解． 【詳解】（1）解：∵同底數(shù)冪的乘法是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即， ∴； ∵同底數(shù)冪的除法是底數(shù)不變，指數(shù)相減，即， ∴； ∵冪的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即， ∴； 故答案為：，，． （2）解：， ①∵， ∴原式， ∴的值為：； ②∵， ∴原式， ∴的值為：． （3）解：變形得，， ∴， ∴，解得，， ∴的值為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘除法的逆運(yùn)算，掌握同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則，及逆運(yùn)算的計(jì)算方法，解方程的方法是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)二 先化為同底數(shù)，再靈活運(yùn)用冪的公式計(jì)算】 例題：（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知為正整數(shù)，且，求的值． 【答案】 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，即可解答． 【詳解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023春·江蘇徐州·七年級校考階段練習(xí)）（1）已知，求的值． （2）已知，求n的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算得到，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法計(jì)算法則求解即； （2）先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算法則得到，進(jìn)一步推出，由此得到，則，即． 【詳解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，冪的乘方的逆運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵． 2．（2023下·江蘇泰州·七年級校考階段練習(xí)）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（）；（）． 【分析】（）利用積的乘方的逆運(yùn)算，再列方程即可求解； （）利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算即可求解． 【詳解】（）解：， ， ∴， 解得：； （）解：， ∵， ∴， ∴原式． 【點(diǎn)睛】此題考查了冪和積的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵． 3．（2023春·江蘇·七年級?？贾軠y）（1） 已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）81 （2） 【分析】（1）首先將變形為，再將變形為，然后利用冪的乘方與同底數(shù)冪乘法得到，再把代入計(jì)算即可； （2）首先將變形為，即，則，求得,代入計(jì)算即可． 【詳解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ， ， ∴， 解得：， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的乘方法則及其靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 4．（2023春·江蘇·七年級期中）求值： (1)已知，求的值． (2)已知，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案． 【詳解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算．正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 5．（2023下·安徽滁州·七年級?？茧A段練習(xí)）在算的運(yùn)等中規(guī)定：若且，，是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解答下列問題： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，，用含的代數(shù)式表示． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則把兩邊底數(shù)為成一樣，再根據(jù)題目規(guī)定解答即可； （2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把變形為即可解答； （3）把代入即可． 【詳解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方對式子進(jìn)行變形． 【考點(diǎn)三 利用冪的運(yùn)算比較大小】 例題：（2023春·江蘇無錫·七年級無錫市太湖格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）比較下列各題中冪的大?。?(1)比較，，，這4個數(shù)的大小關(guān)系； (2)已知，，，比較a、b、c的大小關(guān)系； (3)已知，，比較P，Q的大小關(guān)系； 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得、、，，比較即可； （2）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得、、，比較即可； （3）依據(jù)積的乘方公式及同底數(shù)的冪的除法化簡可得即可得結(jié)果． 【詳解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3） ． 【點(diǎn)睛】此題考查了冪的乘方的逆用，積的乘方以及同底數(shù)冪的除法；解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)公式將底數(shù)或指數(shù)統(tǒng)一． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·北京海淀·八年級?？计谥校╅喿x下列材料：若，比較a，b的大小． 解：因?yàn)?，所以，所以?依照上述方法解答下列問題：已知，試比較x與y的大?。?【答案】 【分析】仿照題意分別求出，由此可得． 【詳解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟知是解題的關(guān)鍵． 2．（2023下·山東棗莊·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下列材料 若，則a，b的大小關(guān)系是a_____b（填“”）， 解：因?yàn)?，所以所以?解答下列問題： (1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)________ A．同底數(shù)冪的乘法????????B．同底數(shù)冪的除法????????????C．冪的乘方????????????D．積的乘方 (2)已知，試比較x與y的大小關(guān)系． (3)已知，比較a，b，c的大小關(guān)系． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】分別根據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算計(jì)算． 【詳解】（1）解：上述求解過程中，逆用了冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)． 故選：C． （2），，， ； （3），，，且， ． 【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是掌握冪的乘方的法則． 3．（2023上·全國·八年級課堂例題）在比較和的大小時，我們可以這樣來處理： ． ，即． 根據(jù)上述材料，回答下列問題： (1)請比較下列兩組數(shù)的大?。?①和；②和． (2)（1）中的兩道題都是通過“冪的乘方”公式構(gòu)造了相同的____________，從而比較大小，試用類似的方法，比較的大?。?【答案】(1)① ； ② (2)指數(shù) ， 【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算，將各數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同的形式比較大小即可得到答案； （2）根據(jù)閱讀材料，利用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算，將各數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式比較大小即可得到答案． 【詳解】（1）解：①∵， 又∵， ∴，即； ②∵，， 又∵， ∴，即； （2）解：（1）中的兩道題都是通過“冪的乘方”公式構(gòu)造了相同的指數(shù)，從而比較大??； 又∵， ∴，即． 【點(diǎn)睛】本題考查冪的大小比較，讀懂題中材料，靈活運(yùn)用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算按材料中的方法求解是解決問題的關(guān)鍵．

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